Electromagnétisme - cours en ligne CEL

´
Electromagn´etisme
G. Smadja
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G. Smadja. ´ Electromagn´etisme. Master. Electromagn´etisme, France. 2016. <cel-01075385v2>
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Électromagnétisme
Gérard Smadja
23 février 2016

Table des matières
1 Introduction à l’électromagnétisme 6
1.1 Le contexte théorique : les champs et le Lagrangien ...................... 6
1.2 Le 4-potentiel Aµ......................................... 6
1.3 Les équations de Maxwell .................................... 7
1.4 Analyse des équations de Maxwell dans le cas stationnaire .................. 8
1.4.1 Les sources du champ .................................. 8
1.4.2 L’équation (1.15) : sources du champ électrique .................... 9
1.4.3 L’équation (1.16) : absence de sources magnétiques ................. 9
1.4.4 L’équation (1.17) : mouvement du champ électrique ................. 10
1.4.5 L’équation (1.18) : mouvement du champ magnétique ................ 10
1.5 Des champs aux potentiels .................................... 11
1.5.1 Le cas des sources stationnaires ............................. 11
2 Équations de l’électrostatique 13
2.1 Généralités ............................................ 13
2.1.1 Propriété de la moyenne ................................. 13
2.1.2 Théorème de Green ................................... 13
2.1.3 Théorème de réciprocité (pour les conducteurs) .................... 13
2.1.4 Unicité de la solution .................................. 14
2.2 Fonctions de Green ........................................ 14
2.2.1 Symétrie des fonctions .................................. 15
2.2.2 Expressions intégrales du potentiel ........................... 15
2.3 Équations intégrales des fonctions de Green .......................... 17
2.4 Conditions de Neumann modifiée ................................ 19
2.5 Équivalence électrostatique : le potentiel ............................ 19
3 Électrostatique des conducteurs 21
3.1 La relation d’Ohm dans les conducteurs ............................ 21
3.2 L’équilibre électrostatique des conducteurs ........................... 21
3.2.1 Champ et charge dans un conducteur : régime stationnaire ............. 21
3.2.2 Lignes de champ ..................................... 21
3.3 Régimes non-stationnaires dans un conducteur ........................ 22
3.3.1 Courants de surface ................................... 22
3.3.2 Composantes tangentielles de E............................ 22
3.3.3 Composantes normales de E.............................. 22
3.3.4 Le temps de relaxation électrostatique ......................... 23
3.3.5 Le temps de relaxation des courants .......................... 24
3.4 Les coefficients d’influence .................................... 24
3.4.1 Linéarité ......................................... 24
3.4.2 Symétrie des coefficients d’influence .......................... 25
3.4.3 Influence totale ...................................... 25
3.5 Équivalence électrostatique : le champ électrique ....................... 25
1

4 Électrostatique des milieux diélectriques 29
4.1 Moment dipolaire d’un système de charges ........................... 29
4.2 Le diélectrique neutre ...................................... 29
4.3 Charges de surface et de volume ................................ 30
4.4 Le vecteur induction diélectrique D.............................. 31
4.5 Les relations de constitution entre Pet E........................... 31
4.5.1 Milieux isotropes ..................................... 31
4.5.2 Milieux anisotropes (cristaux) .............................. 32
4.6 Le champ local .......................................... 32
4.7 Symétrie du tenseur diélectrique ................................ 32
4.7.1 Modèle classique ..................................... 32
4.7.2 Modèle quantique .................................... 33
4.8 Conditions aux limites ...................................... 33
4.9 Forces dans les diélectriques ................................... 34
5 Solution de quelques problèmes d’électrostatique 37
5.1 Problèmes à deux dimensions .................................. 37
5.1.1 Source ponctuelle ..................................... 37
5.1.2 Méthode des images (2D) : plan conducteur et cylindre ............... 38
5.1.3 Formule de Poisson (cercle 2D) ............................. 39
5.1.4 Transformation conforme ................................ 39
5.1.5 Méthodes numériques 2D ................................ 39
5.2 Problèmes à trois dimensions .................................. 39
5.2.1 Images ........................................... 39
5.2.2 Formule de Poisson (sphère 3D) ............................. 40
5.2.3 Développements sur des bases polynomiales ...................... 40
5.2.4 Pointes à trois dimensions ................................ 40
6 Magnétostatique 45
6.1 Potentiel vecteur d’un courant ................................. 45
6.2 Moment magnétique ....................................... 46
6.2.1 Mouvement classique d’un moment magnétique .................... 46
6.3 Mouvement d’un moment magnétique ............................. 47
6.4 Champ magnétique d’un moment magnétique ......................... 47
6.5 Équivalence magnétique ..................................... 48
7 Milieux magnétiques 52
7.1 Vecteur de magnétisation .................................... 52
7.2 Le potentiel vecteur ....................................... 52
7.2.1 Milieu magnétique isotrope ............................... 53
7.3 Milieu magnétique anisotrope (non ferro-magnétique) .................... 54
7.3.1 Milieu ferro-magnétique ................................. 54
7.3.2 La limite des très grands champs ............................ 54
7.4 Conditions aux limites à l’interface de deux milieux magnétiques .............. 54
7.4.1 Continuité normale .................................... 54
7.4.2 Continuité tangentielle .................................. 54
8 Énergie électrostatique d’un système de conducteurs 58
8.1 Introduction ............................................ 58
8.2 L’énergie électrostatique du champ : cas d’un conducteur unique .............. 58
8.3 Système de conducteurs ..................................... 59
8.4 La conservation de l’énergie électrostatique .......................... 59
8.5 Énergie électrostatique en présence de diélectriques ...................... 59
8.6 Symétrie du tenseur diélectrique ................................ 60
8.7 Forces électrostatiques ...................................... 60
2

