Densité d`états du gaz parfait - Laboratoire de Physique Statistique

Tutorat 4
Densité d’états du gaz parfait
Physique statistique – L3 – Science de la matière
ENS Lyon et Université Claude Bernard Lyon 1
On considère un gaz parfait classique constitué de N particules identiques de masse m
dans un volume V . On se place dans l’ensemble microcanonique. L’énergie du gaz est notée
E0 . Dans toute la suite, Γ désigne l’espace
QN des phases de ce gaz et dΓ un volume infinitésimal
dans cet espace des phases i.e. dΓ = i=1 dri dpi , où ri et pi désignent respectivement la
position et l’impulsion de la particule i. Le Hamiltonien de ce gaz parfait s’écrit alors :
N
X
p2i
H(pi ) =
2m
i=1
Le but de ce tutorat est de montrer, à partir de la mécanique quantique, que la densité
1
d’états du gaz parfait classique dans l’espace des phases Γ est constante et vaut N1 ! h3N
.
1. Dans cette question, on étudie une seule particule quantique dans une boı̂te cubique
de volume V = L3 . On considère dans un premier temps des conditions aux limites
périodiques sur le bord de la boı̂te, ce qui signifie que la fonction d’onde ψ vérifie :
ψ(x + L, y, z) = ψ(x, y + L, z) = ψ(x, y, z + L) = ψ(x, y, z),
la discussion sur le choix de ces conditions aux limites et la comparaison par rapport
à des conditions aux limites rigides étant l’objet de la question 2.
(a) Rappeler pourquoi les états d’énergie de cette particule sont décrits par trois
entiers nx , ny et nz . On indiquera en particulier la fonction d’onde, l’énergie
E(nx , ny , nz ) et l’impulsion (pnx , pny , pnz ) correspondantes. En déduire que les
(pnx , pny , pnz ) forment un réseau cubique de maille élémentaire ayant un volume
h3
.
V
(b) Effectuer une application numérique pour déterminer si la taille de cette maille
élémentaire est « grande » ou « petite. » Dans la suite, on va en plus considérer
pour la physique statistique la limite thermodynamique N → ∞, V → ∞ à N/V
fixé. Est-il légitime de passer à la limite continue ? Montrer alors que la densité
d’états propres D(p) définie par :
D(p) dp = nombre d’états propres d’impulsion p à dp près
vaut :
V
.
h3
2. Dans cette question, on discute le rôle des conditions aux limites. Calculer la densité
d’états propres D(p) pour des conditions aux limites rigides, c’est-à-dire pour lesquelles
la fonction d’onde s’annule sur le bord de la boı̂te. Commenter votre résultat.
D(p) =
3. Rappeler la définition de la densité d’états en énergie D(E). À partir du résultat (1b),
montrer que :
√
2πV
D(E) = 3 (2m)3/2 E.
h
4. Le résultat (1b) montre que le nombre d’états d’une particule libre dans l’élément de
volume dr dp de l’espace des phases vaut h13 dr dp. Pour N particules, pouvez-vous
1
justifier pourquoi le nombre d’états dans dΓ vaut N1 ! h3N
dΓ ?
5. En vous aidant de l’appendice, montrer que le nombre d’états microscopiques Φ(E0 , V, N )
dont l’énergie est inférieure à E0 est donné par :
Φ(E0 , V, N ) =
1
V N (2πmE0 )3N/2
N ! h3N
+ 1)
Γ( 3N
2
Appendice
Le volume VN d’une boule de rayon R dans un espace de dimension N vaut :
VN (R) =
π N/2
RN
Γ(N/2 + 1)
où la fonction Γ est définie par :
Z
Γ=
b
On a Γ(1/2) =
√
∞
e−t tx−1 dt.
0
π, Γ(1) = 1, Γ(x + 1) = xΓ(x), et donc Γ(n + 1) = n! pour n entier.
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