Thermodynamique TD7

Thermodynamique TD7 Machines thermiques
I - Pompe à chaleur (mines Sup 2005)
Une pompe à chaleur effectue le cycle de Joule inversé suivant :
L’air pris dans l’état A de température T
0
et de pression P
0
est comprimé
suivant une adiabatique quasi-statique (ou réversible) jusqu’au point B où
il atteint la pression P
1
.
-Le gaz se refroidit à pression constante et atteint la température finale de
la source chaudeT
1
, correspondant à l’état C (P
ext
= constante = P
B
= P
C
= P
1
) .
-L’air est ensuite refroidi dans une turbine suivant une détente
adiabatique quasi-statique (considérée comme réversible) pour
atteindre l’état D de pression P
0
.
- Le Gaz se réchauffe enfin à pression constante
au contact de la source froide et retrouve son
état initial A (P
ext
= constante = P
D
= P
A
= P
0
) .
On considère l’air comme un gaz parfait de coefficient isentropique
γ = 1,4.
On posera β = 1 - γ
-1
et a =
0
1
P
P
.
Pour les applications numériques on prendra :
T
0
= 283 K (10°C), T
1
= 298 K (25°C), a = 5 , R = 8,31 J.K
-1
mol
-1
(constante des gaz parfaits).
1°) Représenter le cycle parcouru par le fluide dans un diagramme de Clapeyron (P,V).
2°) Exprimer T
B
et T
D
en fonction de T
0
, T
1
, a et β.
3°) Définir l’efficacité e de la pompe à chaleur à partir des quantités d’énergie échangée au cours du cycle.
Montrer qu’elle s’exprime seulement en fonction de a et β.
Calculer sa valeur.
4°) Quelles doivent être les transformations du fluide si on envisage de faire fonctionner la pompe à chaleur
suivant un cycle de Carnot réversible entre les températures T
1
et T
0
?
Etablir l’expression de son efficacité e
r
en fonction de T
0
et T
1
.
Calculer sa valeur.
5°) Comparer les valeurs obtenues pour e et e
r
.
Interpréter la différence observée.
6°) Donner l’expression de l’entropie créée s
c
, pour une mole d’air mise en jeu dans le parcours du cycle de
Joule inversé, en fonction de x =
1
0
T
.aT
β
, R et β.
Etudier le signe de cette expression.
Calculer sa valeur.
7°) La pompe à chaleur envisagée est utilisée pour chauffer une maison.
Sachant qu’en régime permanent les fuites thermiques s’élèvent à
t
Q
fuites
∆
= 20 kW (∆t est la durée d’un cycle,
Q
fuites
> 0 est le transfert thermique cédé par la maison au milieu extérieur sur la durée d’un cycle). Calculer la
puissance mécanique du couple compresseur turbine qui permet de maintenir la maison à température constante.
II- Machine frigorifique
Une machine frigorifique est utilisée dans un pays chaud
pour maintenir à 0°C un local contenant des denrées périssables.
Cette machine contient un fluide frigorifique de type Fréon dont le
diagramme T(s) est joint. Sur celui-ci apparaissent les isobares, les
isenthalpes et les titres vapeur.
Cette machine ditherme qui fonctionne en régime permanent,
échange de l’énergie thermique avec une source chaude à 40°C
(atmosphère extérieure) et une source froide à 0°C (local réfrigéré).
On donne ci-contre le schéma général de fonctionnement :
Turbine
T
1
Echangeur 1
Echangeur 2
Compresseur
A
B C
D
T
0
Condenseur
Evaporateur
Détendeur
Compresseur
2
1
4
3

Compte tenu du faible débit de Fréon circulant dans les tuyauteries de la machine, les variations
d’énergie cinétique seront négligées dans tout le problème et il en sera de même pour les variations d’énergie
potentielle.
Dans tout le problème on considérera que l’état du fluide n’est pas modifié dans les tuyauteries de liaison entre
deux éléments consécutifs.
On rappelle que pour un fluide en écoulement, le premier principe s’écrit ∆h = w
u
+ q où w
u
est le travail utile
pour l’organe traversé (w
u
ne comprend pas les travaux des forces de pression en amont et en aval du reste du
fluide). Pour les éléments (ou organes) calorifugés : q = 0. Pour les éléments ne comportant pas de partie
mobile : w
u
= 0.
La compression 1-2 est adiabatique réversible.
Le passage dans les deux échangeurs (condenseur et évaporateur) est isobare (P = P
ext
= constante), ceux-ci ne
comportent pas de partie mobile.
Le détendeur est calorifugé et ne comporte pas de partie mobile.
La température du Fréon lors de son passage dans l’évaporateur est de –10°C.
La pression de fin de compression (état 2) est de 15 Bars.
Dans l’état 3 on a du liquide saturé.
L’énergie thermique échangée par le fréon avec le local dans l’évaporateur permet une évaporation isobare de
celui-ci à la température de –10°C jusqu’à l’entrée du compresseur (point 1 : vapeur saturé)
1°) Placer les points 1, 2, 3, 4 sur le diagramme joint, y représenter le cycle et déterminer par lecture et
interpolation linéaire sur ce même diagramme, les valeurs de P, T, h et s en ces différents points. Regrouper les
résultats dans un tableau.
2°) Si le compresseur était adiabatique mais non réversible, comment se situerait sa température de sortie T’
2
par
rapport à T
2
pour une même pression de sortie P
2
.
3°) Comment retrouver sur le diagramme , de deux façons différentes, la valeur de la chaleur latente (ou
enthalpie) massique l
v
de vaporisation du Fréon à une température T
0
donnée ?
4°) Application numérique : si P
0
= 3 Bars, quelles sont les valeurs de l
v
et de T
0
?
5°) Pour un point donné du diagramme situé dans la zone d’équilibre liquide – vapeur on peut définir le titre en
vapeur x. Comment peut-on déterminer x (on donnera deux méthodes) ?
6°) Calculer le titre en vapeur du point 4 de la machine frigorifique.
7°) Calculer les énergie thermiques massiques q
c
et q
f
échangées par le Fréon avec l’extérieur lors des contacts
avec les sources chaude et froide.
8°) Calculer le travail absorbé lors de la compression.
9°) Calculer l’efficacité frigorifique ε de l’installation.
10°) Construire sur le diagramme le cycle d’une machine frigorifique de Carnot qui fonctionnerait entre -10°C
et T
3
et qui pour l’isotherme T
3
décrirait la totalité du palier de liquéfaction.
11°) Calculer l’efficacité de ce cycle de Carnot.
12°) Donner une expression de c
p
(capacité thermique massique à pression constante du Fréon vapeur) en un
point du domaine vapeur homogène, en fonction des variations élémentaires de T et h.
13°) Déterminer un ordre de grandeur de c
p
en un point voisin de l’état 1 par lecture sur le diagramme.