Cours de physique générale

27 avril 2009
cours de la semaine # 06b
Bienvenue au
Cours de physique générale
Physique II pour étudiants de première année
en section de mathématiques
Prof. Georges Meylan
Laboratoire d’astrophysique
Site web du laboratoire et du cours :
http://lastro.epfl.ch
EPFL - GM
1
Les interactions fondamentales
Tous les processus physiques, chimiques ou biologiques connus peuvent
être expliqués à l'aide de seulement 4 interactions fondamentales :
•
l'interaction gravitationnelle, responsable de la pesanteur, de la marée ou
encore des phénomènes astronomiques,
•
l'interaction électromagnétique, responsable de l'électricité, du
magnétisme, de la lumière ou encore des réactions chimiques et biologiques,
•
l'interaction forte, responsable de la cohésion des noyaux atomiques,
•
l'interaction faible, responsable de la radio-activité beta, qui permet au
Soleil de briller.
•
La théorie qui décrit la gravitation est la relativité générale, celle qui décrit
les trois autres est le modèle standard.
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2
L’interaction gravitationnelle
•
L'interaction gravitationnelle est une force toujours attractive qui agit sur toute
forme d'énergie, mais avec une intensité extrêmement faible (c'est l'interaction la
plus faible des quatre interactions fondamentales). Ainsi, ses effets ne sont
perceptibles que lorsque des objets très massifs (la masse est une forme d'énergie)
sont en jeu, comme dans le cas des objets astronomiques (planètes, étoiles, galaxies).
•
L'énorme masse des étoiles, des planètes ou des galaxies les rend donc très sensibles
à la gravitation et c'est la seule interaction utile pour expliquer les mouvements de
ces objets.
•
De même, l'énorme masse de la Terre (6 1024 kg) la rend très attractive pour des
objets moins massifs. Ainsi, la pesanteur et donc le poids des objets sur Terre sont
le résultat de l'attraction gravitationnelle de la Terre sur ces objets. C'est pourquoi,
le poids d'un objet est plus faible sur la Lune que sur la Terre, puisque la masse de la
Lune est plus faible que celle de la Terre.
•
Enfin, c'est l'attraction gravitationnelle de la Lune et du Soleil sur l'eau des océans
(dont la masse totale est importante) qui permet d'expliquer le phénomène des marées.
•
Le premier à avoir compris que la pesanteur terrestre et les mvts astronomiques
étaient le résultat d'une seule et même interaction est Isaac Newton, qui publia en
1687 un livre dans lequel il a établi les lois de la gravitation. Il fallut ensuite attendre
1915 pour que Albert Einstein développe la théorie de la relativité générale, qui permet
d'expliquer la gravitation par une théorie géométrique (mais non quantique).
La gravitation n'est donc pas du tout prise en compte par la physique des particules,
son intensité est totalement négligeable à l'échelle des particules élémentaires.
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3
L’interaction électromagnétique
•
L'interaction électromagnétique est une force répulsive ou attractive qui agit sur les objets ayant
une charge électrique. Deux objets de charges électriques de même signes se repoussent alors que
deux objets de charges électriques de signes opposés s'attirent. Comme les atomes sont
électriquement neutres, il y a peu d'effet de cette interaction à grande échelle.
•
L'interaction électromagnétique est à l'origine de tous les phénomènes électriques et magnétiques.
Elle permet aussi la cohésion des atomes en liant les électrons (charge électrique négative) et le
noyau des atomes (charge électrique positive). Cette même liaison permet de combiner les atomes
en molécules et l'interaction électromagnétique est donc responsable des réactions chimiques.
Enfin, la chimie de certaines classes de molécules permet d'expliquer la biologie.
•
Cette interaction peut, dans certaines conditions, créer des ondes électromagnétiques, parmi
lesquelles on distingue la lumière visible, les ondes radio, les rayons X et γ. En bref, l'interaction
électromagnétique permet d'expliquer presque tous les phénomènes de la vie quotidienne (mis à
part la pesanteur)...
•
La première grande étape dans la compréhension de l'électromagnétisme vient de l'unification de
l'électrodynamique et du magnétisme en une seule et même interaction par J. C. Maxwell en 1860.
Puis, en 1864, Maxwell comprit que la lumière était une onde électromagnétique. Enfin, en 1887, H.
Hertz montre l'existence d'ondes électromagnétiques autres que la lumière.
