Fluides

Fluides
David Boilley1
Normandie Universit´e et GANIL
Master enseignement
Parcours physique-chimie
Ann´ee 2013-2014
1GANIL, BP 55027, F-14076 Caen cedex 05, b[email protected], t´el : 02 31 45 47 81,
http://tinyurl.com/davidboilley

Chapitre 1
Statique des fluides
Comment r´eagit un solide quand on le comprime ou qu’on le soumet `a une contrainte de cisaillement ? Voir le
dessin de la figure 1.1. En m´ecanique du solide, on fait l’approximation qu’il n’est pas d´eformable. La r´ealit´e est
plus complexe et cela d´epend de l’intensit´e de la contrainte. La glace d’un glacier s’´ecoule ! Mˆeme d´eformable,
un solide va s’opposer aux contraintes subies. A l’oppos´e, les fluides sont suppos´es parfaitement d´eformables :
on va supposer qu’ils n’exercent aucune opposition aux contraintes de cisaillement. En ce qui concerne, la
compression, cela d´epend de la nature du fluide : les liquides seront suppos´es incompressibles, mais pas les gaz.
compression cisaillement
Figure 1.1: Contraintes de compression et de cisaillement.
1.1 La pression
La force exerc´ee par un fluide au repos sur toute surface rigide immerg´ee est perpendiculaire `a cette surface. De
plus, en un point donn´e, la norme de cette force ne d´epend pas de l’orientation de la surface. On d´efinit alors
la pression comme ´etant une grandeur scalaire ´egale `a
P=FN
S,(1.1)
o`u FNest la composante normale de la force subie par la surface S.
Dans le syst`eme international, l’unit´e de pression est le pascal (Pa) qui correspond `a 1 N/m2. Le bar,
1 bar = 105Pa, est aussi utilis´e.
1

1.2 Equation de la statique des fluides
Dans la plupart des probl`emes rencontr´es, on ´etudie un fluide homog`ene au repos dans le champ de pesanteur
terrestre ~g consid´er´e comme uniforme. Le r´ef´erentiel terrestre est suppos´e galil´een.
En consid´erant un ´el´ement de fluide de volume d3v=dx dy dz de masse volumique ρ, on montre ais´ement
que la r´esultante des forces de pression vaut −−−→ gradP d3v. Si cet ´el´ement est `a l’´equilibre tout en ´etant soumis
`a son poids et aux forces de pression, on trouve imm´ediatement que
−−→
gradP=ρ~g. (1.2)
C’est g´en´eralement la pesanteur qui est `a l’origine des forces de pression. Mais, s’il y a d’autres forces
ext´erieures appliqu´ees (comme la force d’inertie d’entraˆınement dans le cas d’un r´ecipient tournant), cette
´equation n’est plus valable et doit ˆetre red´eriv´ee.
En orientant vers le haut l’axe vertical z, l’´equation (1.2) devient
∂P
∂z =−ρg. (1.3)
On distingue alors deux cas :
•celui des liquides g´en´eralement consid´er´es comme incompressibles. ρne variant pas, l’´equation (1.3) peut
ˆetre rapidement int´egr´ee.
•celui des gaz qui sont compressibles. L’´equation (1.3) poss`ede alors deux inconnues, Pet ρ. On a besoin
de faire une hypoth`ese qui conduit `a une autre ´equation pour r´esoudre.
1.3 Cas des liquides
Les liquides ´etant suppos´es incompressibles, l’int´egration de l’´equation (1.3) est imm´ediate et donne
P(z) = PS+ρg(zS−z).(1.4)
Ici, l’axe zest suppos´e vertical et orient´e vers le haut. A la surface du liquide, qui est `a l’altitude zS, le milieu
ext´erieur applique une pression PSqui peut ˆetre la pression exerc´ee par un piston ou la pression atmosphrique
Patm si la surface est libre.
On obtient que la pression est la mˆeme en tous points situ´es `a un mˆeme niveau dans un liquide. Cela a
´et´e v´erifi´e exp´erimentalement par Simon Stevin (1548-1620) en 1586 : la pression d’un liquide sur le fond d’un
r´ecipient est ind´ependante de sa forme, et aussi de la surface du fond ; elle d´epend seulement de la hauteur du
liquide dans le r´ecipient. (En 1596, six ans avant Galil´ee, il a d´ecouvert que deux corps de masses diff´erentes
tombent `a la mˆeme vitesse.)
1.3.1 Application : le barom`etre
Le pompage de l’eau au fond d’un puits a longtemps pos´e un probl`eme dans les mines : il ´etait impossible de
pomper l’eau sur une hauteur de plus de dix m`etres, mˆeme avec les pompes les plus puissantes de l’´epoque. De
mˆeme, `a Florence, dans les ann´ees 1640, les fontainiers n’arrivent pas `a aspirer l’eau `a plus de dix m`etres au
dessus du niveau du fleuve Arno, malgr´e les efforts conjugu´es des ing´enieurs de l’´epoque. Galil´ee a ´et´e saisi du
probl`eme, mais c’est Evangelista Torricelli (1608-1647) qui fournit l’explication en 1643.
Il a eu l’id´ee de manipuler du mercure (vif-argent) qui est 13,6 fois plus dense. Il a rempli un long tube en
verre de mercure et l’a retourn´e dans un r´ecipient rempli de mercure. Voir figure 1.2. Le mercure s’est ´ecoul´e
et le niveau sup´erieur s’est arrˆet´e `a la hauteur de 76 cm.
L’espace dans le tube au dessus du mercure ´etait vide, ce qui contredisait le dogme aristot´elicien que “la
nature a horreur du vide”. Il a compris que l’atmosph`ere appuyait sur la surface libre du mercure et le faisait
monter d’une hauteur de 76 cm environ. Le premier barom`etre ´etait n´e. Avec de l’eau, cette hauteur est ´egale `a
0,76 ×13,6 = 10,3 m. Et donc, une pompe aspirante ne peut pas faire monter l’eau sur une hauteur sup´erieure
`a 10,3 m.
2

