Chapitre 1a

Chapitre 1: Les choix du consommateur
Chapitre 4 du livre de Perloff
1.
La contrainte budgétaire (CB)
1.1
Introduction
1.2
L’ensemble budgétaire
1.3
Le taux marginal de transformation (TMT) du consommateur
1.4
Effets de changements de prix
1.5
Effets de changements de revenu
1.6
Quelques exemples
2.
Les préférences
2.1
Les hypothèses
2.2
Les courbes d’indifférence (CI)
2.3
La fonction d’utilité
2.3.1
Introduction
2.3.2
Le concept d’utilité marginale
2.3.2
Lien entre la fonction d’utilité et la courbe d’indifférence
2.4
Le taux marginal de substitution (TMS)
2.4.1
Définition
2.4.2
Lien entre le taux marginal de substitution et la fonction d’utilité
2.4.3
Lien entre la forme de la courbe d’indifférence et le taux marginal de substitution
3.
Le choix optimal du consommateur
3.1
La méthode 1: 1A, 1B
3.2
La méthode 2
3.3
La méthode 3
1
1.
La contrainte budgétaire (CB)
1.1
Introduction
Définissons le revenu de l’agent économique comme étant
entre 2 biens: les pizzas notés
Y . De plus supposons que l’agent peut choisir
PZ et les CD notés CD . Le prix de chacun des biens est respectivement
PPZ et PCD . Sa contrainte budgétaire (CB) est défini comme
PPZ ⋅ PZ +PCD ⋅ CD ≤ Y
où
PPZ ⋅ PZ donne les dépenses de l’agent en PZ et PCD ⋅ CD les dépenses en CD .
La quantité maximale de
PZ qui peut être achetée est égale à
PZ =
La quantité maximale de
(Y − PCD ⋅ CD)
PPZ
CD qui peut être achetée est égale à
CD =
(Y − PPZ ⋅ PZ )
PCD
Graphiquement, cela donne
VOIR FIGURE 1.1
2
1.2
L’ensemble budgétaire
L’ensemble budgétaire (“opportunity set”) contient tous les paniers de biens qu’un consommateur peut
acheter. Les paniers se trouvant à l’extérieur de l’ensemble budgétaire ne peuvent pas être obtenus par
l’agent car leurs coûts sont trop élevés.
Si nous choisissons un panier de bien à l’intérieur de l’ensemble budgétaire, cela signifie que la contrainte
budgétaire n’est pas «binding» , c’est-à-dire que le consommateur utilise en partie (mais pas en totalité) son
revenu pour l’achat du panier de biens choisi. Ce choix n’est pas optimal (efficient). Trois cas peuvent être
distingués:
1. Le panier de biens ( PZ , CD ) se trouve à l’intérieur de l’ensemble budgétaire (mais pas sur la
droite de budget):
PPZ ⋅ PZ +PCD ⋅ CD < Y
2. Le panier de biens ( PZ , CD ) se trouve sur la droite de budget (c’est-à-dire sur la CB):
PPZ ⋅ PZ +PCD ⋅ CD = Y
3. Le panier de biens ( PZ , CD ) se trouve à l’extérieur de l’ensemble budgétaire (mais pas sur la
droite de budget):
PPZ ⋅ PZ +PCD ⋅ CD > Y
1.3
Le taux marginal de transformation (TMT) du consommateur
Le taux marginal de transformation (TMT) du consommateur représente le nombre d’unités consommées
de
CD aux quelles le consommateur doit renoncer pour qu’il puisse consommer une unité supplémentaire
de
PZ tel que la quantité dépensée reste constante (le revenu Y reste constant). Le TMT est égal à
TMT = −
PPZ
PCD
Notons que le TMT est aussi la pente de la CB.
3
1.4
Effet de changements de prix
Supposons que le prix des
PZ augmente.
Que se passe-t-il du côté de la pente de la droite budgétaire?
La réponse est à chercher du côté du TMT. Si
PPZ augmente, alors la pente en valeur absolue devient plus
importante.
Que se passe-t-il du côté de la quantité maximale de CD que le consommateur peut acheter alors que son
revenu Y reste constant?
La réponse est à chercher du côté de la droite budgétaire. Il suffit de fixer la quantité consommée de
zéro et de calculer le montant correspondant dépensé pour l’achat de
La quantité maximale de
PZ à
CD et l’on remarque rien ne change.