•
Au début du 20e siècle, la mécanique quantique se développe et la théorie de l'électromagnétisme
est quantifiée, la nature quantique de cette interaction (l'existence du photon) ayant déjà été
étudiée par Einstein en 1905. Finalement, après la résolution de problèmes techniques, la première
théorie à la fois quantique et relativiste est achevée dans les années 1948-49 par Tomonaga,
Schwinger et Feynman, c'est l'électrodynamique quantique (QED).
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4
L’interaction forte
•
L'interaction forte est une force qui agit sur les quarks et par extension sur
les hadrons. Les leptons y sont totalement insensibles.
•
L'interaction forte permet la cohésion des noyaux atomiques en liant les
protons et les neutrons entre eux au sein de ce noyau. Si cette interaction
n'existait pas, les noyaux ne pourraient pas être stables et seraient
dissociés sous l'effet de la répulsion électrostatique des protons entre eux.
•
L'interaction forte est aussi responsable des réactions nucléaires, source
d'énergie des étoiles et donc du Soleil.
•
L'histoire des interactions fortes commence en 1911 avec la découverte du
noyau atomique par Rutherford. Il fallut trouver une nouvelle force pour
expliquer que les noyaux atomiques ne se disloquent pas sous l'effet
électrique répulsif des protons entre eux. Ce n’est qu’en 1967-70, avec le
développement du modèle des quarks, que la théorie de l'interaction forte
est élaborée, c'est la chromodynamique quantique (QCD).
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5
L’interaction faible
•
L'interaction faible est une force qui agit sur toutes les particules. En
particulier, c'est la seule force à laquelle sont sensibles les neutrinos.
•
L'interaction faible est responsable de la radio-activité beta qui permet les
réactions nucléaires qui sont la source d'énergie du Soleil. La radio-activité
naturelle est probablement aussi une source d'énergie importante pour
maintenir le magma en fusion sous la croûte terrestre.
•
L'histoire de l'interaction faible commence en 1896 avec la découverte de la
radio-activité par Becquerel. Il faut ensuite attendre 1933 pour que E.
Fermi élabore le premier modèle des interactions faibles en incorporant
l'existence non encore démontrée du neutrino. Puis, en 1961, S. L. Glashow
tente d'unifier l'interaction faible et l'électromagnétisme en une seule
interaction électrofaible. Cette unification prédit l'existence d'une
interaction faible par courant neutre qui est découverte en 1973. Elle prédit
aussi l'existence de vecteurs de cette interaction, les W+, W- et Z0, qui sont
à leur tour découverts en 1983.
Voir Gruber & Benoit pp. 47-54
pour une discussion succincte de ces notions
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6
Principe de d’Alembert
• 2ème loi de Newton appliquée à chaque point α d’un système :
r
r
r
#R " = force de liaison s'exerçant sur le point "
r
où
$r
ma " = F" + R "
%F" = résultante des autres forces appliquées sur "
!
!
• Pour tout déplacement virtuel
compatible avec les contraintes :
r r
r
& (ma" # F" ) $ % r" = 0
N
"=1
Equation de d’Alembert (1758)
Jean le Rond, dit d’Alembert
1717–1783
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!
Note :
les forces de liaisons sont éliminées,
par l’introduction des déplacements
virtuels compatibles avec les contraintes
7
Coordonnées généralisées
•
La configuration d’un système est décrite
par la donnée de N vecteurs positions,
c’est-à-dire 3N composantes cartésiennes
•
Coordonnées généralisées :
r
r
ensemble de n variables qi, dont les
r
(t)
=
r" q1 (t), q 2 (t),
valeurs à chaque instant t spécifient "
complètement la configuration du système
! de n’importe quelle nature ;
– les grandeurs qi peuvent être
elles n’ont pas besoin d’avoir la même dimension !
# x " (t)&
r
r" (t) = % y " (t)( , " = 1,...,N
(
%
z
(t)
$ " '
(
• Exemples (N = 1) :
!
