DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE

Q Dipôle électrostatique (35-509) Page 1 sur 7 JN Beury
P
z
O
N
(+ ) q
() − q
M
r
u
G
u
θ
G
u
ϕ
G
θ
r
DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
I. DOUBLET ÉLECTROSTATIQUE
Un double électrostatique est constitué de deux charges +q et –q.
II. DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
Un dipôle électrostatique est un doublet électrique (2 charges +q et –q) dont les
dimensions sont petites :
¾ NP r : approximation dipolaire. On va calculer le champ créé par ce dipôle à
grande distance devant ses dimensions.
¾ Si on place le dipôle dans un champ extérieur, on suppose que le champ extérieur
est quasi uniforme.
On utilise les coordonnées sphériques pour repérer le point M dans l’espace.
On définit le moment dipolaire : pqNP=JJJG
G. Le moment dipolaire est dirigé de la
charge négative vers la charge positive.
Il s’exprime souvent en Debye (symbole D) : 29
1
1D 10 C.m
3
−
=×
II.1 Potentiel créé par le dipôle en un point éloigné

Q Dipôle électrostatique (35-509) Page 2 sur 7 JN Beury
00
44
qq
VNM PM
πε πε
−
=+
PM PO OM=+
JJJJG JJJG JJJJG
2
22 2 222
2
2
22 1
r
OP u OP
PM PO OM PO OM OM OP OM OP OM OM OM
⋅
=+ +⋅= −⋅+= − +
J
JJG
G
JJJJGJJJGJJJJGJJJGJJJJGJJJG JJJJG
On va faire un développement limité au premier ordre : 2r
OP u
OM
⋅
J
JJG
G
est un terme du premier ordre et
2
2
OP
OM est un terme
du deuxième ordre. On a
1
2
2
2
2
11
1r
OP u OP
PM OM OM OM
−
⋅
=− +
JJJG
G
DL au premier ordre : 11
1r
OP u
PM OM OM
⋅
=+
JJJGG
car
()
11
x
x
α
α
+=+. Le terme
2
2
OP
OM est d’ordre 2 donc négligeable.
De même, on a 11
1r
ON u
NM OM OM
⋅
=+
JJJG G
Finalement, 2
00 0
11 1 1
11
44 4
rrr
OP u ON u NP u
qq q
VPM NM OM OM OM OM OM
πε πε πε
⋅
⋅⋅
 =−= +−+=
J
JJGJJJGJJJG
G
GG
Pour un dipôle électrostatique, le potentiel en un point éloigné vaut : 22
00
cos
44
r
pu p
Vrr
θ
πε πε
⋅
==
G
G
Résultat à connaître par cœur.
II.2 Champ créé par le dipôle en un point éloigné
On en déduit immédiatement le champ électrostatique
3
0
3
0
2cos
4
1sin
grad 4
10
sin
p
V
r
r
Vp
EV
rr
V
r
θ
πε
θ
θπε
θϕ
∂
∂
∂
=− =− =
∂
∂
∂
JJJJG
G
Pour une charge ponctuelle, on a un potentiel en 1/r et un champ en 1/r2.
Pour le dipôle, on a un potentiel en 1/r2 et un champ en 1/r3
Les effets des deux charges opposées en un point éloigné tendent à se compenser.
II.3 Surfaces équipotentielles
On cherche l’ensemble des points tels que 0
2
0
cos
4
p
VcteV
r
θ
πε
=
==
• La distribution est invariante par rotation d’angle
ϕ
, donc V ne dépend pas de
ϕ
. On peut donc travailler à
ϕ
constant.
• Le plan z = 0 est un plan d’antisymétrie. SI M’ est le symétrique de M par rapport au plan z = 0, alors
() ()
'VM VM=− .
On peut donc restreindre l’étude à
θ
variant entre 0 et 2
π
.
On a 0
2
cos '
cte A
r
θ
==, soit
0
cos
r
A
θ
=. On a l’équation polaire de l’équipotentielle.
On peut avoir l’équation cartésienne :

