4. Observables

Travaux dirigés de mécanique quantique
4. Observables
On considère dans cet exercice un système physique pour lequel l’espace des états quantiques est de dimension trois. Soit B =(|u1 �, |u2 �, |u3 �) une base orthonormée de cet espace. Les représentations matricielles,
dans la base B, de l’hamiltonien et d’une observable A sont données ci-dessous:

où (ω0 , a) ∈ (R+ )2 .

1 0 0
[Ĥ] = �ω0  0 2 0 
0 0 2
Le système est à l’instant t = 0 dans l’état |ψ(0)� =


1 0 0
[Â] = a  0 0 1 
0 1 0
√1 |u1 �
2
+ 12 |u2 � + 12 |u3 �.
1. Quelles valeurs de l’énergie peuvent être mesurées à l’instant t = 0 ? Donner les probabilités
associées à chaque énergie possible. Quel sera l’état du système juste après la mesure ?
2. Calculer à l’instant t = 0 la valeur moyenne de l’énergie �Ĥ�ψ(0) .
3. La quantité qui permet d’évaluer, à l’instant t = 0, la dispersion d’énergie du système autour de
sa valeur moyenne s’appelle ”écart type” : elle est notée ∆Hψ(0) et est définie comme suit
��
�
∆Hψ(0) =
� Ĥ − �Ĥ�ψ(0)
2
�ψ(0) .
�
Montrer que ∆Hψ(0) = �Ĥ 2 �ψ(0) − �Ĥ�2ψ(0) et calculer sa valeur.
4. On mesure l’observable A à l’instant t = 0. Quelles valeurs peuvent être mesurées et avec quelles
probabilités ? Dans quel état quantique se trouve le système juste après la mesure ?
5. Calculer l’état du système |ψ(t)� à l’instant t.
6. Calculer la valeur moyenne �Â�ψ(t) de l’observable A à l’instant t. Commenter le résultat.
7. Quel serait le résultat de la mesure de A à l’instant t ?
Etude d’un système à 2 états : la molécule d’ammoniac
Etude d'un système à 2 états : la molécule d'ammoniac
On considère dans un premier temps, une molécule d’ammoniac en l’absence de perturbation
extérieure. L'atome d'azote peut être au dessus ou en dessous du plan P défini par les 3 atomes
d'hydrogène. Cela définit deux états de la molécule. On notera
pointe dans la direction +z par rapport au plan P et par
l'état dans lequel l'atome d'azote
l'état dans lequel l'atome d'azote pointe
dans la direction -z. La molécule d'ammoniac peut constamment passer de l'état
1) Représentez la molécule dans les deux états
et
à l'état
.
.
Par la suite on supposera que ces deux états forment une base orthonormée de l'ensemble des états
accessibles à la molécule.
Si "(t) est l'état du système au temps t, l'évolution de "(t) avec t est donnée par l'équation de
Schrödinger dépendante du temps :
.
!
où
!
représente l'hamiltonien du système.
2) Les états
et
sont-ils des états propres du système ? (argumentez votre réponse).
3) Au temps t le système se trouve dans l'état
où
et
sont
deux nombres complexes qui dépendent du temps. Quelle est leur signification physique?
4) La représentation matricielle de l’hamiltonien dans la base des états
et
peut s’écrire :
.
Montrez que H ++ et H"" sont des nombres réels et que
. Montrez que l’équation de
Schrödinger dépendante du temps est équivalente à :
!
!
.
5) Si
et
coefficients
ne sont pas les états propres du système, quelle conséquence cela a-t-il sur les
et
? Démontrez que si la molécule peut passer de l'état
à l'état
,
l'inverse est automatiquement possible.
6) Pour des raisons de symétrie,
. De plus, le terme de couplage
est supposé
réel et égal à "A(A > 0) .
Quels sont les vecteurs propres normalisés
correspondantes
E1 et E2 ? L’état
!
et
de l’hamiltonien ? Quels sont les énergies
est choisi comme état fondamental de la molécule, c'est-à-dire
l’état de plus basse énergie E2.
7) Si, au temps t=0 la molécule se trouve dans l'état
dans l'état
base des états
, quelle est la probabilité qu’elle se trouve
au temps t ? Astuce : résoudre l’équation de Schrödinger dépendante du temps dans la
et
(
).
8) On perturbe maintenant le système avec un champ électrique statique
molécule possède un moment dipolaire permanent
(
). La
. L'énergie d'interaction entre ce dernier et le
champ électrique est égal en mécanique classique à :
.
Quand l’atome d’azote est sous le plan P,
(
Expliquez pourquoi, en mécanique quantique,
).
et
. Donnez la
représentation matricielle de l’hamiltonien en présence du champ électrique. Quelles sont les énergies
possibles pour la molécule ? On note
l’énergie de l’état fondamental et
le vecteur propre
associé.
9) On suppose que la géométrie de la molécule n’est pas affectée par le champ électrique, ce qui veut
dire que le terme de couplage
électrique est fort (
peut être considéré comme constant. Montrez que, quand le champ
) et la molécule dans son état fondamental
, la probabilité de trouver
l’atome d’azote sous le plan P est beaucoup plus importante que la probabilité de le trouver au dessus
du plan. Que valent ces probabilités en l’absence de champ électrique ?
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