– coordonnées sphériques (n = 3) :
r=distance, θ=angle, φ=angle
..., q n (t),t )
$r sin" cos#'
r
r
r (t) = r(r(t), "(t), #(t)) = && r sin" sin# ))
% r cos" (
– point matériel sur trappe s’ouvrant à vitesse constante,
y
coordonnée s = déplacement sur la trappe (n=1) :
x
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$ s cos("t)'
r
r
r (t) = r (s(t),t ) = && #s sin("t) ))
0
%
(
s
θ(t) = ωt
8
Forces généralisées
• Déplacement virtuel compatible avec les contraintes quand la
position du système passe de {qi ; i=1,…n} à {qi + δqi ; i=1,…n} :
r
r
r
r
n
r
$ r#
$ r#
$ r#
$ r#
" r# (t) =
"q +
"q + ... +
"q =
"q i
$q1 1 $q 2 2
$q n n %
$q
i
i=1
r
% " r#
r
=
dérivée
partielle
de
r# par rapport à q i (tous les autres q j fixes)
' "q i
où & r
' " r# $q i = déplacement causé par la variation $q i de q i
!
( "q i
N
n ' N
n
r
r & rr# *
r
• Travail des forces: "W = % F# $ " r# = %)% F# $
,"q i = % Q i"q i
&q
i
#=1
i=1 ( #=1
i=1
14243+
!
Q i = force généralisée associée à qi
– Note: la dimension de Qi est telle
que Qiqi ait la dimension d’une énergie
• Si les forces
d’une énergie potentielle V :
! dérivent
!
N
N 3
r $ rr" N 3
$r",k
$r
Q i = % F" #
= % % F",k
= % % & $V ",k = & $V
$q i "=1 k =1
$q i "=1 k =1 $r",k $q i
$q i
"=1
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9
Démos : Résonance entre deux pendules (pendule sous pendule) # 67
Degrés de liberté (systèmes « mécano ») # 98
Propriétés statiques et dynam # 629
•
•
•
Degrés de liberté
n = nombre minimal de coordonnées généralisées nécessaires
"n = 3N si le système n'est soumis à aucune contrainte
#
$n < 3N si le système est soumis à des contraintes
Si les n coordonnées peuvent varier indépendamment les unes des autres
sans violer les contraintes,
alors le système est dit holonôme à n degrés de liberté
!
Exemples de systèmes holonômes :
– cylindre sur trappe s’ouvrant à vitesse constante :
• 1 degré de liberté (coordonnée s) si roulement sans glissement
• 2 degrés de liberté (coordonnées s et φ) si roulement avec glissement
– point matériel sur un cône :
• 2 degrés de libertés (coordonnées r et φ, θ fixé)
– 2 points matériels séparés par une distance constante :
• 5 degrés de liberté
• 3 degrés de liberté si les points sont astreints à rester sur la même sphère
• 1 degré de liberté si les points sont astreints à rester sur le même cercle
– 2 pendules, l’un suspendu à l’autre :
• 4 degrés de liberté
– solide indéformable :
• 6 degrés de liberté
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10
Démo : Tabouret tournant (roue de vélo) # 17
Cerceau roulant sans glisser sur un plan
•
•
•
•
!
•
Cerceau vertical de rayon R se déplaçant
sans glisser sur un plan horizontal
4 coordonnées généralisées : x, y, θ et φ
Ces coordonnées ne sont pas indépendantes,
il existe des relations entre leurs variations:
% x˙ = v cos$ = R"˙ cos$
2
2
˙
v = x˙ + y˙ = R" # &
' y˙ = v sin$ = R"˙ sin$
%dx = R cos$ d"
# &
'dy = R sin$ d"
y
R
θ
φ
y
x
x
O
Ces relations ne sont pas intégrables
→ on ne peut pas exprimer une des coordonnées comme une fonction des autres
→ on ne peut donc pas éliminer une des coordonnées
→ ce système n’est pas holonôme !
Il y a au minimum 4 coordonnées, mais seulement 2 degrés de liberté :
– Pivotement : variation de φ pour x, y, et θ constants
– Roulement : variation de x, y, ou θ (entraînant nécessairement une variation des deux
autres coordonnées) pour φ constant
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11
Dérivation des équations de Lagrange
r
r
r
n
r
d r"
# r"
# r"
• Vitesses : v " =
=
q˙ i +
dt $
#q
#t
i
i=1
•
r
r
#v $ # r$
"
=
#˙q i #q i
Note sur les déplacements
r
r
réels d r" et virtuels # r" :
r
r
r
d r" = # r" $ % r" /%t = 0
r
r
N
N
r
r
#
v
r
#
r$
Energie cinétique
1 m v 2 " #T !
$
T
=
=
m
v
%
=
m
v
%
#2 " "
& $ $ #˙qi & $ $ #qi
totale du système :
#˙
q
i
"=1
$=1
! $=1
! r
!
r
r
N
N
&
&
#
#
d % "T ( = m % ar * " r) + vr * "v ) ( = m ar * " r) + "T
+
)
)
)
) )
dt $ "˙q i ' +
"q
"q
"q i "q i
$
'
i
i
)=1
)=1
!
r
n
n!
