Université catholique de Louvain PHY1222 : Mécanique quantique

Universit´e catholique de Louvain
Facult´e des Sciences
D´epartement de Physique
PHY1222 : M´ecanique quantique
Exercices
Prof. Fabio Maltoni
Rikkert Frederix
Janvier 2007

Table des mati`eres
1 Le monde microscopique 1
1.1 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Nature corpusculaire de la lumi`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Relation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 Effet photo´electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.4 Effet Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.5 D´esint´egration du pion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Relation de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Les principes de la m´ecanique quantique 4
3 L’´equation de Schr¨odinger 5
3.1 Op´erateurs position et impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 ´ Etats stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2.1 Puits de potentiel infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2.2 Marches, puits et barri`eres de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.3 Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Principe de superposition lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Les relations d’incertitude 10
4.1 Commutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Relations d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Temps de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Le moment angulaire orbital 11
5.1 Op´erateurs, ´etats propres et valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Oscillateur harmonique `a deux et trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3 Exp´erience de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Une application : la supraconductivit´e 13

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1 Le monde microscopique
1.1 Ordres de grandeur
1. Calculez le rapport entre la force gravitationnelle et le force ´electromagn´etique pour
un syst`eme constitu´e de deux ´electrons.
2. Le r´eseau cubique d’un cristal de chlorure de sodium est constitu´e d’ions Na+et Cl−
(Fig. 1). Connaissant les masses molaires du sodium et du chlore (respectivement
22.95 et 35.5g), ainsi que la densit´e de ce sel (2.164 g/cm3), calculez la distance
entre les ions Na+et Cl−.
Fig. 1 – Cristal de chlorure de sodium.
1.2 Nature corpusculaire de la lumi`ere
1.2.1 Relation d’Einstein
3. D´eterminez les ´energies (en Jet en eV ) de photons de longueurs d’onde 1 km, 7000
A◦, 3500 A◦et 1 f m.
4. A 5000 A◦, le seuil de sensibilit´e de l’oeil est de 10−18 W. D´eterminez le nombre
minimal de photons qu’il peut d´etecter chaque seconde.
5. Un laser de 1 mW ´emet `a 5000 A◦. D´eterminez le nombre de photons ´emis par
seconde.
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1.2 Nature corpusculaire de la lumi`ere 2
1.2.2 Effet photo´electrique
6. En ´eclairant une plaque de potassium par des rayons ultraviolets de longueur d’onde
2500 A◦, on peut arracher des ´electrons d’´energie cin´etique maximale 2.75 eV .
D´eterminez le travail et la fr´equence de seuil du potassium.
7. Le baryum a son seuil photo´electrique `a 4950 A◦. D´eterminez l’´energie cin´etique
maximale des ´electrons arrach´es par des ultraviolets de 3000 A◦.
8. A partir des donn´ees exp´erimentales pr´esent´ees ci-dessous, montrez comment on
peut d´eterminer la constante de Planck.
Longueur d’onde des photons (A◦) 2536 2830 3039 3302 3663 4358
´
Energie cin´etique des ´electrons (eV ) 2.6 2.11 1.81 1.47 1.10 0.57
9. In a photoelectric experiment in which monochromatic light of wavelength λfalls on
a potassium surface, it is found that the stopping potential is 1.91 Vfor λ= 3000
A◦and 0.88 Vfor λ= 4000 A◦.
From these data, calculate :
(a) a value for Planck’s constant,
(b) the work function Wfor potassium,
(c) the threshold frequency νtfor potassium.
10. A beam of ultraviolet light of intensity 1.6 10−12 Wis suddenly turned on and falls
on a metal surface, ejecting electrons through the photoelectric effect. The beam
has a cross-sectional area of 1 cm2, and the wavelength corresponds to a photon
energy of 10 eV . The work function of the metal is 5 eV . How soon might one
expect photoelectric emission to occur ?
(a) A classical estimate can be based on the time needed for the work-function
energy to be accumulated over the area of one atom (radius ≈1A◦). Calculate
how long this would be, assuming the energy of the light beam to be uniformly
distributed over its cross section.
(b) Actually, as Lord Rayleigh showed, the estimate from (a) is too pessimistic.
An atom can present an effective area of about λ2to light of wavelength λ
corresponding to its resonant frequency. Calculate a classical delay time on
this basis.
(c) On the quantum picture of the process, it is possible for electron emission to
begin immediately - as soon as the first photon strikes the emitting surface.
But to obtain a time that may be compare to the classical estimates, calculate
the average time interval between arrival of successive 10 eV photons. This
would be the average time delay between switching on the beam and getting
the first electron.
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1.2 Nature corpusculaire de la lumi`ere 3
1.2.3 Bremsstrahlung
11. A continuous spectrum of X-rays is often produced using a tube in which electrons
accelerated through a large potentiel difference V0strike an anode made of a heavy
metal. As shown in Fig. 2 the resulting continuous x-rays spectrum has a sharp
cutoff : below a certain wavelength λ0, no radiation is produced. For V0= 40 kV ,
calculate the value of λ0.
Fig. 2 – (a) Bremsstrahlung spectra produced by electrons of various energies striking a
metal target. Each spectrum exhibits an abrupt cutoff at some minimum wavelength λm.
(b) The maximum frequency of emission, corresponding to the minimum wavelength λm,
is proportional to the accelerating voltage V0.
1.2.4 Effet Compton
12. Des rayons gamma sont envoy´es sur une plaque o`u ils subissent l’effet Compton. En
fonction de l’´energie initiale Eet de l’angle de diffusion θ, calculez :
(a) l’´energie finale des photons ;
(b) l’´energie cin´etique finale des ´electrons ;
(c) la variation de la longueur d’onde des photons.
1.2.5 D´esint´egration du pion
13. Un π0d’impulsion ~p se d´esint`egre en deux photons. Donnez le spectre d’´energie des
photons dans le rep`ere au repos et dans le rep`ere du labo, et d´eterminez le lien entre
les angles d’´emission des photons dans chacun des deux rep`eres.
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