DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE

DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
I. DOUBLET ÉLECTROSTATIQUE
Un double électrostatique est constitué de deux charges +q et –q.
II. DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
G
ur
z
Un dipôle électrostatique est un doublet électrique (2 charges +q et –q) dont les
dimensions sont petites :
¾ NP r : approximation dipolaire. On va calculer le champ créé par ce dipôle à
grande distance devant ses dimensions.
¾ Si on place le dipôle dans un champ extérieur, on suppose que le champ extérieur
est quasi uniforme.
On utilise les coordonnées sphériques pour repérer le point M dans l’espace.
JJJG
G
On définit le moment dipolaire : p = q NP . Le moment dipolaire est dirigé de la
charge négative vers la charge positive.
M
θ
G
uθ
G
uϕ
r
(+q ) P
O
(−q) N
1
Il s’exprime souvent en Debye (symbole D) : 1 D = × 10−29 C.m
3
II.1 Potentiel créé par le dipôle en un point éloigné
Q Dipôle électrostatique (35-509)
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−q
q
+
4πε 0 NM 4πε 0 PM
JJJJG JJJG JJJJG
PM = PO + OM
JJJG G
JJJJG 2 JJJG 2 JJJJG 2
JJJG JJJJG
JJJG JJJJG
 2OP ⋅ ur OP 2 
PM = PO + OM + 2 PO ⋅ OM = OM 2 − 2OP ⋅ OM + OP 2 = OM 2  1 −
+


OM
OM 2 

JJJG G
2OP ⋅ ur
OP 2
On va faire un développement limité au premier ordre :
est un terme du premier ordre et
est un terme
OM
OM 2
−1
JJJG G
1
1  2OP ⋅ ur OP 2  2
=
+
du deuxième ordre. On a
1 −

PM OM 
OM
OM 2 
JJJG G
1
1  OP ⋅ ur 
α
OP 2
DL au premier ordre :
est d’ordre 2 donc négligeable.
=
+
1

 car (1 + x ) = 1 + α x . Le terme
PM OM 
OM 
OM 2
JJJG G
1
1  ON ⋅ ur 
=
De même, on a
1 +

NM OM 
OM 
JJJG G
JJJG G
JJJG G
1 
1   OP ⋅ ur 
1  ON ⋅ ur  
q  1
q
q NP ⋅ ur
Finalement, V =
−
=
 1 +
−
1 +
 =
4πε 0  PM NM  4πε 0 OM  
OM  OM 
OM   4πε 0 OM 2
G G
p ⋅ ur
p cos θ
Pour un dipôle électrostatique, le potentiel en un point éloigné vaut : V =
=
2
4πε 0 r
4πε 0 r 2
Résultat à connaître par cœur.
V=
II.2 Champ créé par le dipôle en un point éloigné
On en déduit immédiatement le champ électrostatique
2 p cos θ
∂V
4πε 0 r 3
∂r
JJJJG
G
1 ∂V
p sin θ
=
E = −grad V = −
4πε 0 r 3
r ∂θ
1 ∂V 0
r sin θ ∂ϕ
Pour une charge ponctuelle, on a un potentiel en 1/r et un champ en 1/r2.
Pour le dipôle, on a un potentiel en 1/r2 et un champ en 1/r3
Les effets des deux charges opposées en un point éloigné tendent à se compenser.
II.3 Surfaces équipotentielles
On cherche l’ensemble des points tels que V =
•
•
p cos θ
= cte = V0
4πε 0 r 2
La distribution est invariante par rotation d’angle ϕ , donc V ne dépend pas de ϕ . On peut donc travailler à ϕ
constant.
Le plan z = 0 est un plan d’antisymétrie. SI M’ est le symétrique de M par rapport au plan z = 0, alors
V ( M ') = −V ( M ) .
On peut donc restreindre l’étude à θ variant entre 0 et
On a
cos θ
= cte ' = A0 , soit r =
r2
cos θ
A0
π
2
.
. On a l’équation polaire de l’équipotentielle.
On peut avoir l’équation cartésienne :
Q Dipôle électrostatique (35-509)
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
cos θ
cos θ
 z = r cos θ =
A0