N
%N
% d #T #T (
r # r- (
r
r
" ,'
$
+q i = , m-a - . + r*+q i = ,', m-a - .
*
#q i )
& dt #˙q i #q i )
i=1
i=1 & -=1
-=1
N
N
n
N
N
r
'
$ d "T "T
r
r
r
r
r
+&% dt "˙qi # "qi # Q i )(*qi = + m,a, - * r, # + Q i*qi = + m,a, - * r, # + F, - * r,
i=1
,=1
i=1
,=1
,=1
N
r r
r
= + (m,a , # F, ) - * r, = 0 (d' Alembert)
!
n
!
,=1
•
!
Si tous les δqi indépendants
(système holonôme) :
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d "T # "T # Q = 0 , $ i
i
dt "˙q i "q i
Equations de Lagrange
12
Equations de Lagrange (1788)
• Pour un système holonôme à n degrés de liberté :
d "T # "T # Q = 0 , pour i = 1, ..., n
i
dt "q˙ i "q i
équations de Lagrange de 1ère espèce
"$ T = énergie cinétique totale du système
où # q i = coordonée généralisée
$%Q i = force généralisée associée à la coordonée q i
!
• Si les forces dérivent d’un potentiel V tel que :
!
Q i = d "V # "V
dt "˙q i "q i
$&par exemple Q = # "V dans le cas conservatif
i
"q i
%
&'avec énergie potentielle indépendante des vitesses
d "L # "L = 0 , pour i = 1, ..., n
dt "˙q i "q i
!
!
où
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Joseph Louis Lagrange
1736–1813
équations de Lagrange
de 2ème espèce
L = L(q i , q˙ i ,t) = T " V = lagrangien du système
= fonction des coordonnées q i et des vitesses q˙ i généralisées
13
Démo : Pendules couplés (avec masses réglables) # 769
Ressort entre deux pendules
• Deux pendules identiques de longueur r
reliés par un ressort horizontal de constante k :
– longueur du ressort au repos = distance entre les
points d’attache des deux pendules
– seulement petites oscillations : θ1, θ2 << 1
• Système holonome à deux degrés de liberté :
– coordonnées généralisées : x1 " r#1 et x 2 " r#2
• Lagrangien :
T = 12 m( x˙ 12 + x˙ 22 ) et Vi = mgr (1" cos#i ) $ 12 mgr#2i = 12 mgx 2i /r
!1 + V2 + 12 k(x1 " x 2 ) 2
V =V
L(x1,x 2 , x˙ 1, x˙ 2 ) = T " V
= 12 m˙x12 + 12 m˙x 22 " 12 (k + mg /r) x12 " 12 (k + mg /r) x 22 + kx1x 2
r
r
θ1
θ2
k
• Equations du mouvement :
!
d "L # "L = 0 $ m˙x˙ + (k + mg /r) x # kx = 0
i
i
3#i
dt "˙x i "x i
$ ˙x˙ i + (% +&) x i # %x 3#i = 0 , pour i = 1,2
EPFL - GM
x1
m
x2
m
14
Ressort entre deux pendules (2)
" ˙x˙1 % "() ( *
) %" x1 %
g
$
'$ ' avec ) = k et * =
• Sous forme matricielle : $ ' =
)
() ( * x
m
r
# ˙x˙ 2 & #14
42443&# 2 &
matrice M
" x1 % " a1 %
• On cherche des solutions où les deux pendules
$ ' = $ ' exp(i(t )
oscillent avec la même pulsation ω :
x 2 & #a 2 &
#1
4442444
3
– on doit donc résoudre
:
ansatz
!
+
$ a1 '
-le vecteur & ) est vecteur propre de
$ a1 '
2 $ a1 '
"# & ) = M& ) * ,
%a 2 (
%a 2 (
%a 2 (
-.la matrice M pour la valeur propre " # 2
!& 2
)& a1 ) &0)
)
&" 2 # $ # %
$
"
#
$
#
%
$
+( a + = ('0+* , det(
+=0
(
2
2
$
" # $ # %*' 2 *
$
" # $ # %*
'
'
!
!
"
2
(# 2 $ % $ &) $ % 2 = 0 "
(#
2
$ % $ & + % )(# 2 $ % $ & $ % ) = 0
– solutions du problème aux valeurs propres :
!
