Exercice 1 : Principe du Cyclotron
Une particule de masse m et de charge q
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0 , pénètre en un point C, avec une vitesse
négligeable, dans un espace où règne un champ électrique . Cet espace est limité par deux
grilles planes assimilables à deux plaques métalliques (P1), (P2) distantes de d. La particule se
déplace de C en K où elle arrive avec une vitesse . De part et d’autre des grilles, règne un
champ magnétique uniforme et constant perpendiculaire au plan de la figure. On néglige le
poids devant les forces électromagnétiques.
1°) Donner la direction et le sens du champ électrique .
2°) Lorsque la particule arrive en K dans la région (I), elle décrit une trajectoire circulaire (C1)
représentée sur la figure ci-dessus.
a) Rappeler l’expression vectorielle de la force subie par une particule chargée de vecteur
vitesse dans un champ magnétique . Donner les caractéristiques de cette force. En déduire
la direction et le sens du champ magnétique.
b) Représenter en un point de la trajectoire circulaire (C1), l’angle
θ
et la base polaire ,
en prenant l’origine au niveau du centre de cette trajectoire.
c) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que la vitesse est constante
et déterminer le rayon R1 de la trajectoire (C1) en fonction de q, m, v0 et B.
On rappelle l’expression du vecteur accélération dans la base polaire pour une trajectoire
circulaire de rayon r :
3°) A la sortie de l’espace (I), c’est-à-dire au point K’, le sens du champ électrique s’inverse.
On note alors la différence de potentiel appliquée entre les deux plaques. La
particule est animée d’un mouvement rectiligne qui l’amène au point L. En utilisant la
conservation de l’énergie mécanique, déterminer la vitesse v1 au point L.
4°) Dans la région (II), le champ magnétique est identique à celui de la région (I). Donner
l’expression de son rayon R2 en fonction de q, m, v0, B et U.
5°) On note L’ le point où la particule sort de la région (II). La particule pénètre alors à nouveau
dans l’espace inter-grilles où le champ électrique a retrouvé son sens initial. Le temps de
passage entre les plaques est supposé négligeable.
a) Exprimer la durée du demi-tour LL’ et la comparer à la durée du demi-tour KK’.
b) En déduire la période que doit avoir la tension appliquée aux plaques pour que le mouvement
de la particule poursuive le cycle qui vient d’être décrit.
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