 y = r sin θ = cos θ sin θ

A0

II.4 Lignes de champ
Une ligne de champ est une courbe tangente en chaque point au champ électrostatique.
E
dr
JJG
G r
sont colinéaires.
En un point de la ligne de champ, E Eθ et dl rdθ
r sin θ dϕ
0
2 p cos θ
∂V
4πε 0 r 3
∂r
JJJJG
G
1 ∂V
dr rdθ
p sin θ
=
Pour ϕ donné, on a
=
. Or E = −grad V = −
4πε 0 r 3
r ∂θ
Er
Eθ
1 ∂V 0
r sin θ ∂ϕ
On en déduit :
dr 2 cos θ dθ
rdθ
dr
=
. On sépare les variables :
=
p sin θ
2 p cos θ
r
sin θ
4πε 0 r 3
4πε 0 r 3
On intègre : ln r = 2 ln sin θ + cte = ln ( sin 2 θ ) + cte
L’équation d’une ligne de champ est : r = λ sin 2 θ avec λ une constante.
Q Dipôle électrostatique (35-509)
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III. ACTIONS SUBIES PAR UN DIPÔLE PLACÉ DANS UN CHAMP EXTÉRIEUR
UNIFORME
III.1 Force résultante
G
On appelle E0 le champ extérieur uniforme.
G
G
G G
La résultante des forces extérieures qui s’exerce sur le dipôle vaut : F = qE0 − qE0 = 0
On a deux forces qui ont une somme nulle et forment par définition un couple de forces dont on va calculer le moment
résultant.
III.2 Moment résultant
Soit A un point quelconque.
JJJG
JJJG
JJJG G
G
G
G
G G
Γ A = AN ^ − qE0 + AP ^ qE0 = qNP ^ E0 = p ^ E0
(
)
( )
Le moment résultant est indépendant du point A.
P
G
uz
G
−qE0
ψ
G
qE0
O
G
E0
III.3 Énergie potentielle
N
On considère le cas particulier où le dipôle est en rotation autour de
l’axe Oz. On considère une rotation élémentaire et on calcule le travail élémentaire.
dψ
dt
D’après le schéma, on a Γ = − pE0 sinψ , soit δ W = − pE0 sinψ dψ . On peut prendre
une
primitive.
L’énergie
potentielle
est
alors
définie
par :
δ W = − pE0 sinψ dψ = −dE p , soit dE p = pE0 sinψ dψ et E p = − pE0 cosψ + cte . On uGz
G G
choisit arbitrairement la constante nulle, d’où E p = − p ⋅ E0
Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe, δ W = Pdt = ( Γω ) dt = Γdψ car ω =
G
p
ψ
O
G
E0
On admet la généralisation :
G
Un dipôle est rigide si p = cte . L’énergie potentielle d’un dipôle rigide placé dans un champ extérieur uniforme
G G
(ou quasi uniforme) est E p = − p ⋅ E0
III.4 Étude de l’équilibre
Il y a deux méthodes pour étudier l’équilibre :
¾ Utilisation du moment des forces.
G G G
G G
G
Le moment des forces est Γ = p ^ E0 = − pE0 sinψ u z . À l’équilibre, Γ = 0 .
G
G
Il y a deux positions d’équilibre : ψ = 0 et ψ = π , c'est-à-dire p et E0 colinéaires.
¾ Utilisation de l’énergie potentielle.
G G
L’énergie potentielle du dipôle est : E p = − p ⋅ E0 = − pE0 cosψ .
L’énergie potentielle est extrêmale à l’équilibre : Il y a deux positions d’équilibre : ψ = 0 et ψ = π .
a) Stabilité de l’équilibre
L’équilibre est stable si en écartant le système de sa position d’équilibre, les actions mécaniques ont tendance à le