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. 2
$ "1 = ±
0"1 = #
/
0" 22 = # + 2, $ " 2 = ±
1
% a1 ( %1( Note: les 2 vecteurs
g
propres sont
$ ' * + '1*
r
&a 2 ) & )
orthogonaux
(dû à la symétrie
%a ( % 1 (
g 2k
*
+
$ ' 1 * + '-1
de la matrice M)
r m
&a 2 ) & )
15
Démo : Pendules couplés (avec masses réglables) # 769
Ressort entre deux pendules (3)
• Le système a deux modes propres d’oscillations :
– les deux masses oscillent en phase avec une pulsation ω1
– les deux masses oscillent en opposition de phase avec pulsation ω2
• Solution générale = superposition des deux modes :
" x1 %
"%
"%
" %
" %
$ ' = A1$1'exp( +i(1t ) + B1$1'exp()i(1t ) + A2 $ 1 'exp( +i( 2t ) + B2 $ 1 'exp()i( 2t )
#1&
#1&
#)1&
# )1&
# x2 &
"x %
"1%
"1%
ou bien $ 1 ' = C1$ 'cos((1t + D1 ) + C 2 $ 'cos(( 2t + D 2 )
#1&
#)1&
# x2 &
!
• Constantes déterminées par les conditions initiales :
– le système oscillera en mode propre
# x (0) = x 2 (0) et x˙ 1 (0) = x˙ 2 (0)
si et seulement si les conditions initiales % 1
ou bien
! correspondent à des vecteurs propres : $
%& x1 (0) = "x 2 (0) et x˙ 1 (0) = "˙x 2 (0)
• Note :
– un choix plus judicieux pour les deux coordonnées généralisées aurait
pu donner lieu à des éqs différentielles découplées, donc plus simples !
˙˙ + '12 X = 0
#X
# X = 12 ( x1 + x 2 ) = coord. du centre
! de masse
& $
$
2
% x = x1 " x 2 = coordonée relative
% ˙x˙ + ' 2 x = 0
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16
Pendule entre deux ressorts
Démo : Pendules couplés (avec masses réglables) # 769
2d0
• 2 ressorts
identiques :
•
y
x
k
k
O
– longueur
totale
r
d(t)
fixée à 2d0
θ(t)
– d0 = longueur d’un ressort au repos
m
Système holonôme à deux degrés de liberté :
– coordonnées généralisées : d et θ
"$ x%' "d + r sin(% "$ x˙ %' "d˙ + r cos( (˙ %
',
=$
=
– position et vitesse de la masse m :
˙ '
y
y˙ $
# & # )r cos( & # & # r sin( ( &
• Lagrangien :
2
2
T = 12 m( x˙ 2 + y˙ 2 ) et V = mgy + 12 k (d " d 0 ) + 12 k (d " d 0 )
2
2
L(d, d˙ ,#, #˙ ) = T " V = 12 m (d˙ + r cos# #˙ ) + (r sin# #˙ ) 2 + mgr cos# " k (d " d 0 )
!
• Equations de Lagrange :
(
!
)
& d "L # "L = 0 $ m˙d˙ + mr cos% ˙%˙ # mr sin% %˙ 2 + 2k(d # d ) = 0
0
( dt "d˙ "d
'
() d "L˙ # "L = 0 $ m˙d˙r cos% + mr 2˙%˙ + mgr sin% = 0
dt "% "%
EPFL - GM
2 équations
différentielles
couplées
pour d et θ
17
Pendule entre deux ressorts (suite)
• Pour calculer la force R que le fil applique sur la masse m :
– On introduit une troisième coordonnée généralisée, r,
et on considère un déplacement virtuel δr (comme si
le fil était extensible) :
…k…
…
– On exprime la force généralisée Qr associée à r
grâce au travail exercé pour ce déplacement δr :
…k…
d
R
m
δr
θ
Q r "r = "W = #R "r + mg"r cos$ % Q r =mgcos$ # R
mg
– Energie cinétique :
(
2
2
˙
˙
˙
T = m( x˙ + y˙ ) = m (d + r cos" " + r˙ sin") + (r sin" " # r˙ cos")
2
1
2
!
!
