TD4 Correction - IMJ-PRG

L1 SNV - Mathématiques 2013-2014
TD4 Correction
Continuité et dérivées
Exercice 1 : Déterminer les valeurs de aet de bpour que la fonction f(x)
f(x) = 
(x+ 1)2x < 2
a x = 2
x2+b x > 2
soit continue sur R.
La fonction fest continue et dérivable sur R\ {2}.On a
lim
x→2(x+ 1)2= 32= 9.
Par ailleurs,
lim
x→2x2+b= 4 + b.
En choisissant a= 9 et b= 5, on obtient que la fonction fest également
continue au point 2et donc continue sur R.
Est-elle aussi dérivable ?
On a
lim
h>0→0
f(2 + h)−f(2)
h= lim
h>0→0
(2 + h)2+ 5 −9
h= lim
h>0→0
h2+ 4h
h= 4
et
lim
h<0→0
f(2 + h)−f(2)
h= lim
h>0→0
(3 + h)2−9
h= lim
h>0→0
h2+ 6h
h= 6.
On en déduit que fn’est pas dérivable au point 2.
Exercice 2 : Étudier les fonctions definies sur R\{0}et déterminer si elles
peuvent être prolongées par continuité en zéro.
1) f(x) = sin( 1
x),2) f(x) = xsin( 1 x),3) f(x) = x2sin( 1 x)
Quelle fonction est aussi derivable pour x= 0 ?
1) f(x) = sin( 1
x).Cette fonction est C∞(R\{0}). Soient (xn)n∈Net (yn)n∈Nles
suites définies par
xn:= 1
2nπ et yn=1 2nπ +π
2
.
On a clairement
lim
n→+∞xn= lim n→+∞yn= 0.
Par ailleurs,
lim
n→+∞sin( 1
xn
)=0et lim
n→+∞sin( 1
yn
) = 1.
1

On en déduit que l’on ne peut pas prolonger cette fonction en 0et on ne peut
donc pas la dériver en 0.
2) f(x) = xsin( 1
x). Cette fonction est C∞(R\ {0}). On a
|f(x)|≤|x|.
On en déduit que l’on peut prolonger fen 0en posant f(0) = 0.On a
f(h)−f(0)
h= sin( 1 h)
qui n’a pas de limite d’après le 1). Cette fonction n’est donc pas dérivable en 0.
3) f(x) = x2sin( 1
x). Cette fonction est C∞(R\ {0}). On a
|f(x)| ≤ |x|2.
On en déduit que l’on peut prolonger fen 0en posant f(0) = 0.On a
f(h)−f(0)
h=hsin( 1 h)→0
d’après le 2). On en déduit que fest dérivable en 0et que f0(0) = 0.
Exercice 3 : Trouver un prolongement par continuité à Rentier des fonctions
suivantes.
1) f(x) = x3+ 5x+ 6
x3+ 1 ,2) f(x) = (1 + x)2−1 2x,3) f(x) = 2x2−8 x−2
1) f(x) = x3+5x+6
x3+1 . On a
x3+ 1 = (x+ 1)(x2−x+ 1); x3+ 5x+ 6 = (x+ 1)(x2+ 5x+ 6).
On en déduit que
f(x) = x2+ 5x+ 6
x2−x+ 1 .
Or, si l’on calcule le discriminant du polynôme x2−x+ 1, on trouve
∆=1−4 = −3<0.
Ce polynôme ne s’annule donc pas sur Ret la fonction fest bien continue sur
R.
2) f(x) = (1+x)2−1
2x. On a
(1 + x)2−1 = x2+ 2x=x(x+ 2).
On en déduit que
f(x) = x+ 2
2
qui est bien continue sur R.
2

