Réduction des endomorphismes

Réduction des endomorphismes
Calculs
Exercice 1. Calcul de valeurs propres
Chercher les valeurs propres des matrices :
1) 
0··· 0 1
.
.
..
.
..
.
.
0··· 0n−1
1··· n−1n
2) 0 sin αsin 2α
sin α0 sin 2α
sin 2αsin α0!.
Exercice 2. Calcul de valeurs propres
Soient a1, . . . , an∈R. Chercher les valeurs et les vecteurs propres de A=
a1
(0) .
.
.
an−1
a1··· an−1an
. On
distinguera les cas :
1) (a1, . . . , an−1)6= (0, . . . , 0).
2) (a1, . . . , an−1) = (0, . . . , 0).
Exercice 3. Polynômes de Chebychev
Soit A=
0 1 (0)
1......
......1
(0) 1 0
∈ Mn(R).
1) Calculer Dn(θ) = det(A+ (2 cos θ)I) par récurrence.
2) En déduire les valeurs propres de A.
Exercice 4. Matrice tridiagonale
Déterminer les valeurs propres de la matrice A=
1−1 (0)
−1 2 −1
.........
−1 2 −1
(0) −1 1
∈ Mn(R).
Exercice 5. Diagonalisation
Diagonaliser les matrices suivantes :
1) 1 5
2 4 2) 2 5 4 3 3) 5 3 −8−64) 4 4 1 4 5) 0 1 2
1 1 1
1 0 −1!6) 123
213
420!7) 110
−112
002!
8) 2−1−1
−1 2 −1
−1−1 2 !9) 1−1 2
3−3 6
2−2 4 !10) 7−12 −2
3−4 0
−2 0 −2!11) −2 8 6
−4 10 6
4−8−4!12) 
0100
3020
0203
0010
13) 
1 1 1 1
1 1 −1−1
1−1 1 −1
1−1−1 1 
14) 
0 2 −2 2
−2 0 2 2
−2 2 0 2
2 2 −2 0 
15) 
−5 2 0 0
0−11 5 0
0 7 −9 0
0 3 1 2 
16) 
2 0 3 4
3 1 2 1
0 0 3 0
004−1
Exercice 6. Trigonalisation
Trigonaliser les matrices suivantes :
1) 
1−3 0 3
−2−6 0 13
0−3 1 3
−1−4 0 8 
2) 
3−1 1 −7
9−3−7−1
0 0 4 −8
0 0 2 −4
reduc.tex – samedi 6 août 2016

Exercice 7. Diagonalisation
Diagonaliser M=
(0) 1
...
1 (0) 
∈ Mn(K).
Exercice 8. Diagonalisation
Diagonaliser M=
0 1
1...(0)
......
(0) 1 0
∈ Mn(C).
Exercice 9. Calcul
Diagonaliser la matrice M=
e a b c
a e c b
b c e a
c b a e 
∈ M4(R).
Exercice 10. Calcul
Soit Cpq = Upq 0Upq
000
Upq 0Upq !∈ Mn(R) où Upq est la matrice p×qdont tous les coefficients valent 1.
Chercher les éléments propres de Cp,q.
Exercice 11. Matrice triangulaire
Soit A=
1a b c
0 1 d e
0 0 −1f
0 0 0 −1
. A quelle condition Aest-elle diagonalisable ?
Exercice 12. Sommes par lignes ou colonnes constantes
Soit A∈ Mn(K) telle que la somme des coefficients par ligne est constante (= S). Montrer que Sest
une valeur propre de A. Même question avec la somme des coefficients par colonne.
Exercice 13. Matrices stochastiques
Soit M= (mij )∈ Mn(R) telle que : ∀i, j,mij >0 et ∀i,mi,1+mi,2+. . . +mi,n = 1 (matrice
stochastique).
1) Montrer que 1 est valeur propre de M.
2) Soit λune valeur propre complexe de M. Montrer que |λ|61 (si (x1, . . . , xn)∈Cnest un vecteur
propre associé, considérer le coefficient xkde plus grand module). Montrer que si tous les coefficients
mij sont strictement positifs alors |λ|= 1 ⇒λ= 1.
Exercice 14. (X2−1)P00 + (2X+ 1)P0
Soit Kun corps de caractéristique nulle, E=Kn[X] et u:E−→ E
P7−→ (X2−1)P00 + (2X+ 1)P0.
1) Chercher la matrice de udans la base canonique de Kn[X].
2) Montrer que uest diagonalisable.
Exercice 15. (X−a)P0
Soit E=Kn[X] et u:E−→ E
P7−→ (X−a)P0.Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de
u.
Exercice 16. X(X−1)P0−2nXP
Soit E=K2n[X] et u:E−→ E
P7−→ X(X−1)P0−2nXP. Chercher les valeurs propres et les vecteurs
propres de u.
Exercice 17. X3Pmod (X−a)(X−b)(X−c)
Soient α, β, γ ∈Kdistincts, et ϕ:K2[X]−→ K2[X]
P7−→ Roù Rest le reste de la division euclidienne de
X3Ppar (X−α)(X−β)(X−γ). Chercher les valeurs et les vecteurs propres de ϕ.
reduc.tex – page 2