CD que le consommateur peut acheter est toujours égale au montant à
disposition (revenu) divisé par le prix de
CD .
Que se passe-t-il du côté de la quantité maximale de PZ que le consommateur peut acheter alors que son
revenu Y reste constant?
Nous devons procéder de la même manière que lors de la dernière question. Mais cette fois-ci cependant, la
quantité maximale de
PZ que le consommateur peut acheter diminue car le prix des PZ a augmenté.
Nous avons désormais tous les éléments pour dessiner la nouvelle droite de budget.
VOIR FIGURE 1.2a
1.5
Effets de changements de revenu
Supposons que le revenu disponible
Y augmente.
Que se passe-t-il du côté de la pente de la droite budgétaire?
La réponse est à chercher du côté du TMT. Comme les prix n’on pas changé, cela signifie que le TMT est
identique donc que la pente de la CB n’a pas changé.
Que se passe-t-il du côté de la quantité maximale de CD que le consommateur peut acheter alors que son
revenu Y a augmenté?
La réponse est à chercher du côté de la droite budgétaire. Il suffit de fixer la quantité consommée de
PZ à
zéro et de calculer le montant correspondant dépensé pour l’achat de CD . Dans ce cas, comme les prix
n’ont pas changé mais que le revenu disponible a augmenté, la quantité maximale de CD que le
consommateur peut acheter augmente.
Que se passe-t-il du côté de la quantité maximale de PZ que le consommateur peut acheter alors que son
revenu Y a augmenté?
4
Nous devons procéder de la même manière que lors de la dernière question. Comme les prix n’ont pas
changé mais que le revenu disponible a augmenté, la quantité maximale de
PZ que le consommateur peut
acheter augmente.
Comme à la section précédente, nous avons désormais tous les éléments pour dessiner la nouvelle droite
de budget.
L’effet d’une augmentation de revenu sur les quantités consommées des 2 biens sera équivalent à l’effet
d’une diminution des prix TELLE QUE le TMT ne change (donc les prix doivent diminuer dans la même
proportion).
Attention: l’effet d’une réduction de tous les prix de moitié est différent que lorsque tous les prix diminuent de
30% car le prix de base peut varier selon le type de bien.
VOIR FIGURE 1.2b
1.6
•
Quelques exemples
Limitation de la demande
Supposons que nous avons une économie qui produit
I biens et que je désire limiter la demande du bien i .
Quel instrument dois-je utiliser? Une façon de résoudre le problème est de faire augmenter le prix du bien en
question en le taxant plus par exemple. C’est le cas pour l’alcool ou les cigarettes.
Une autre possibilité est d’imposer des quotas de production. Cela signifie que la quantité de biens
peut être achetée est limitée à une certaine quantité
i qui
qi . C’est le cas des visites aux cascades de
Schaffhausen.
VOIR FIGURE 1.3
•
Réduction de prix du bien après avoir acheté la première unité
ème
Cas 1 : réduction uniquement pour la 2
unité (par ex., le prix diminue de 50%)
ère
Cas 2 : réduction pour toutes unités achetées après la 1
(par ex., le prix diminue de 50%)
Cas 3 : réduction de prix qui augmente avec les unités achetées (par ex., le prix diminue de 50% pour la 2
ème
unité, de 60% pour la 3
ème
unité, etc…)
VOIR FIGURE 1.4
5
2.
•
Les préférences
Les préférences se rapporte à des combinaisons de biens qui font partie de l’ensemble budgétaire
(paniers de biens qui peuvent être achetées par le consommateur qui a un revenu
Y ).
•
On utilise les préférences pour arriver à dire si on préfère un panier par rapport à un autre panier.
•
Le problème du consommateur se résume à choisir un panier de biens qui lui procure un maximum
d’utilité en le consommant tel que ce panier fait partie de l’ensemble budgétaire. Notons l’utilité, ou plus
précisément la fonction d’utilité est construite à partir de ses préférences.
Supposons que nous avons une économie qui produit
I biens et que le consommateur peut choisir entre
les 2 paniers de biens suivant:
X = ( x1 , x2 ,..., xI ) et X ′ = ( x1′, x2′ ,..., xI′ )
où
xi ( xi′ ) désigne la quantité de biens i qui peut être consommée dans le panier X ( X ′ ). Pour
simplifier, nous supposons
I = 2 où le bien 1 est le bien qui nous intéresse alors que le bien 2 est le
reste des biens produits. La question principale qui concerne le consommateur est comment comparer
les 2 paniers de biens de façon à faire un choix optimal.