3) f(x) = 2x2−8
x−2.On a
2x2−8 = 2(x−2)(x+ 2).
On en déduit que
f(x) = 2(x−2)
qui est continue sur R.
Exercice 4 : Utiliser la définition de dérivée pour déterminer la derivée des
fonctions suivantes.
1) f(x)=3x2−4x+5,2) f(x) = √5x−2,3) f(x) = sin(x),4) f(x) = 3
x+ 1
1) f(x)=3x2−4x+ 5. Soit h∈R. On a
f(x+h) = f(x)+3h2+ 6xh −4h.
On en déduit que
lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h= lim
h→0
3h2+ 6xh −4h
h= 6x−4.
2) f(x) = √5x−2On a
f(x+h)−f(x) = p5(x+h)−2−√5x−2 = (p5(x+h)−2−√5x−2)(p5(x+h)−2 + √5x−2)
p5(x+h)−2 + √5x−2
et donc
f(x+h)−f(x) = 5h
p5(x+h)−2 + √5x−2.
On en déduit que
lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h= lim
h→0
5
p5(x+h)−2 + √5x−2=5
2√5x−2.
3) sin(x). On utilise les formules trigonométriques
sin(x+h)−sin(x)
h= cos(2x+h 2)sin(h
2)
h
2
.
En utilisant que
lim
h→0
sin(h)
h= 0,
on obtient que
lim
h→0
sin(x+h)−sin(x)
h= cos(x).
4) f(x) = 3
x+1 . On a
f(x+h)−f(x) = 3
x+h+ 1 −3 x+ 1 =−3h (x+h+ 1)(x+ 1).
3

On en déduit que
lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h=−3 (x+ 1)2.
Exercice 5 : Utiliser les regles de dérivation pour calculer la derivée des
fonctions suivantes.
1
x+√x−1
√x,ln(p5x2−4),ex2+22
, x −px2+ 1
pln(x)
e2x,1 + tan(x) 1 + x2,ln(cos(x)),ln 3x2−4 5x3−4esin3(x2)
1) f(x) = 1
x+√x−1
√x. On a
f0(x) = −1
x2+1 2
1
√x+1
2
1
x√x.
2) f(x) = ln(√5x2−4).
f0(x) = 5x
5x2−4.
3) f(x) = ex2+22 .
f0(x)=4xex2+22 .
4) f(x) = x−√x2+ 1.
f0(x)=1−x
√x2+ 1.
5) 1+tan(x)
1+x2. On a
f0(x) = (1 + tan2(x))(1 + x2)−2x(1 + tan(x))
(1 + x2)2.
6) f(x) = ln(cos(x)). On a
f0(x) = −sin(x)
cos(x)=−tan(x).
7) f(x) = ln 3x2−4
5x3−4. On a
f0(x) = 6x(5x3−4) −15x2(3x2−4)
(5x3−4)2×5x3−4 3x2−4=6x 3x2−4−15x2 5x3−4.
8) f(x) = esin3(x2).On a
f0(x)=6xcos(x2)(sin(x2))2esin3(x2).
Exercice 6 : Déterminer aet bpour que la fonction f(x)soit continue et
dérivable sur R.
f(x) = (x2+x+ 1 x > 1
ax3+bx + 2 x < 1
4

La fonction f∈ C(R\ {1}). Pour que fsoit continue sur R, il faut que
lim
x→1+f(x) = lim
x→1−
f(x)
et donc que
3 = a+b+ 2.
Pour que fsoit dérivable sur R, il suffit d’avoir
lim
x→1+f0(x) = lim
x→1−
f0(x)
et donc que
3 = 3a+b.
On en déduit que
a= 1, b = 0.
Exercice 7 : Problèmes d’optimisation.
– Dans un rectangle de 40m de périmètre, quelles dimensions des côtés don-
neraient la plus grande surface possible ?
Soit `la largeur du rectangle et Lsa longueur. Par hypothèse, on a
2(`+L) = 40 et donc `+L= 20.
On en déduit que L= 20 −`et que `peut être compris entre 0et 20. La
surface du rectangle est donnée par
L` = (20 −`)`.
Soit
f: [0,20] →[0,+∞)
définie par
f(`) = (20 −`)`.
La plus grande surface possible correspond à la plus grande valeur de fsur
[0,20]. En dérivant f, on trouve que
f0(v) = (20 −`)−`= 2(10 −`).
On a donc fest strictement croissante sur [0,10] et strictement décrois-
sante sur [10,20].fatteint donc sa valeur maximale en un unique point
`= 10. La surface maximale est donc atteinte lorsque `=L= 10 et est
donnée par 100.
– Déterminer le point dans le graphe de y=√xqui est le plus proche du
point (4,0).
On a y=√x, on en déduit que x≥0. De plus la distance au carré entre
les points (x, √x)et (4,0) est donnée par
f(x)=(x−4)2+x.
Il s’agit donc de minimiser la fonction fsur [0,+∞). On a
f0(x) = 1 + 2(x−4).
5