1 Exercice 1

TD n◦ 1
Automatique : Modélisation des systèmes
H. Khennouf
La prépa - Grenoble-INP
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Exercice 1 : système hydraulique
On considère le système décrit dans la figure
ci-contre. Il est composé d’un réservoir de
section C et d’une évacuation caractérisée
par la résistance linéaire R. Le niveau de
liquide dans le résevoir est noté h(t). Le
débit sortant est supposé vérifier la relation
.
qs (t) = h(t)
R
1. Déterminer l’équation différentielle régissant l’évolution du niveau dans le réservoir.
2. Dans le cas où le débit d’entrée est un échelon unitaire, déterminer et tracer la
réponse h(t) du système. On notera h0 le niveau de liquide à l’instant initial.
3. Déterminer la fonction de transfert : G(s) = QH(s)
où H(s) représente la transe (s)
formée de Laplace de h(t) et Qe (s) représente la transformée de Laplace de qe (t).
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Exercice 2 : système mécanique
Le système considéré est un pendule simple
constitué d’une tige rigide de longueur l et
d’une masse m conformément à la figure cicontre. Soit θ(t) l’angle que fait la tige avec
l’axe vertical.
1
Le pendule est soumis à un couple T (t) appliqué au point O ; ce couple représente
la commande du système. En supposant que la masse m est soumise à une force de
frottement dont le coefficient de frottement est k, et que le mouvement a lieu dans un
plan, l’équation de mouvement du pendule s’écrit :
ml2 θ̈(t) = −mgl sin (θ(t)) − kl2 θ̇(t) + T (t)
(1)
Nous limiterons notre étude au cas où l’angle θ(t) subit de faibles variations de sorte
que sin (θ(t)) ≈ θ(t).
1. Déterminer l’équation différentielle linéaire reliant l’angle θ(t) au couple T (t).
2. En déduire la fonction de transfert du système d’entrée T (t) et de sortie θ(t).
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Exercice 3 : Système électromécanique
On considère un moteur à courant continu commandé par la tension u(t) aux bornes
de l’induit du moteur de résistance R et d’inductance L. On notera J l’inertie du moteur
ramenée à l’arbre, f le coefficient de frottement visqueux sur l’arbre, et on considérera
que le couple moteur est proportionnel au courant circulant dans le circuit induit :
Tm (t) = ki(t). La force électromotrice induite est proportionnelle, avec le même facteur
k, à la vitesse de rotation du moteur : e(t) = kΩ(t).
1. Écrire l’équation électrique aux
bornes du circuit induit.
i (t )
2. Écrire l’équation mécanique du moteur.
3. Déterminer la fonction de transfert
Ω(s)
, où Ω(s) représente la transU (s)
formée de Laplace de Ω(t) et U (s)
représente la transformée de Laplace
de u(t).
2
R
u (t )
L
+
e(t )
ω
f
J
-
4
Exercice 4 : système électrique
Soit le circuit RLC alimenté par une source de tension u(t) représenté sur la figure
ci-dessous :
La sortie du système est la tension y(t) aux bornes du condensateur.
1. Montrer que la relation entrée-sortie du système s’écrit :
d2 y(t) R dy(t)
1
u(t)
+
+
y(t)
=
dt2
L dt
LC
LC
(s)
2. Déterminer la fonction de transfert H(s) = YU (s)
.
3. Ecrire la fonction de transfert sous la forme :
K
H(s) =
2
2ξ
1 + ωn s + ωs 2
n
et déterminer K, ξ et ωn en fonction des paramètres du système.
On place le système dans une boucle de commande, conformément à la figure
ci-dessous, dans laquelle Kp est une constante.
4. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée HBF (s) =
perturbation pe (t) est nulle.
Y (s)
Ydes (s)
lorsque la
5. Déterminer la fonction de transfert Hreg (s) = PYe(s)
lorsque la consigne ydes (t) est
(s)
nulle.
6. En déduire la sortie Y (s) en présence de la consigne et de la perturbation.
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