Daniel Huilier IMFS Equipe Instabilités-Turbulence-Diphasique Vitesse de Sédimentation particulaire Pour des particules de masse m, de masse volumique ρP, de volume V tombant ou remontant à une vitesse constante U dans un fluide au repos de masse volumique ρF la force de traînée induite par la répartition de pression statique et les forces visqueuses contrebalance l’effet de la force de gravité (le poids mg) et de la poussée d’Archimède. 1 C D ρ F U 2 S = ( ρ P − ρ F ) gV 2 Pour une sphère de diamètre D : S= π.D2/4 et V = πD3/6 Et on définit alors un nombre de Reynolds sans dimension Re = U.D/ν , où ν est la viscosité cinématique du fluide L’analyse dimensionnelle révèle que le coefficient de traînée CD ne dépend que du nombre de Reynolds Re. On montre facilement que : C D Re 2 = ⎡ ( s − 1) g ⎤ 2 ⎥ ⎣ ν ⎦ * où D = D.⎢ 4 *3 D 3 1/ 3 et un diamètre sans dimension et s = Pour des particules de Stokes (Re «1): CD = ρP densité relative ρF 24 Re Un lissage empirique de Schiller and Naumann, 1933, (pour Re < 800) donne : CD = 24 (1 + 0.15 Re) 0.687 Re Variables CD = coefficient de traînée U = vitesse de sédimentation (settling velocity) D = particle diameter S = Surface projetée de la particule (particle projected area ) V = volume de la particule g = acceleration due to gravity ν = viscosité cinématique du fluide References Cheng, N.-S., 1997, A simplified settling velocity formula for sediment particles, ASCE J. Hydraulic Engineering, 123, 149 1 Daniel Huilier IMFS Equipe Instabilités-Turbulence-Diphasique Vitesse de sédimentation Cas des faibles nombres de Reynolds, particules à comportement Stokien Equation du mouvement d’une particule dans un fluide de vitesse u f : ⎛ ρf ⎞ ρ ⎟ g − 3 f C D u r2 où u r = u p − u f est la vitesse de glissement de la particule = ⎜1 − ⎜ ρ ⎟ dt 4 ρp D p ⎠ ⎝ du p Dans un fluide au repos u f est nul. A l’équilibre, dans un fluide au repos u r = u p , u f = 0 ⎛ ρf ⎞ ρ ⎟ g − 3 f C D u r2 = 0 = ⎜1 − ⎜ ρ ⎟ dt 4 ρp D p ⎠ ⎝ du p Et la vitesse terminale U de la particule vaut : 4 D g 3 CD U= ⎛ ρp ⎞ ⎜ − 1⎟ ⎜ρ ⎟ ⎝ f ⎠ Pour des nombre de Reynolds particulaires faibles Re = Du r ρ f / μ < 1 CD = 24 et la force de traînée est F = 3πμDu r traînée dite visqueuse, due à la couche limite laminaire et à Re la répartition de pression autour de la sphère : U= gD 2 (ρ p − ρ f ) 18μ Exemple de vitesse de chute terminale d’une sphère de verre (ρp = 2500kg/m3) tombant dans de l’air (ρf = 1,2 kg/m3, μ = 1,7 10-5 kg/ms) : D = 50 μm D = 500 μm → → U = 0,20 m/s, Re = 0,71 dominance visqueuse U = 17,59 m/s, Re = 6209 dominance inertielle 2 Daniel Huilier IMFS Equipe Instabilités-Turbulence-Diphasique Coefficient de traînée CD Pour les écoulements à grand nombre de Reynolds on introduit souvent le coefficient de traînée CD (sans dimension). La force de traînée est définit par FD = 1 ρU 2 SC D , CD = f(Re) où Re = UD/ν est le nombre de Reynolds et S = πR2 2 où S est la section de l’objet et FD la force de traînée (drag en anglais, d’où le sigle D). En identifiant le coefficient de traînée avec l’expression de la force de Stokes FD = 3πμDU , on trouve : CD = 24 Re où le nombre de Reynolds Re est calculé sur le diamètre (D = 2R) de la sphère. La figure ci-dessous montre que l’expression de la force de Stokes est une bonne approximation de la force de traînée jusqu’à Re ~ 1. Au delà, la correction analytique d’Oseen permet d’écrire à l’ordre suivant (Re ≤ 5) : CD = 24 ⎛ 3 ⎞ ⎜1 + Re ⎟ Re ⎝ 16 ⎠ A plus haut nombre de Reynolds encore on peut trouver d’autres formules empiriques pour CD. Traînée sur une sphère à faible nombre de Reynolds (attention CD est ici multiplié par π /4). D’après la référence D. J. Tritton. Physical fluid dynamics. (second edition), Oxford University Press, 1988. 