Q Dipôle électrostatique (35-509) Page 3 sur 7 JN Beury
0
0
cos
cos cos
cos
sin sin
zr A
yr A
θ
θ
θ
θ
θ
θ
==
==
II.4 Lignes de champ
Une ligne de champ est une courbe tangente en chaque point au champ électrostatique.
En un point de la ligne de champ,
0
r
E
EE
θ
G et
d
dd
sin d
r
lr
r
θ
θ
ϕ
JJG sont colinéaires.
Pour
ϕ
donné, on a dd
r
rr
EE
θ
θ
=. Or
3
0
3
0
2cos
4
1sin
grad 4
10
sin
p
V
r
r
Vp
EV
rr
V
r
θ
πε
θ
θπε
θϕ
∂
∂
∂
=− =− =
∂
∂
∂
JJJJG
G
On en déduit :
33
00
dd
2cos sin
44
rr
pp
rr
θ
θ
θ
πε πε
=. On sépare les variables : d2cosd
sin
r
r
θ
θ
θ
=
On intègre :
()
2
ln 2ln sin ln sinrcte cte θθ =+= +
L’équation d’une ligne de champ est : 2
sinr
λ
θ = avec
λ
une constante.

Q Dipôle électrostatique (35-509) Page 4 sur 7 JN Beury
O
z
u
G
0
E
G
p
G
ψ
O
N
P
z
u
G
0
E
G
0
qE
G
ψ
0
qE−
G
O
p
G
0
E
G
z
u
G
III. ACTIONS SUBIES PAR UN DIPÔLE PLACÉ DANS UN CHAMP EXTÉRIEUR
UNIFORME
III.1 Force résultante
On appelle 0 E
Gle champ extérieur uniforme.
La résultante des forces extérieures qui s’exerce sur le dipôle vaut : 00
0FqE qE
=
−=
G
G
GG
On a deux forces qui ont une somme nulle et forment par définition un couple de forces dont on va calculer le moment
résultant.
III.2 Moment résultant
Soit A un point quelconque.
() ()
0000
^^^^
A
A
NqEAPqEqNPEpEΓ= − + = =
JJJG JJJGJJJG
GGGG
G
G
Le moment résultant est indépendant du point A.
III.3 Énergie potentielle
On considère le cas particulier où le dipôle est en rotation autour de
l’axe Oz. On considère une rotation élémentaire et on calcule le travail élémentaire.
Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe,
(
)
dddWPt t
δ
ωψ ==Γ =Γ car d
dt
ψ
ω =
D’après le schéma, on a 0sinpE
ψ
Γ=− , soit 0sin dWpE
δ
ψψ
=
−. On peut prendre
une primitive. L’énergie potentielle est alors définie par :
0sin d d
p
WpE E
δψψ
=− =− , soit 0 dsind
p
EpE
ψψ
= et 0cos
p
EpE cte
ψ
=
−+. On
choisit arbitrairement la constante nulle, d’où 0p
EpE
=
−⋅
G
G
On admet la généralisation :
Un dipôle est rigide si pcte=
G. L’énergie potentielle d’un dipôle rigide placé dans un champ extérieur uniforme
(ou quasi uniforme) est 0p EpE
=
−⋅
G
G
III.4 Étude de l’équilibre
Il y a deux méthodes pour étudier l’équilibre :
¾ Utilisation du moment des forces.
Le moment des forces est 00
^sin
z
pE pE u
ψ
Γ= =−
G
GGG
. À l’équilibre, 0
Γ
=
G
G
.
Il y a deux positions d’équilibre : 0
ψ
= et
ψ
π
=
, c'est-à-dire p
G
et 0
E
G
colinéaires.
¾ Utilisation de l’énergie potentielle.
L’énergie potentielle du dipôle est : 00
cos
p
EpEpE
ψ
=− ⋅ =−
G
G
.
L’énergie potentielle est extrêmale à l’équilibre : Il y a deux positions d’équilibre : 0
ψ
= et
ψ
π =.
a) Stabilité de l’équilibre
L’équilibre est stable si en écartant le système de sa position d’équilibre, les actions mécaniques ont tendance à le
ramener vers sa position d’équilibre.
L’équilibre est instable si en écartant le système de sa position d’équilibre, les actions mécaniques ont tendance à
l’écarter de sa position d’équilibre.
¾ Utilisation du moment des forces.
On écarte le dipôle de la position d’équilibre 0
ψ
=
.
0
z
Γ< , le couple a tendance à le faire tourner dans le sens horaire
(Règle de la main droite).
La position 0
ψ
= est donc un équilibre stable.
Le dipôle va donc s’aligner dans le même sens que le champ extérieur.