9 Énergie magnétique 62
9.1 Énergie fournie par la variation des courants en régime quasi-stationnaire ......... 62
9.2 Expression de l’énergie magnétique à l’aide du champ .................... 63
9.3 Symétrie du tenseur de perméabilité (milieu non ferro-magnétique) ............. 64
10 Le mouvement des charges 65
10.1 Le Lagrangien d’interaction ................................... 65
10.2 Les équations du mouvement .................................. 65
10.3 Le mouvement d’une charge dans un champ magnétique ................... 66
10.4 Force pondéromotrice ...................................... 66
11 Énergie et impulsion du champ 69
11.1 Énergie transférée aux charges ................................. 69
11.2 Le tenseur Energie-Impulsion du champ ............................ 70
11.3 Symétrie des susceptibilités ................................... 71
11.4 La controverse .......................................... 72
12 Champs rayonnés par les courants 74
12.1 Propagation des potentiels .................................... 74
12.1.1 Les équations de propagation .............................. 74
12.1.2 Relations entre les potentiels et les sources ...................... 75
12.1.3 Propagation des champs ................................. 75
12.2 Composantes monochromatiques du champ .......................... 76
12.3 Les champs Eet Bà grande distance des sources ....................... 77
12.4 L’onde plane monochromatique ................................. 78
12.5 Théorème de Lorentz ....................................... 79
13 Le 4-potentiel d’une charge ponctuelle 81
13.1 Le 4-potentiel : méthode temporelle .............................. 81
13.2 Le 4-vecteur courant d’une charge ponctuelle : méthode spatiale ............... 82
13.2.1 Les variables retardées et les potentiels ......................... 82
13.3 Les champs Eet B....................................... 83
13.4 Mouvements particuliers ..................................... 83
13.4.1 Mouvement uniforme ................................... 83
13.4.2 Mouvement accéléré ................................... 83
13.5 Mouvement périodique d’une charge .............................. 84
13.5.1 L’approximation dipolaire ................................ 84
13.6 Rayonnement d’une charge isolée (non-relativiste) : formule de Larmor ........... 84
13.7 Formule de Larmor relativiste .................................. 85
13.8 Réaction de rayonnement et paradoxes ............................. 85
14 Équations de Maxwell dans les milieux homogènes 89
14.1 Relations de Maxwell « exactes » ................................ 89
14.2 Propagation dans un diélectrique homogène isotrope ..................... 90
14.3 Les relations de constitution ................................... 91
14.4 Milieu diélectrique anisotrope ................................. 91
14.5 Milieu magnétique anisotrope .................................. 92
14.6 Activité optique naturelle -relations constitutives ....................... 92
14.7 Symétrie de renversement du temps .............................. 93
14.8 La symétrie de Parité ...................................... 94
14.9 Modèle moléculaire ........................................ 94
14.10Matrices de constitution dans les milieux optiquement actifs ................. 94
14.11Evaluations dans le cadre de la mécanique quantique ..................... 95
14.12Milieu absorbant (tenseur diélectrique non hermitien) .................... 95
14.13Effet Faraday ........................................... 96
14.14Les limites à haute fréquence .................................. 96
3