Algèbre

19/04/2017 Algèbre – Ensembles, relations, applications | 1
 Ensembles, relations, applications 
Opérations sur les parties d’un ensemble
Définition – Inclusion
Soient E et F deux ensembles. On dit que E est inclus dans F si tout élément de E est élément de F.
E  F  (x  E  x  F)
On dit que E est une partie, un sous-ensemble de F.
Définition – Réunion
Si A et B sont des ensembles, les objets appartenant à A ou à B constituent un ensemble noté A  B appelé réunion de A et
de B.
x  A  B  x  A ou x  B
Définition – Sélection
Si E est un ensemble et  une relation, les éléments de E vérifiant la relation  constituent un ensemble donc une partie de
E.
Définition – Ensemble des parties
Si E est un ensemble, les parties de E sont les éléments d’un nouvel ensemble (E) appelé ensemble des parties de E.
Opérations sur (E)
∩ et  sont des lois de composition interne sur (E)
∩ commutative, associative, E élément neutre
 commutative, associative,  élément neutre
Distributive l’une par rapport à l’autre A  (B  C) = (A  B)  (A  C) et A  (B  C) = (A B)  (A  C)
Théorème – Passage au complémentaire
Pour tous les éléments A et B de (E) on a :
Lois de De Morgan   et 
Définition – Différence de deux sous-ensembles
On appelle différence de deux sous-ensemble A et B, le sous ensemble  des éléments qui sont dans A mais qui
n’appartiennent pas à B. On note A\B
* attention A\B =  ne veut pas dire que A = B mais que A  B
Définition – Partition
Une partition d’un ensemble E est une famille de parties non vides de E disjointes 2 à 2 dont la réunion est l’ensemble E

19/04/2017 Algèbre – Ensembles, relations, applications | 2
Ensembles finis, infinis, dénombrables
Définition – Equipotence
Etant deux ensembles A et B, on dit que A est équipotent à B ssi il existe une bijection f de A sur B.
* L’équipotence est une relation d’équivalence
Définition – Ensemble fini
Soit A un ensemble non vide. On dit que l’ensemble A est fini ssi il existe un entier n  1 tel que A soit équipotent à
l’ensemble {1, …, n}
Théorème
Soient A et B deux ensembles finis et f une application de A dans B
f<A> est fini et on a Card f<A>  Card B
f est une injection ssi Card f<A> = Card A
f est une bijection ssi Card f<A> = Card B
Définition – Ensemble infini
Tout ensemble qui n’est pas fini est par définition infini
Théorème
Si un ensemble E est équipotent à l’une de ses parties strictes alors E est infini
Définition – Ensemble infini dénombrable
Tout ensemble E équipotent à l’ensemble  des entiers naturels est infini et dénombrable

19/04/2017 Algèbre – Ensembles, relations, applications | 3
Fonction caractéristique d’un ensemble
Définition – Fonction caractéristique d’un ensemble
Soit A un sous-ensemble de E. On appelle fonction caractéristique de E dans  notée A définie par
A(x) = 1 si x  A
A(x) = 0 si x  A
* A = B  A = B
Propriétés
A2 = A E = 1  = 0
A∩B = A B AB = A + B - A B A\B = A - A B
A  B  A ≤ B