3 Daniel Huilier IMFS Equipe Instabilités-Turbulence-Diphasique Une sphère unique placée dans un fluide va sédimenter si sa densité est supérieure à la densité du fluide. Après une phase initiale d’accélération, elle va ensuite sédimenter à sa vitesse limite de chute. La valeur du nombre de Reynolds calculé avec cette vitesse de chute va permettre de savoir si c’est un vitesse de chute visqueuse ou inertielle. Dans le premier cas il y a égalité entre le poids apparent (poids corrigée de la poussée d’Archimède) et la force de Stokes : 4 ( ρ S − ρ F ) g πR 3 = 6πμRU Stokes 3 U Stokes = soit 2 Δρ .g 2 R 9 μ avec Δρ = ρ S − ρ F . Cette vitesse limite de chute est dite vitesse limite de Stokes. Elle est proportionnelle au carré du rayon, donc les grosses particules sédimentent plus vite. Ce résultat reste vrai même si les particules ne sont pas parfaitement sphériques. En réalité, les toutes petites particules (~ 1 μm) dites particules colloïdales ou particules browniennes ne sédimentent pratiquement pas à cause de l’agitation thermique (la vitesse aléatoire moyenne devient supérieure à la vitesse de sédimentation). Pour que le nombre de Reynolds de chute soit petit et que l’on puisse utiliser la formule de la force de Stokes il faut : Re = 2 RU Stokes ν = 4 Δρ gR 3 . . << 1 9 ρ ν2 1 soit ⎛ 9 ρ ν 2 ⎞3 R << ⎜⎜ . . ⎟⎟ ⎝ 4 Δρ g ⎠ Si maintenant beaucoup de particules sédimentent ensemble, le calcul de la vitesse de sédimentation se complique nettement (il n’est d’ailleurs pas résolu à ce jour). En effet il existe des interactions collectives (à N corps) car le champ de vitesse autour d’une particule décroît lentement (en 1/r) et des effets dus à la taille finie du récipient (effet de paroi). De fait la sédimentation d’un grand nombre de particules crée un contreécoulement du fluide vers le haut qui ralentit leur chute (une jolie démonstration en est l’effet Boycott observé lorsque l’on incline le récipient). La vitesse est alors une fonction de la concentration en particules : – A faible Reynolds, Albert Einstein (1905) a donné le premier terme correctif à la vitesse limite de chute dépendant de la concentration c en particules : Vlim ≈ VStokes [1 − 6, 55 c]. – Au-delà, on utilise la loi empirique de Richardson-Zaki, Vlim ≈ VStokes [1 − c/cmax]n où n ≈ 5, mais dépend du nombre de Reynolds et cmax est la compacité maximum, de l’ordre de 54 % pour un empilement aléatoire lâche de sphères identiques. 4 Daniel Huilier IMFS Equipe Instabilités-Turbulence-Diphasique Extrait du projet Face de l’Institute of Energy Technology (Lasse Rosendahl, Aalborg University) Dans un fluide au repos du P ⎛⎜ ρ f ⎞⎟ 3 ρ f CD 2 g− = 1− uP ⎜ ρ ⎟ dt D 4 ρ p p ⎝ ⎠ Si le nombre de Reynolds est faible, C D = 24 24 μ et la force de traînée est F = 3πμDu P , = Re u P Dρ f ⎛ ρf ⎞ du P ⎛⎜ ρ f ⎞⎟ 3 ρ f C D 2 ⎛⎜ ρ f ⎞⎟ 18 μ ⎟g − uP g− uP = 1 − g− u P = ⎜1 − = 1− 2 ⎜ ρ ⎟ ⎜ ρ ⎟ ⎜ ρ ⎟ dt 4 ρp D ρp D τP p ⎠ p ⎠ p ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ρPD2 gD 2 La vitesse de chute limite est U = ( ρ p − ρ f ) et le temps de relaxation τ P = 18μ 18μ et L’équation du mouvement s’écrit : du P U u P = − dt τP τP Cette équation différentielle linéaire a pour solution : u P = U [(1 − exp(t / τ P )] si la particule a une vitesse nulle au départ (t = 0, uP = 0) 5 Daniel Huilier IMFS Equipe Instabilités-Turbulence-Diphasique Compléments sur la chute ‘libre’ · Le secret des longs drives / Balles de golfs Aérodynamique des balles de sports (R. Mehta, NASA) http://widget.ecn.purdue.edu/~me610/balls.html http://fr.wikipedia.org/wiki/Balle_de_golf http://www.linternaute.com/imprimer/science/divers/pourquoi/06/balles-golf/balles-golf.shtml http://www.linternaute.com/science/divers/pourquoi/06/balle-rebond/balle-rebond.shtml . Magnus et les balles qui tournent Carlos 1.mov http://physicsweb.org/article/world/11/6/8 http://www.real-page.de/videos.htm · Stokes et la sédimentation Une vidéo sympa issue de l’équipe d’Elisabeth Guazelli (dite Babette), Directrice de Recherches au CNRS, IUSTI Marseille, Responsable de l’équipe Ecoulements de Milieux Granulaires, équipe très performante http://www.editions-belin.com/illus/2006/3557t_spheres.mp4 document E. Guazelli (IUSTI ; Marseille) t_spheres.mp4 (3464 ko) Brady J.F. and Bossis G., « Stokesian dynamics Ann. Rev. », Fl.Dyn . 20 111 (1988) R. Blanc et E. Guyon, « La physique de la sédimentation », La Recherche 22, 866 (1991) La chute tortueuse des feuilles mortes http://dragonfly.tam.cornell.edu/ Site de Hans Herrmann (anciennement à Stuttgart, à présent au brésil) Un film numérique sur la chute de corps ovales (analogie avec une feuille) http://www.ica1.uni-stuttgart.de/~hans/filmOblate.mpg Un excellent film d’expérience de sédimentation http://www.ica1.uni-stuttgart.de/~hans/suspension_teil.mpa http://www.ica1.uni-stuttgart.de/~hans/sedimentation.html Un excellent film d’expérience de sédimentation (Hans Herrmann) http://www.ica1.uni-stuttgart.de/~hans/suspension_teil.mpa 6