2.1
Les hypothèses
De façon à pouvoir construire une fonction d’utilité qui soit cohérente avec les préférences du
consommateur, nous devons caractériser les préférences par une série d’hypothèses.
Les préférences peuvent être représentées par une fonction d'utilité seulement si les préférences sont
RATIONELLES. Les préférences sont rationnelles si
•
sont complètes: étant donné 2 paniers
X et X ′ , le consommateur est toujours capable
de faire un choix par rapport aux préférences qu’il a des 2 paniers. Soit il préfère
soit il préfère
•
•
X ′ à X , soit il est indifférent entre X et X ′ .
ème
sont transitives: imaginons qu’il y ait un 3
préfère
X à X′,
panier
X ′′ à disposition. Si le consommateur
X à X ′ et X ′ à X ′′ , alors il doit préférer X à X ′′ .
sont monotones: le consommateur préfère consommer plus de biens que moins. On
suppose qu’il n’arrive à satiété. Donc, si tous les éléments (quantités) des paniers
sont égaux, mais que
X et X ′
xi > xi′ quel que soit le bien i , alors le consommateur doit préférer
X à X′.
6
2.2
Les courbes d’indifférence (CI)
Définition: la CI correspond à l’ensemble de combinaisons de quantités de biens 1 ( x1 ) et de biens 2 ( x2 )
qui procurent le même niveau d’utilité au consommateur.
VOIR FIGURES 1.5a et 1.5b
Propriétés des CI:
1) Plus on s’éloigne de l’origine des axes ( x1 , x2 ), plus le niveau d’utilité augmente (hypothèses de
monotonicité et de transitivité).
2) Chaque panier de biens
X = ( x1 , x2 ) se trouve sur une et une seule CI, ce qui signifie que les CI
ne se croisent pas (cette propriété à l’hypothèse selon laquelle les préférences sont complètes).
3) Les CI sont fines (hypothèse de monotonicité, c’est-à-dire de non-satiété).
4) Les CI ont une pente négative et sont convexes (Les CI sont convexes car un panier de biens se
trouvant sur la droite reliant 2 paniers appartenant à la même CI appartient à une CI associée à un
niveau d’utilité plus élevé. Intuition: un mélange de 2 paniers de biens est préféré à chacun des 2
paniers)
VOIR FIGURES 1.6a,1.6b et 1.6c
2.3
La fonction d’utilité
2.3.1
Introduction
La fonction d’utilité est une façon de décrire les préférences du consommateur. Chaque panier de biens
X = ( x1 , x2 ,..., xI ) est associé à un certain niveau d’utilité. Cela signifie que lorsque le consommateur doit
choisir entre 2 paniers de biens
X = ( x1 , x2 ,..., xI ) et X ′ = ( x1′, x2′ ,..., xI′ ) , il préférera X à X ′ si et
seulement si
U ( X ) > U ( X ′)
où
U ( ) est le niveau d’utilité donnée par la fonction d’utilité.
Quelques clarifications importantes:
•
Les fonctions d’utilité sont un outil économique. Il est difficile de les utiliser dans la vraie vie.
•
Une fonction d’utilité n’est pas définie de façon unique. Si
croissante et que
h( ) est une fonction monotone
u ( ) est une fonction d’utilité qui décrit les préférences du consommateur, alors
7
h ( u ( xi , x2 ,..., xI ) )
est une autre fonction d’utilité qui décrit les mêmes préférences du consommateur.
•
L’utilité est mesure ordinale et non cardinale: au cas ou d'une transformation monotone de la
fonction d'utilité l'ordre entre paniers ne change pas, même si la distance entre paniers en terme
d'utilité a changé. La distance entre paniers est une caractéristique cardinale des fonctions d'utilité:
elle ne résiste pas au transformations monotone.