Exercice 18. P(2 −X)
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme θ:K[X]−→ K[X]
P7−→ P(2 −X).
Exercice 19. P(X+ 1) −P0
Soit Kun corps de caractéristique nulle.
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme θ:K[X]−→ K[X]
P7−→ P(X+ 1) −P0.
Exercice 20. (X−a)P0+P−P(a)
Soit f∈ L(Rn[X]) qui à Passocie (X−a)P0+P−P(a). Donner la matrice de fdans la base (Xk)06k6n.
Chercher Im f, Ker fet les éléments propres de f.
Exercice 21. tr(A)M+ tr(M)A
Soit A∈ Mn(C). L’endomorphisme fde Mn(C) défini par f(M) = tr(A)M+ tr(M)Aest-il diagonalis-
able ?
Exercice 22. Étude d’une matrice
Soit A=
a11 (0)
a2
...
.
.
. 1
an(0) 0
où les aisont des réels positifs ou nuls, avec a1an>0.
1) Quel est le polynôme caractérique de A?
2) Montrer que Aadmet une unique valeur propre r > 0 et que l’on a r < 1 + max(a1, . . . , an).
3) Soit λune valeur propre complexe de A. Montrer que |λ|6ret |λ|=r⇒λ=r.
4) Montrer qu’il existe un entier ktel que Aka tous ses coefficients strictement positifs.
Espaces fonctionnels
Exercice 23. f7→ f(2x)
Soit E={f:R→Rcontinues tq f(x)−→
x→±∞ 0},ϕ:R−→ R
x7−→ 2xet u:E−→ E
f7−→ f◦ϕ.
Montrer que un’a pas de valeurs propres (si u(f) = λf, étudier les limites de fen 0 ou ±∞).
Exercice 24. Translation
Soit Ele sous-espace vectoriel de C(R+,R) des fonctions ayant une limite finie en +∞. Soit T∈ L(E)
défini par T(f)(x) = f(x+ 1).Trouver les valeurs propres de T.
Exercice 25. Équation intégrale
Soit E=C([0,+∞[,R) et u:E−→ E
f7−→ ˜ favec ˜
f(x) = 1
xZx
t=0
f(t) dt.
1) Montrer que ˜ fpeut être prolongée en une fonction continue sur [0,+∞[.
2) Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de u.
Exercice 26. Endomorphisme sur les suites
Soit El’espace vectoriel des suites réelles u= (un)n>1et fl’endomorphisme de Edéfini par :
(f(u))n=u1+ 2u2+. . . +nun
n2.
Quelles sont les valeurs propres de f?
Exercice 27. Opérateur intégral
Soit E=C([0,1],R) et f:E−→ E
u7−→ ˜uavec ˜u(x) = Z1
t=0
min(x, t)u(t) dt.
Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de f.
reduc.tex – page 3