2
1
2
– Equations de Lagrange
associée à la coordonnée r :
)
d "T # "T # Q = 0
r
dt "˙r "r
$
"T = m˙r + md˙ sin#
&
"˙r
% ( m˙r˙ + m˙d˙ sin# ) mr#˙ 2 ) mgcos# + R = 0
"T = mr#˙ 2 + md˙ cos# #˙ &
"r
! '
– On rétablit la contrainte r = constante :
!
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r˙ = 0
˙r˙ = 0
}
" R = mr#˙ 2 + mgcos# $ m˙d˙ sin#
18
Point matériel sur une trappe
• Exemple de contrainte dépendante du temps :
y’
– un point matériel soumis à la pesanteur glisse sans frottement
sur une trappe s’ouvrant à vitesse angulaire ω constante
$ s cos("t)'
r
r
r (t) = r (s(t),t ) = && #s sin("t) ))
0
%
(
$ s˙ cos("t) # s" sin("t)'
r
v(t) = &&#˙s sin("t) # s" cos("t)))
0
%
(
x
O
s
θ(t) = ωt
x’
!
r2
L(s, s˙ ,t) = T " V = mv " mgy = 12 m(s˙ 2 + s2# 2 ) + mgssin(#t)
!
d "L # "L = 0 $ d ms˙ # ms% 2 # mgsin(%t) = 0
dt "s˙ "s
dt
" m˙s˙ = ms# 2 + mgsin(#t)
1
2
!
!
y
poids projeté sur x’
force centrifuge selon x’
– dans ce cas, l’équation de Lagrange équivaut à la 2ème loi de Newton appliquée
dans le référentiel tournant Ox’y’ lié à la trappe (et projetée sur x’)
!
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19
Formalisme lagrangien et constantes du mouvement
• Système caractérisé
par un lagrangien L :
variables
642n
44
74448
L = L(q1,q 2 ,...,q n , q˙ 1, q˙ 2 ,..., q˙ n ,t) , q˙ i (t) = d q i (t)
dt
• Pour les systèmes holonomes (n degrés de liberté) :
d "L # "L # Q non conservative = 0 , pour i = 1, ..., n
i
dt "˙q i "q
!i
• Intégrales premières :
!
– si le Lagrangien ne dépend pas explicitement de qj (∂L/∂qj = 0)
et si Qj non conservative = 0, alors la grandeur pj est une constante du mvt :
#quantité de mouvement
p j = "L = p j (q1,q 2 ,...,q n , q˙ 1, q˙ 2 ,..., q˙ n ,t) = $
(impulsion)généralisée
généralisée
"˙q j
%(implusion)
– si L ne dépend pas explicitement du temps t
et que toutes les forces sont conservatives,
alors la grandeur H est une constante du mouvement :
!
n
H = # p jq˙ j " L
j=1
n
' #L
' #L n $$ d #L '
dH = $p˙ q˙ + p q
#L
#L
#L
#L
"
q
"
q
"
=
q
"
q
"
=
"
˙
˙
˙
˙
˙
˙
˙
*
&
)
*
&
)
)
& dt #˙q j #q j
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j
j
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j
j=1
j=1 %%
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!
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Constantes du mouvement (exemples simples)
• Mouvement balistique (champ de pesanteur g constant, selon –z) :
L(x,y,z, x˙ , y˙ , z˙ ,t) = T " V = 12 m( x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) " mgz
%L ne dépend pas de x " p x = #L /#˙x = m˙x
est une constante
''L ne dépend pas de y " p = #L /#˙y = m˙y
est une constante
y
&
" p z = #L /#˙z = m˙z
n'est pas une constante
'L dépend de z
'(L ne dépend pas de t " H = p x x˙ + p y y˙ + p zz˙ $ L est une constante
H = m˙xx˙ + m˙yy˙ + m˙zz˙ " 12 m( x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) + mgz = 12 m( x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) + mgz
!
! • Mouvement central (planète autour du soleil, diffusion coulombienne, …) :
!
L(r,˙r,", "˙ ,t) = T # V = 1 m(˙r 2 + r 2"˙ 2 ) # V(r)
2
&L dépend de r
" p r = #L /#˙r = m˙r
n'est pas une constante
(
'L ne dépend pas de $ " p$ = #L /#$˙ = mr 2$˙ est une constante
()L ne dépend pas de t " H = p r r˙ + p$$˙ % L
est une constante
H = p r r˙ + p""˙ # L = m˙rr˙ + mr 2"˙ "˙ # 1 m(˙r 2 + r 2"˙ 2 ) + V(r) = 1 m(˙r 2 + r 2"˙ 2 ) + V(r)
!
2
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