2.3.2
Le concept d’utilité marginale
Définition: l’utilité marginale mesure de combien l’utilité augmente si le consommateur augmente la quantité
consommée de bien
biens inchangée à
i à la marge (de façon infinitésimale) en gardant la quantité consommée des autres
( x1 = x1 , x2 = x2 ,..., xi −1 = xi −1 , xi +1 = xi +1 ,..., xI
= xI ) . On peut obtenir l’utilité marginale
par rapport à un bien, disons le bien i , en prenant la dérivé partielle de la fonction d’utilité par rapport à
u xi ( x1 = x1 , x2 = x2 ,..., xi −1 = xi −1 , xi +1 = xi +1 ,..., xI = xI ) =
∂u ( x1 ,..., xI )
∂xi
( x = x , x = x ,..., x
1
1
2
2
i −1 = xi −1 , xi +1 = xi +1 ,..., xI
xi
= xI )
Propriétés des functions d’utilité:
•
Le niveau d’utilité donnée par la fonction d’utilité
u ( x1 ,..., xI ) augmente en chacun de ses
arguments (utilité marginale positive).. Formellement, cela signifie que
u xi ( x1 = x1 , x2 = x2 ,..., xi −1 = xi −1 , xi +1 = xi +1 ,..., xI = xI ) > 0, ∀i = 1,..., I
Cette propriété est due à l’hypothèse de monotonicité des préférences (plus le consommateur a,
plus il se sent bien).
•
L’utilité marginale diminue en chacun de ses arguments (utilité marginale décroissante).
Formellement, cela signifie que
∂ 2u ( x1 ,..., xI )
∂xi 2
( x =x ,x
1
•
1
≤ 0, ∀i = 1,..., I
2 = x2 ,..., xi −1 = xi −1 , xi +1 = xi +1 ,..., xI = xI )
Cette propriété est due au fait que les CI sont convexes (mais pas forcément strictement).
VOIR FIGURES 1.7a et 1.7b
8
2.3.3
Lien entre la fonction d’utilité et la courbe d’indifférence
Supposons que
I = 2 . Nous pouvons considérer la colline du bonheur («hill of happiness»). Une CI est
déterminée en prenant des coupes parallèles de la colline du bonheur à un niveau d’utilité fixé.
VOIR FIGURES 1.8
Formellement, une CI associée à un niveau d’utilité fixé à
U = U est donnée par
U = u ( xi , x2 )
Rappelons que la CI correspond à l’ensemble de combinaisons de quantités de biens 1 ( x1 ) et de biens 2
( x2 ) qui procurent le même niveau d’utilité au consommateur (ici
U = U ).
Comment trouver la pente de la CI ? Nous allons utiliser le concept mathématique de la différentiation totale.
De plus, nous savons que l’ensemble de combinaisons de quantités de biens 1 ( x1 ) et de biens 2 ( x2 ) qui
se trouvent sur une même CI correspond à un même niveau d’utilité. Donc sur une CI, le niveau d’utilité ne
change pas, ce qui implique que sur une CI
dU = dU = 0
Calculons la différentiation totale de la fonction d’utilité donnée par
dU =
U = u ( xi , x2 )
∂u
∂u
dx1 +
dx2 = 0
∂x1
∂x2
Si l’on réarrange la dernière équation, on peut obtenir la pente de la CI aux points
dx2
dx1
Donc la pente de la CI aux points
x1 = x1 , x2 = x2
∂u ( x1 , x2 )
∂x1
=−
∂u ( x1 , x2 )
∂x2
x1 = x1 , x2 = x2
x1 = x1 , x2 = x2
x1 = x1 , x2 = x2 est égale au ratio des utilités marginales (en valeur
absolue). De plus la pente de la CI est négative car l’utilité marginale est positive.
9
2.3
Le taux marginal de substitution (TMS)
2.3.1
Définition
Définition: le TMS indique de combien de unité du bien 2 ( x2 ) il faut renoncer pour augmenter de une unité
la consommation du bien 1 ( x1 ) tel que son niveau d’utilité reste constant (c’est-à-dire que l’on reste sur la
même CI).