Polynôme caractéristique
Exercice 28. Formules pour une matrice 3×3
Soit A= (aij )∈ M3(R).
1) Vérifier que χA(λ) = −λ3+ (tr A)λ2−
a11 a12
a21 a22 +
a11 a13
a31 a33 +
a22 a23
a32 a33 λ+ det(A).
2) Soit λune valeur propre de Aet L1, L2deux lignes non proportionnelles de A−λI (s’il en existe).
On calcule L=L1∧L2(produit vectoriel) et X=tL. Montrer que Xest vecteur propre de Apour
la valeur propre λ.
Exercice 29. Recherche de vecteurs propres pour une valeur propre simple
Soit A∈ Mn(K) et λ∈Kune valeur propre de Atelle que rg(A−λI) = n−1.
1) Quelle est la dimension du sous espace propre Eλ?
2) Montrer que les colonnes de tcom(A−λI) engendrent Eλ.
3) AN : Diagonaliser A= 0 1 2
1 1 1
1 0 −1!.
Exercice 30. Éléments propres de CtC
Soit C=
a1
.
.
.
an
∈ Mn,1(R) et M=CtC.
1) Chercher le rang de M.
2) En déduire le polynôme caractéristique de M.
3) Mest-elle diagonalisable ?
Exercice 31. (i/j)
Soit A= (aij )∈ Mn(R) telle que aij =i/j.Aest-elle diagonalisable ?
Exercice 32. Matrice compagne
On considère pour n∈N∗le polynôme défini par : Pn(x) = xn−Pn−1
i=0 αixiavec α0>0 et αi>0 pour
16i6n−1.
1) Montrer qu’il existe une unique racine dans R+∗pour Pn.
2) Soit A=
1 1 0 ··· 0
2 0 1 ....
.
.
.
.
..
.
.......0
.
.
..
.
....1
n0··· ··· 0
. Montrer que Aadmet une unique valeur propre réelle strictement
positive.
Exercice 33. I+ (xiyj)
Soient x1, . . . , xn, y1, . . . , yn∈C. Calculer ∆n= det(I+ (xiyj)).
Exercice 34. Centrale MP 2000
On considère la matrice de Mn(C), A=
0a··· a
b.......
.
.
.
.
.......a
b··· b0
,a6=b.
1) Montrer que le polynôme caractéristique de Aest 1
a−b(a(X+b)n−b(X+a)n).
2) Montrer qu’en général les valeurs propres de Asont sur un cercle.
reduc.tex – page 4

Exercice 35. Centrale MP 2000
Soit a1, . . . , an, b1, . . . , bn∈Ret An=
a1+b1b2··· ··· bn
b1a2+b2b3··· bn
.
.
.b2
.......
.
.
.
.
..
.
.......bn
b1b2··· bn−1an+bn
1) Calculer det An.
2) Calculer χA, le polynôme caractéristique de A.
3) On suppose a1< a2< . . . < anet, pour tout i,bi>0. Montrer que Anest diagonalisable (on pourra
utiliser χA(t)/Qn
i=1(ai−t)).
4) Le résultat reste-t-il vrai si l’on suppose a16a26. . . 6anet, pour tout i,bi>0 ?
Exercice 36. Polynômes caractéristiques
Soit A∈ Mn(K) inversible et B=A−1,C=A2. Exprimer les polynômes caractéristiques χBet χCen
fonction de χA.
Exercice 37. Matrice compagne
Soit P=Xn−(a0+a1X+. . . +an−1Xn−1)∈Kn[X].
La matrice compagne de Pest M=
0 (0) a0
1...a1
...0.
.
.
(0) 1 an−1
.
Soit Eun K-ev de dimension n,B= (e1, . . . , en) une base de Eet ϕl’endomorphisme de Ede matrice
Mdans B.
1) Déterminer le polynôme caractéristique de M.
2) Calculer ϕk(e1) pour 0 6k6n.
3) En déduire que µM=P.
Exercice 38. sp(A)∩sp(B) = ∅
Soient A, B ∈ Mn(C). Montrer que sp(A)∩sp(B) = ∅si et seulement si χA(B) est inversible.
Application : Soient A, B, P trois matrices carrées complexes avec P6= 0 telles que AP =P B. Montrer
que Aet Bont une valeur popre commune.
Exercice 39. Matrices à spectres disjoints
Soient A, B ∈ Mn(C). Montrer l’équivalence entre :
a) ∀C∈ Mn(C), il existe un unique X∈ Mn(C) tel que AX −XB =C.
b) ∀X∈ Mn(C) on a AX =XB ⇒X= 0.
c) χB(A) est inversible.
d) Aet Bn’ont pas de valeur propre en commun.
Exercice 40. AB et BA ont même polynôme caractéristique
Soient A, B ∈ Mn(K).
1) Montrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres.
2) Montrer que si Aou Best inversible, alors AB et BA ont même polynôme caractéristique.
3) Dans le cas général, on note M=BA −B
0 0 ,N=0−B 0AB ,P=In0 A In(M, N, P ∈ M2n(K)).
Vérifier que MP =P N, montrer que Pest inversible, et conclure.
Exercice 41. X 2014
Soient A, B ∈ M2(Z) telles que A, A +B, A + 2B, A + 3B, A + 4Bsont inversibles. Montrer que A+ 5B
l’est.
Exercice 42. Trace
Soit l’application Φ:Mn(R)−→ Mn(R)
M7−→ tM. Calculer sa trace par un moyen simple.
Exercice 43. Fermat pour la trace, ULM-Lyon-Cachan MP∗2005
Soit ppremier et A∈ Mn(Z). Montrer que tr(Ap)≡tr(A) (mod p).
reduc.tex – page 5