ramener vers sa position d’équilibre.
L’équilibre est instable si en écartant le système de sa position d’équilibre, les actions mécaniques ont tendance à
l’écarter de sa position d’équilibre.
G
p
¾ Utilisation du moment des forces.
G
uz
G
On écarte le dipôle de la position d’équilibre ψ = 0 .
O
E0
Γ z < 0 , le couple a tendance à le faire tourner dans le sens horaire
(Règle de la main droite).
La position ψ = 0 est donc un équilibre stable.
Le dipôle va donc s’aligner dans le même sens que le champ extérieur.
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¾
On écarte le dipôle de la position d’équilibre ψ = π .
Γ z < 0 , le couple a tendance à le faire tourner dans le sens trigonométrique
G
p
(Règle de la main droite).
La position ψ = π est donc un équilibre instable.
Utilisation de l’énergie potentielle.
E p = − pE0 cosψ .
G
uz
G
E0
O
L’équilibre est stable si l’énergie potentielle est minimale.
L’équilibre est instable si l’énergie potentielle est maximale.
On retrouve donc les résultats obtenus avec la première méthode.
b) Obtention de l’équation différentielle
¾ Utilisation du théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d’un axe fixe.
On appelle J le moment d’inertie du dipôle électrostatique. Dans un référentiel galiléen, on a :
dω
d 2ψ
d 2ψ pE0
J
= J 2 = Γ z = − pE0 sinψ . On en déduit :
sinψ = 0 .
+
dt
dt
dt 2
J
Dans le cas de petites oscillations autour de la position d’équilibre ψ = 0 , on peut effectuer un développement
limité de sinψ au premier ordre. On a alors :
d 2ψ pE0
+
ψ = 0 . C’est l’équation d’un oscillateur harmonique.
dt 2
J
pE0
. La solution est : ψ = ψ m cos (ω0 t + ϕ ) ou de la forme A cos (ω0 t ) + B sin (ω0 t ) . La
J
deuxième forme est plus pratique à utiliser avec les conditions initiales.
Utilisation de l’énergie potentielle.
Le système est conservatif. L’énergie mécanique est constante.
1
Em = Ec + E p = J ω 2 − pE0 cosψ .
2
dEm
=0
La méthode pour obtenir l’équation différentielle est d’écrire :
dt
dEm
1
+ pE0ψ sinψ . En simplifiant par ψ , on en déduit :
Em = Jψ 2 − pE0 cosψ . On en déduit :
= 0 = Jψψ
dt
2
d 2ψ pE0
+
sinψ = 0 .
dt 2
J
On pose : ω02 =
¾
III.5 Dipôle placé dans un champ extérieur quasi uniforme
On considère un mouvement sur l’axe Ox. Le champ extérieur Eext est noté E.
Le centre du dipôle est repéré par l’abscisse x. On appelle l la distance NP. Le point P est donc à l’abscisse x +
point N à l’abscisse x −
champ extérieur.
l
et le
2
l
. On a vu dans le paragraphe précédent que le dipôle s’aligne dans le même sens que le
2
G
Eext
N
x−
x
P
l
2
x+
l
2
La force résultante s’exerçant sur le dipôle vaut en projection sur l’axe Ox :
l
l