TMS =
∆x 2
∆x1
VOIR FIGURES 1.9a et 1.9b
2.3.2
Lien entre le taux marginal de substitution et la fonction d’utilité
Nous savons que lorsque nous calculons le TMS, le niveau d’utilité reste inchangé, ce qui signifie que
savons que lorsque nous calculons le TMS, nous nous déplaçons le long d’une CI avec un niveau d’utilité
donnée. Si nous observons la définition formelle du TMS et de la pente de la CI, nous remarquons que le
TMS nous donne la pente de la CI lorsque la consommation de biens 1 et 2 est fixée initialement à
x1 = x1 , x2 = x2 . En effet
TMS =
Donc le TMS aux points
dx2
dx1
x1 = x1 , x2 = x2
∂u ( x1 , x2 )
∂x1
=−
∂u ( x1 , x2 )
∂x2
x1 = x1 , x2 = x2
x1 = x1 , x2 = x2 est égale au ratio des utilités marginales (en valeur absolue).
Cependant alors que l’utilité marginale dépend du choix de la fonction d’utilité, ce n’est pas le cas pour le
TMS puisque le TMS est égale au ratio des utilités marginales.
10
2.3.3
Lien entre la forme de la courbe d’indifférence (type de préférences) et le taux marginal de
substitution
VOIR FIGURE 1.10
Préférences linéaires: les biens sont des substituts parfaits
Formellement, les préférences du consommateur sont représentées par la fonction d’utilité suivante
u ( x1 , x2 ) = a ⋅ x1 + b ⋅ x2
La pente de la CI est donnée par
TMS =
dx 2
a
=−
dx1
b
On remarque que la pente de la CI reste la même quelle que soit la valeur prise par
x1 , ce qui signifie que
les CI sont des lignes droites. Dans ce cas, le consommateur peut consommer une quantité supplémentaire
de bien 1 lorsqu’il diminue sa quantité consommée de bien 2 de
a
unités tel que le niveau d’utilité reste
b
inchangé. Donc, le consommateur substitue le bien 2 au bien 1 à un taux fixe égal à
a
− .
b
VOIR FIGURES 1.11a
Préférences Leontief: les biens sont des compléments parfaits
Formellement, les préférences du consommateur sont représentées par la fonction d’utilité suivante
u ( x1 , x2 ) = min ( a ⋅ x1 , b ⋅ x2 )
Les CI sont données par des courbes à angle droit. Il faut noter que la CI n’est pas différentiable lorsque le
consommateur choisit le panier
(a ⋅ x ,b ⋅ x
1
2
= a ⋅ x1 ) (nous verrons plus tard que ce panier de biens est le
choix optimal). Donc lorsque le consommateur choisit le panier
(a ⋅ x ,b ⋅ x
1
2
(a ⋅ x ,b ⋅ x
Au contraire, lorsque le consommateur choisit les paniers ( a ⋅ x , b ⋅ x
pas définie. Lorsque le consommateur choisit les paniers
= a ⋅ x1 ) , la pente de la CI n’est
1
2
< a ⋅ x1 ) , la pente de la CI est nulle.
1
2
> a ⋅ x1 ) , la pente de la CI est infinie.
11
Exemples de compléments parfaits : sucre et café, ski et chaussures de ski, chaussure droite et gauche.
Dans le cas de l’exemple de la chaussure droite et gauche, la valeur des paramètres
par
a et b sont donnés
a = b = 1 . En effet, lorsque le consommateur choisit le nombre de chaussures droites et gauches
optimal, nous avons
x2 = x1 .
VOIR FIGURES 1.11b
Préférences Cobb-Douglas: les biens sont ni des substituts parfaits, ni des compléments parfaits. Donc on
dit que les biens sont substituts imparfaits.
Formellement, les préférences du consommateur sont représentées par la fonction d’utilité suivante
u ( x1 , x2 ) = x1α x2β
Les CI sont données par des courbes convexes. La pente de la CI est donnée par
TMS =
dx2
dx1
=−
x1 = x1 , x2 = x
α x1α −1 x2β
αx
=− 2
α β −1
β x1 x2
β x1
On remarque que contrairement aux préférences linéaires, le consommateur substitue le bien 2 au bien 1 à
un taux qui varie en fonction de la quantité initiale consommée de biens 1 et 2. En effet, plus la quantité de
bien 1 (2) initialement consommée
x1 ( x2 ) est élevée, plus la pente de la CI est faible (élevée). Ceci est dû
à la propriété de convexité des CI.
VOIR FIGURES 1.11c
Example: nourriture et habits
Un point clé à mettre en évidence est que différents niveaux de consommation de nourriture et d’habits
change la forme de la CI, c’est-à-dire la relation entre les 2 biens. Pour des niveaux faibles de
consommation des 2 biens, ils sont complémentaires alors que ils sont considérés comme de plus en plus
substituables lorsque les quantités consommées augmentent.