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O
p
G
0
E
G
z
u
G
On écarte le dipôle de la position d’équilibre
ψ
π
=
.
0
z
Γ< , le couple a tendance à le faire tourner dans le sens trigonométrique
(Règle de la main droite).
La position
ψ
π = est donc un équilibre instable.
¾ Utilisation de l’énergie potentielle.
0cos p
EpE
ψ
=− .
L’équilibre est stable si l’énergie potentielle est minimale.
L’équilibre est instable si l’énergie potentielle est maximale.
On retrouve donc les résultats obtenus avec la première méthode.
b) Obtention de l’équation différentielle
¾ Utilisation du théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d’un axe fixe.
On appelle
J
le moment d’inertie du dipôle électrostatique. Dans un référentiel galiléen, on a :
2
0
2
dd sin
ddz
JJ pE
tt
ωψ
ψ
==Γ=− . On en déduit :
2
0
2
dsin 0
d
pE
tJ
ψψ
+
=.
Dans le cas de petites oscillations autour de la position d’équilibre 0
ψ
=
, on peut effectuer un développement
limité de sin
ψ
au premier ordre. On a alors :
2
0
2
d0
d
pE
tJ
ψψ
+
=. C’est l’équation d’un oscillateur harmonique.
On pose : 20
0
pE
J
ω =. La solution est :
(
)
0
cos
mt
ψ
ψωϕ
=
+ ou de la forme
()
(
)
00
cos sin
A
tB t
ω
ω +. La
deuxième forme est plus pratique à utiliser avec les conditions initiales.
¾ Utilisation de l’énergie potentielle.
Le système est conservatif. L’énergie mécanique est constante.
2
0
1cos
2
mcp
EEE J pE
ωψ
=+= − .
La méthode pour obtenir l’équation différentielle est d’écrire : d0
d
m
E
t
=
2
0
1cos
2
m
EJpE
ψψ
=−
. On en déduit : 0
d0sin
d
m
EJpE
t
ψψ ψ ψ
== +
  . En simplifiant par
ψ
, on en déduit :
2
0
2
dsin 0
d
pE
tJ
ψψ
+=.
III.5 Dipôle placé dans un champ extérieur quasi uniforme
On considère un mouvement sur l’axe Ox. Le champ extérieur Eext est noté E.
Le centre du dipôle est repéré par l’abscisse x. On appelle l la distance NP. Le point P est donc à l’abscisse 2
l
x
+
et le
point N à l’abscisse 2
l
x−. On a vu dans le paragraphe précédent que le dipôle s’aligne dans le même sens que le
champ extérieur.
La force résultante s’exerçant sur le dipôle vaut en projection sur l’axe Ox :
() ( )
22
ll
FqEP qEN qEx qEx =− =+−−
On applique la formule de Taylor à l’ordre 1 :
()
d
22d
llE
Ex Ex t += +
 et
()
d
22d
llE
Ex Ex t −= −
 .
On a donc dd
dd
EE
Fql p
x
x
==
Le dipôle tend à être entraîné vers les régions de champ intense.
P
N
x
2
l
x
+
2
l
x−
ext
E
G