F = qE ( P ) − qE ( N ) = qE  x +  − qE  x − 
2
2


l
l dE
l
l dE


et E  x −  = E ( x ) −
.
On applique la formule de Taylor à l’ordre 1 : E  x +  = E ( x ) +
2
2
d
t
2
2
dt




dE
dE
=p
On a donc F = ql
dx
dx
Le dipôle tend à être entraîné vers les régions de champ intense.
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III.6 Bilan
G
Un dipôle est rigide si p = cte .
G G G
G G
Pour un dipôle rigide placé dans un champ extérieur quasi uniforme : E p = − p ⋅ E0 et Γ = p ^ E0
G G
Si le champ extérieur est uniforme, F = 0
JJJJG
G
Si le champ extérieur est quasi uniforme, F = −grad E p
G G G
• Pour un dipôle non rigide placé dans un champ extérieur quasi uniforme : Γ = p ^ E0
G G
Si le champ extérieur est uniforme, F = 0
dE
Si le champ extérieur est quasi uniforme, F = p ext pour un mouvement sur un axe (Ox par exemple).
dt
ATTENTION : on ne peut pas définir dans ce cas d’énergie potentielle.
•
IV. INTÉRÊT DU CONCEPT DE DIPÔLE
IV.1 Développement multipolaire
On considère une distribution de N charges : q1, q2,…qN situées aux points M1,
M2…MN.
Soit un point O situé dans la distribution.
Soit M un point très éloigné de la distribution.
N
N
JJJJJG
G
On pose Q = ∑ qi et p = ∑ qi OM i = moment dipolaire de la distribution D.
i =1
i =1
M
qN
r = OM
O
q3
q2
q1
On admet que le potentiel V en un point éloigné peut se mettre sous la forme :
G G
1 Q
1 p ⋅ ur
 1
V=
+
+ o 2 
2
4πε 0 r 4πε 0 r
r 
• Interprétation du premier terme : Si Q ≠ 0 , ce premier terme est prépondérant. La distribution de charges est donc
équivalente à grande distance à une charge ponctuelle Q. D’où le nom de monopôle.
G G
1 p ⋅ ur
 1
• Interprétation du deuxième terme : Si Q = 0, V =
+ o 2 
4πε 0 r 2
r 
On définit q = ∑ qi+ = la somme de toutes les charges positives. Comme Q = 0, la somme de toutes les charges
négatives vaut donc −q .
On définit N le barycentre des charges négatives et P le barycentre des charges positives.
N
JJJJJG
JJJJJG
JJJJJG
JJJG JJJG
G
On a alors : p = ∑ qi OM i = ∑ qi+ OM i+ + ∑ qi− OM i− = qOP − qON d’après les propriétés du barycentre.
i =1
JJJG
G
On retrouve alors p = qNP . La distribution de charges est appelée distribution dipolaire.
Tout se passe comme si on avait deux charges ponctuelles placées en P et en N de charges +q et –q.
•
Si on continue plus loin le développement limité si Q = 0 et si P = N, on met en évidence un terme en
1
. La
r3
distribution est appelée un quadripôle.
Exemple :
q
−q
−q
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q
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IV.2 Rôle du dipôle en chimie
a) Solides cristallins
Les solides cristallins sont constitués d’ions. On a un système constitué de monopôles. On a des interactions
électrostatiques très forte et à grande portée. Le potentiel créé par une charge ponctuelle est en 1/r et le champ en
1/r2. Les solides cristallins sont durs et la température de fusion est élevée.
Exemple : NaCl – température de fusion : 800°C
b) Moment dipolaire permanent pour certaines molécules
Les molécules sont des systèmes neutres. Certains possèdent un moment dipolaire permanent.
+
−
G
δ
δ
µ
H
P
(+q)
N
(−q)
Cl
G
µ
Exemple : Molécule de chlorure d’hydrogène (HCl).
L’atome de chlore est plus électronégatif que l’hydrogène. On a donc une légère charge excédentaire positive du
côté de H et négative du côté Cl. On dit que la liaison H-Cl est polarisée. Il existe donc un moment dipolaire. La
charge q est une fraction de e. On a une déformation du nuage électronique qui est plus près de Cl que de H.
On a :
q = δ e ; δ est appelé le pourcentage ionique. Il est compris entre 0 et 1.
•
•
•
Si δ = 0, la liaison est covalente. Exemple : H – H. La différence d’électronégativité est nulle.
Si δ est compris entre 0 et 1. Exemple pour H – Cl : δ = 0,17. La liaison covalente est partiellement
polarisée. On dit que la molécule est polaire. δ augmente avec la différence d’électronégativité entre les
deux atomes.
1
On a une formule approchée : µ (en Debye) = ∆χ Pauling avec 1 debye = 1 D = × 10−29 C.m −1
3
Si δ = 1, on a une liaison ionique. On n’a pas de liaison covalente. On a alors des ions. Exemple Na+ et
Cl–. On a alors une liaison ionique (voir cours de cristallographie).
élément
χ
Mg
1,3
H
2,2
C
2,6
I
2,7
Br
3,0
N
3,0
Cl
3,2
O
3,4
F
4,0
c) Polarisabilité
Certaines molécules telles que le benzène n’ont pas de moment dipolaire permanent mais peuvent un moment
G
dipolaire induit en présence d’un champ extérieur E0 .
• En l’absence d’un champ extérieur, le barycentre des charges positives est confondu avec le barycentre des
charges négatives.
• En présence d’un champ électrique extérieur, le barycentre des charges positives se déplace dans le même sens
que le champ extérieur alors que le barycentre des charges négatives se déplace dans l’autres sens. Si le champ
G
extérieur n’est pas trop intense, le moment dipolaire induit est proportionnel à E0 .
G
G
p = αε 0 E0
α est appelé la polarisabilité.
d) Interactions entre molécules
Les molécules sont assimilables à des dipôles. Les interactions sont donc nettement moins intenses que celles entre
les ions.
Les interactions entre les molécules sont appelées des forces de Van der Waals.
Exemple : force en 1/r7 et énergie potentielle en 1/r6. On a donc des interactions peu intenses (quelques dizaines de
kJ.mol-1) et de faible portée.
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