VOIR FIGURES 1.12
12
3.
Le choix optimal du consommateur
Le problème du choix optimal du consommateur est de maximiser la fonction d’utilité sous la contrainte
budgétaire (CB). Rappelons que la fonction d’utilité est une façon de décrire les préférences. La CB se
rapporte au fait que la quantité de monnaie (argent) que le consommateur peut dépenser est limitée alors
que la quantité de biens qu’il désire consommer est illimitée. C’est un problème type d’allocation optimale de
ressources limitées. Toutes les combinaisons de biens telles que leur valeur fait partie de l’ensemble
budgétaire représente les paniers permissibles.
«Maximiser la fonction d’utilité sous la contrainte budgétaire» signifie que le consommateur doit chercher le
panier optimal tel que
1) le niveau d’utilité est maximal
2) la contrainte budgétaire est «binding», c’est-à-dire que la CB tient avec égalité
→ supposons que le consommateur doive choisir la quantité
x1 de bien 1 et la quantité x2 de bien 2.
Résoudre ce problème de maximisation sous contrainte revient à trouver 2 types de solutions
1) solution intérieure: les 2 biens sont consommés à l’optimum
2) solution de coin: seul un des biens est consommé à l’optimum
Formellement, le consommateur doit résoudre le programme suivant
max u ( x1 , x2 )
x1 , x2 ≥ 0
s.c.
p1 ⋅ x1 + p2 ⋅ x2 ≤ Y
Ce programme de maximisation sous contrainte peut être résolu de 3 façons différentes
•
mathématiquement
•
graphiquement
•
intuitivement
3.1
La méthode 1: résolution d’un programme d’optimisation
3.1.1
La méthode 1A: résoudre un problème un programme de maximisation sous contrainte à
l’aide de la fonction de Lagrange
La fonction de Lagrange s’écrit comme
L(x1 , x2 , λ ) = u ( x1 , x2 ) + λ (Y − x1 p1 − x2 p2 )
Le problème de maximisation se réduit à
max L(x1 , x2 , λ ) = u ( x1 , x2 ) + λ (Y − x1 p1 − x2 p2 )
x1 , x2 ≥ 0
13
où
λ
est le multiplicateur de Lagrange qui la valeur marginale de la monnaie
Les variables de choix du consommateur (endogènes) sont
Y à l’optimum.
x1 , x2 et λ . Les conditions de premier ordre
(pour les trouver : prendre la dérivé première de la fonction de Lagrange par rapport aux variables de choix
x1 , x2 et λ , et les égaliser à zéro) sont
∂L
= 0 → u x1 ( x1 , x2 ) = λ p1
∂x1
∂L
= 0 → u x2 ( x1 , x2 ) = λ p2
∂x2
∂L
= 0 → x1 p1 + x2 p2 = Y
∂λ
En combinant les 2 premières lignes, nous trouvons la condition d’optimalité suivante
u x ( x1 , x2 )
p
− 1
=− 1
u x2 ( x1 , x2 )
p2
{
14243
=TMT
=TMS
La condition d’optimalité du consommateur égalise le TMS au TMT (du consommateur). En d’autres termes,
la solution optimale est obtenue lorsque le ratio des utilités marginale au égal au ratio des prix.
Si nous isolons
x1 (ou x2 ) de la 3ème condition de premier ordre (
∂L
= 0 ) qui correspond à la CB et que
∂λ
nous remplaçons cette variable dans la condition d’optimalité, nous pouvons trouver en réarrangeant la
valeur optimale pour
x2 (ou x1 ). Si l’on remplace la valeur optimale de x2 (ou x1 ) dans la CB, nous
pouvons obtenir la valeur optimale pour
x1 (ou x2 ).
La dernière étape est de calculer la valeur optimale de
λ , qui nous donne l’utilité marginale de la monnaie
Y à l’optimum. Pour atteindre ce résultat, il suffit de remplace les valeurs optimales x1 et x2 dans
u x1 ( x1 , x2 ) = λ p1 ou u x2 ( x1 , x2 ) = λ p2 et de réarranger pour isoler λ .