19/04/2017 Algèbre – Ensembles, relations, applications | 4
Relations
Définition – Produit cartésien
Etant donnés deux ensembles A et B, l’ensemble des couples de la forme (a, b) avec a  A et b  B est appelé produit
cartésien de A et de B et se note A  B = {(a, b) | a  A et b  B}
* On peut généraliser le produit cartésien à n ensembles
Définition – Relations
Soient deux ensembles non vides E et F et g une partie de E  F. Si x et y appartiennent respectivement à E et à F on écrit
x  y pour exprimer que (x, y) est un élément de G. On détermine ainsi une relation  entre éléments de E et de F que l’on
note (E, F, G). G est le graphe de la relation, E l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée.
 = (E, F, G) est définie par (x, y)  E  F x  y  (x, y)  G
* égalité de deux relations (E, F, G) et (E’, F’, G’) lorsque E=E’ et F=F’ et G=G’
Définition – Ensemble de définition
L’ensemble de définition de la relation  est la partie A de E telle que A = {x  E | y  F x  y}
Définition – Ensemble image
L’ensemble image de la relation  est le sous-ensemble B de F tel que B = {y  F | x  E x  y}
Définition – Relation fonctionnelle
Une relation  = (E, F, G) est dite fonctionnelle (ou une fonction) lorsque que quelque soit l’élément x de E, il existe au plus
un élément y de F tel que x  y

19/04/2017 Algèbre – Ensembles, relations, applications | 5
Applications
Définition – Applications
On dit que la relation f = (E, F, G) où G est une partie non vide de E  F est une application de E dans F si quel que soit x de E il
existe un élément y de F et un seul tel que x f y c'est-à-dire tel que (x, y)  G.
y est noté f(x) et s’appelle l’image de x par f
x est par définition un antécédent de y
* Deux applications f et g sont égales si elles ont même ensemble de départ, même ensemble d’arrivée et f(x) = g(x) pour
tout x de l’ensemble de départ
* Une fonction est donc une application si on ne considère que son ensemble de définition
Définition – Restriction, prolongement
Soit f une application de E vers F
Si A est une partie de E, la restriction de f à A, notée f|A est l’application de A dans F définie par x  A f|A(x) = f(x)
On appelle prolongement de f toute application g définie sur un ensemble A contenant E et vérifiant x  E f(x) = g(x)
Définition – Injective
On dit qu’un application f de E dans F est une injection ou est injective si elle vérifie l’une des trois propriétés suivantes :
1 – Tout élément de F a au plus un antécédent par f
2 – Pour tout y  F, l’équation f(x) = y possède au plus une solution
3 – (x1, x2)  E² f(x1) = f(x2)  x1 = x2
Définition – Surjective
On dit qu’une application f de E dans F est une surjection ou est surjective si elle vérifie l’une des trois propriétés suivantes :
1 – Tout élément de F a au moins un antécédent par f
2 – Pour tout y  F, l’équation f(x) = y possède au moins une solution
3 – y  F, x  E, y = f(x)
Définition – Bijective et réciproque
On dit qu’une application f de E dans F est une bijection ou est bijective si elle est injective et surjective, c'est-à-dire si elle
vérifie l’une des trois propriétés suivantes :
1 – Tout élément de F a un et un seul antécédent par f
2 – Pour tout y  F, l’équation f(x) = y possède une solution unique
3 – y  F, x  E, unique, y = f(x)
* On appelle l’application de F dans E qui a chaque élément de F associe son unique antécédent pour f la réciproque de f et
on la note f-1 y)  E  F, y = f(x)  x = f-1(y)
* f o f-1 = f-1 o f= IdE et (f-1)-1=f
* Pour montrer que f est bijective, on peut montrer qu’il existe g de F dans E tel que f o g = IdF et g o f = IdE (donc sans utiliser
injectivité et surjectivité)
Définition – Composition d’application
Soient trois ensembles non vides E, F et G. Si f est une application de E dans F et g une application de F dans G, on appelle
application composée de f et de g l’application notée f o g de dans G définie par x  E (g o f)(x) = g(f(x))
* o est une loi associative non commutative
* Si f et g sont injectives/surjectives/bijectives g o f est injective/surjective/bijective
* (g o f) -1 = f-1 o g-1
Proposition
Etant donnée une application f de E dans F et B et B’ deux parties de F, on a les relations suivantes
1 – B  B’  f-1(B)  f-1(B’)
2 – f-1(B  B’) = f-1(B)  f-1(B’)
3 – f-1(B  B’) = f-1(B)  f-1(B’)
4 – f-1(
) = 