Figure 1.2: Barom`etre de Torricelli.
En 1648, Blaise Pascal a mesur´e que la hauteur de mercure au sommet du Puy de Dˆome, qui a environ 1400
m d’altitude, chute de 75 mm environ. La pression est donc 10% plus faible.
L’unit´e millim`etre de mercure, appel´ee torr en hommage `a Torricelli, est parfois utilis´ee pour exprimer la
pression.
1.3.2 Application : les machines hydrauliques
Vers 1651, dans son Trait´e de l’´equilibre des liqueurs et de la masse d’air, Blaise Pascal (1623 - 1662) a ´enonc´e
ce qui est connu comme le Principe de Pascal,
Une pression externe appliqu´ee `a un fluide confin´e `a l’int´erieur d’un r´ecipient ferm´e est transmise
int´egralement `a travers tout le fluide.
Ce principe est diff´erent de celui de la pression due `a la pesanteur qui s’applique en tout point. Ici, si vous
pressez localement avec un piston, la surpression s’applique `a tout le liquide.
La v´erification exp´erimentale peut ˆetre faite facilement avec la seringue de Pacsal : en augmentant la pression
dans une bouteille perc´ee de nombreux trous, l’eau jaillit `a la mˆeme vitesse par tous les trous, sugg´erant que la
pression se transmet `a tous les points du liquide.
Pascal a vu dans son principe un nouveau moyen moyen de “multiplier” les forces. Voir la figure 1.3. La
premi`ere machine hydraulique, une presse, a ´et´e fabriqu´ee en 1796 par Joseph Bramah (1748 -1814), un inventeur
britanique. Voir figure 1.4.
1.4 Cas des gaz
Contrairement aux liquides, les gaz sont facilement compressibles. La loi de Boyle-Mariotte (´etablie par Boyle
en 1662 et retrouv´ee par Mariotte en 1679) montre que si la temp´erature est inchang´ee, le volume d’une certaine
quantit´e de gaz enferm´ee dans un piston est inversement proportionnel `a la pression.
3

Figure 1.3: Principe de la presse hydraulique. Figure prise sur hydraulicmania.com.
Pet ρvariant tous les deux, la seule ´equation de la statique des fluides ne suffit pas. L’´equation des gaz
parfaits qui vient compl´eter le probl`eme introduit une nouvelle variable, la temp´erature, pour laquelle on va
faire une hypoth`ese.
1.4.1 Mod`ele de l’atmosph`ere isotherme
L’´equation des gaz parfaits P V =nRT conduit `a relier Pet ρ,
ρ=MP
RT (1.5)
o`u Mest la masse molaire. En supposant que la temp´erature est constante, on peut alors int´egrer l’´equation
de la statique des fluides, ´eq. (1.3), pour obtenir
P(z) = P(0) exp −Mgz
RT et ρ(z) = ρ(0) exp −Mgz RT .(1.6)
Ces expressions correspondent `a la distribution de Boltzmann, Mgz ´etant l’´eenergie potentielle de pesanteur
d’une mole de gaz.
La masse volumique d’un gaz ´etant tr`es faible, la pression et la masse volumique varient peu avec l’altitude.
Sur des ´echelles de quelques m`etres, on pourra supposer qu’elles sont constantes.
Sur des ´echelles plus grandes, il est difficile de supposer que la temp´erature est constante.
1.4.2 Loi du nivellement barom´etrique
Exp´erimentalement, en l’absence de mouvement des masses d’air, la temp´erature varie lin´eairement avec
l’altitude tant que l’on reste dans la troposph`ere, c’est `a dire pour des altitudes variant de 0 `a 10 000 m
environ,
T=T0−λz. (1.7)
En prenant en compte l’´equation des gaz parfaits, on peut int´egrer l’´equation de la statique des fluides pour
obtenir
P=P0T
T0α
avec α=MG
Rλ .(1.8)
Voir le TD pour le d´etail du calcul.
4