3.1.2
La méthode 1B: résoudre un problème un programme de maximisation sous contrainte sans
l’aide de la fonction de Lagrange
Un moyen plus rapide de résoudre le programme de maximisation sous contrainte est d’utiliser la CB en
isolant une variable qui sera alors fonction de l’autre variable, des prix et du niveau de revenu. Ensuite, on
remplace la variable en question dans la fonction d’utilité ce qui donne
14
x1 =
Y − p2 x2
Y p
→ u( − 2 x2 , x2 )
p1
p
p1
11424
3
= x1
Enfin, nous calculons la dérivée première par rapport la variable de choix restante (ici
x2 ) et égalisons celle-
ci à zéro. A partir de cette condition, nous pouvons trouver la condition d’optimalité. En effet
∂u(
Y p2
−
x2 , x2 )
u (x , x ) p
∂u ( x1 , x2 ) p2 ∂u ( x1 , x2 )
p1 p1
=0→
(− ) +
= 0 → x1 1 2 = 1
∂x2
∂x1
p1
∂x2
u x2 ( x1 , x2 ) p2
Pour trouver les valeurs optimales de
3.2
x1 et x2 , nous procédons de la manière que pour la méthode 1A.
La méthode 2: trouver les solutions intérieures ou de coin à l’aide d’un graphique
VOIR FIGURE 1.13
Etant donné la droite budgétaire fixée par les prix des biens et le revenu, le consommateur doit choisir le
panier de biens qui se trouve sur la CI la plus éloignée de l’origine des axes. Ce panier de panier optimal
correspond au point de tangence entre la CI et la droite de budget. En d’autres termes, ce point de
tangence correspond au panier qui maximise la fonction d’utilité (la CI la plus éloignée de l’origine) tout en
respectant la CB. A ce point de tangence, nous remarquons sur le graphique que la pente de la droite
budgétaire (TMT) est égal à la pente de la CI (TMS). Nous avons donc la même condition d’optimalité
obtenue par la méthode 1 où
TMT = TMS au point de tangence. En manipulant cette condition
d’optimalité, nous trouvons
u x1 ( x1 , x2 )
p1
=
u x2 ( x1 , x2 )
p2
Cette condition nous dit qu’à l’optimum, l’utilité marginale d’un bien ajustée par son propre prix est égale
l’utilité marginale de l’autre bien ajustée également par son propre prix. En d’autres termes, le ratio
«bénéfice marginal/coût marginal» doit être égal pour les 2 biens à l’optimum.
VOIR FIGURE 1.14
Il faut noter que en cas de solutions intérieures, nous avons
TMT = TMS , c’est-à-dire que le panier de
panier optimal correspond au point de tangence entre la CI et la droite de budget. Cependant, lorsque les CI
15
sont particulières plates (ou plates dans le cas de préférences linéaires), il peut arriver que le panier optimal
ne corresponde pas à un point de tangence. Dans ce cas,
TMT ≠ TMS et nous parlons alors de solutions
de coins car la quantité optimale consommée d’un des 2 biens est nulle. En effet, en cas de solution de
coins, le ratio «bénéfice marginal/coût marginal» d’un bien est supérieur à l’autre bien même lorsque la
quantité consommée de ce dernier est nulle. Le consommateur n’a donc aucun intérêt à consommer une
quantité positive de ce bien.
VOIR FIGURES 1.15a et 1.15b
3.3
La méthode 3: analyse intuitive à l’aide de la condition d’optimalité du consommateur
Le TMT en valeur absolue correspond au ratio des prix. Il nous donne donc le taux auquel les 2 biens sont
échangés sur le marché. Le TMS en valeur absolue correspond au ratio des utilités marginales associés aux
2 biens. A l’optimum du consommateur, une solution intérieure est trouvée lorsque le TMT est égal au TMS.
En manipulant cette condition d’optimalité, nous trouvons une condition telle que l’utilité marginale d’un bien
ajustée par son propre prix est égale l’utilité marginale de l’autre bien ajustée également par son propre prix.
Par contre, si le consommateur préfère vendre du bien 1 pour du bien 2 aux prix donnés quelles que soient
les quantités consommées de bien 1, cela signifie que
u x1 ( x1 , x2 )
p1
<
u x2 ( x1 , x2 )
p2
⇒ TMT > TMS
et donc le consommateur va substituer le bien 2 au bien 1 jusqu’au point tel que TMS=TMT.
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