Densité d`états du gaz parfait - Laboratoire de Physique Statistique

Tutorat 4
Densit´e d’´etats du gaz parfait
Physique statistique – L3 – Science de la mati`ere
ENS Lyon et Universit´e Claude Bernard Lyon 1
On consid`ere un gaz parfait classique constitu´e de Nparticules identiques de masse m
dans un volume V. On se place dans l’ensemble microcanonique. L’´energie du gaz est not´ee
E0. Dans toute la suite, Γ d´esigne l’espace des phases de ce gaz et dΓ un volume infinit´esimal
dans cet espace des phases i.e. dΓ = QN
i=1 dridpi, o`u riet pid´esignent respectivement la
position et l’impulsion de la particule i. Le Hamiltonien de ce gaz parfait s’´ecrit alors :
H(pi) =
N
X
i=1
p2
i
2m
Le but de ce tutorat est de montrer, `a partir de la m´ecanique quantique, que la densit´e
d’´etats du gaz parfait classique dans l’espace des phases Γ est constante et vaut 1
N!
1
h3N.
1. Dans cette question, on ´etudie une seule particule quantique dans une boˆıte cubique
de volume V=L3. On consid`ere dans un premier temps des conditions aux limites
p´eriodiques sur le bord de la boˆıte, ce qui signifie que la fonction d’onde ψv´erifie :
ψ(x+L, y, z) = ψ(x, y +L, z) = ψ(x, y, z +L) = ψ(x, y, z),
la discussion sur le choix de ces conditions aux limites et la comparaison par rapport
`a des conditions aux limites rigides ´etant l’objet de la question 2.
(a) Rappeler pourquoi les ´etats d’´energie de cette particule sont d´ecrits par trois
entiers nx,nyet nz. On indiquera en particulier la fonction d’onde, l’´energie
E(nx, ny, nz) et l’impulsion (pnx, pny, pnz) correspondantes. En d´eduire que les
(pnx, pny, pnz) forment un r´eseau cubique de maille ´el´ementaire ayant un volume
h3
V.
(b) Effectuer une application num´erique pour d´eterminer si la taille de cette maille
´el´ementaire est «grande »ou «petite. »Dans la suite, on va en plus consid´erer
pour la physique statistique la limite thermodynamique N→ ∞,V→ ∞ `a N/V
fix´e. Est-il l´egitime de passer `a la limite continue ? Montrer alors que la densit´e
d’´etats propres D(p) d´efinie par :
D(p) dp= nombre d’´etats propres d’impulsion p`a dppr`es

vaut :
D(p) = V
h3.
2. Dans cette question, on discute le rˆole des conditions aux limites. Calculer la densit´e
d’´etats propres D(p) pour des conditions aux limites rigides, c’est-`a-dire pour lesquelles
la fonction d’onde s’annule sur le bord de la boˆıte. Commenter votre r´esultat.
3. Rappeler la d´efinition de la densit´e d’´etats en ´energie D(E). ` A partir du r´esultat (1b),
montrer que :
D(E) = 2πV
h3(2m)3/2√E.
4. Le r´esultat (1b) montre que le nombre d’´etats d’une particule libre dans l’´el´ement de
volume drdpde l’espace des phases vaut 1
h3drdp. Pour Nparticules, pouvez-vous
justifier pourquoi le nombre d’´etats dans dΓ vaut 1
N!
1
h3NdΓ ?
5. En vous aidant de l’appendice, montrer que le nombre d’´etats microscopiques Φ(E0, V, N)
dont l’´energie est inf´erieure `a E0est donn´e par :
Φ(E0, V, N) = 1
N!h3N
VN(2πmE0)3N/2
Γ(3N
2+ 1)
Appendice
Le volume VNd’une boule de rayon Rdans un espace de dimension Nvaut :
VN(R) = πN/2
Γ(N/2 + 1)RN
o`u la fonction Γ est d´efinie par :
Γb=Z∞
0
e−ttx−1dt.
On a Γ(1/2) = √π, Γ(1) = 1, Γ(x+ 1) = xΓ(x), et donc Γ(n+ 1) = n! pour nentier.
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