4. Observables

Travaux dirig´es de m´ecanique quantique
4. Observables
On consid`ere dans cet exercice un syst`eme physique pour lequel l’espace des ´etats quantiques est de dimen-
sion trois. Soit B=(|u1,|u2,|u3) une base orthonorm´ee de cet espace. Les repr´esentations matricielles,
dans la base B, de l’hamiltonien et d’une observable Asont donn´ees ci-dessous:
[ˆ H]=�ω0
100
020
002
[ˆ
A]=a
100
001
010
o`u (ω0,a)∈(R+)2.
Le syst`eme est `a l’instant t= 0 dans l’´etat |ψ(0)=1
√2|u1+1
2|u2+1 2|u3.
1. Quelles valeurs de l’´energie peuvent ˆetre mesur´ees `a l’instant t= 0 ? Donner les probabilit´es
associ´ees `a chaque ´energie possible. Quel sera l’´etat du syst`eme juste apr`es la mesure ?
2. Calculer `a l’instant t= 0 la valeur moyenne de l’´energie ˆ Hψ(0).
3. La quantit´e qui permet d’´evaluer, `a l’instant t= 0, la dispersion d’´energie du syst`eme autour de
sa valeur moyenne s’appelle ”´ecart type” : elle est not´ee ∆Hψ(0) et est d´efinie comme suit
∆Hψ(0) =ˆ H−ˆ Hψ(0)2ψ(0).
Montrer que ∆Hψ(0) =ˆ H2ψ(0) −ˆ H2
ψ(0) et calculer sa valeur.
4. On mesure l’observable A`a l’instant t= 0. Quelles valeurs peuvent ˆetre mesur´ees et avec quelles
probabilit´es ? Dans quel ´etat quantique se trouve le syst`eme juste apr`es la mesure ?
5. Calculer l’´etat du syst`eme |ψ(t)`a l’instant t.
6. Calculer la valeur moyenne ˆ Aψ(t)de l’observable A`a l’instant t. Commenter le r´esultat.
7. Quel serait le r´esultat de la mesure de A `a l’instant t?
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Travaux dirig´es de m´ecanique quantique
Etude d’un syst`eme `a 2 ´etats : la mol´ecule d’ammoniac
Etude d'un système à 2 états : la molécule d'ammoniac
On considère dans un premier temps, une molécule d’ammoniac en l’absence de perturbation
extérieure. L'atome d'azote peut être au dessus ou en dessous du plan P défini par les 3 atomes
d'hydrogène. Cela définit deux états de la molécule. On notera l'état dans lequel l'atome d'azote
pointe dans la direction +z par rapport au plan P et par l'état dans lequel l'atome d'azote pointe
dans la direction -z. La molécule d'ammoniac peut constamment passer de l'état à l'état .
1) Représentez la molécule dans les deux états et .
Par la suite on supposera que ces deux états forment une base orthonormée de l'ensemble des états
accessibles à la molécule.
Si
!
"(t)
est l'état du système au temps t, l'évolution de
!
"(t)
avec t est donnée par l'équation de
Schrödinger dépendante du temps :
.
où représente l'hamiltonien du système.
2) Les états et sont-ils des états propres du système ? (argumentez votre réponse).
3) Au temps t le système se trouve dans l'état où et sont
deux nombres complexes qui dépendent du temps. Quelle est leur signification physique?
4) La représentation matricielle de l’hamiltonien dans la base des états et peut s’écrire :
.
Montrez que
!
H++
et
!
H""
sont des nombres réels et que . Montrez que l’équation de
Schrödinger dépendante du temps est équivalente à :
.
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