Le dipôle électrique.
1. Moment dipolaire électrique
Définition: Le dipôle électrostatique est l’ensemble de
deux charges électriques égales et de signes contraires
(-q) et (+q) (q > 0).
Ces deux charges sont fixées respectivement en deux
points A et B séparées d’une distance ( a = AB ). On se
propose d’étudier les caractéristiques du champ et du
potentiel électrostatique crées par ces deux charges en
un point M très éloignés des charges : a << r = OM :
approximation dipolaire.
2. Moment dipolaire électrique
Soient deux charges ponctuelles –q, +q fixées respectivement en A et B (q > 0). Le moment
dipolaire électrique (ou moment du dipôle) est une grandeur vectorielle définie par:
⃗
= − + =
En désignant par ala distance séparant A et B, la norme du moment dipolaire vaut :
=
⃗
= =
Son unité dans le système International (SI) est le Coulomb-mètre (C m). 113
3. Calcul du potentiel électrostatique
Soit le dipôle de la figure suivante :
Nous choisissons de prendre pour axe (Ox), la droite qui
joint les deux charges tel que l’origine O soit au milieu du
segment AB qui joint les deux charges.
La position de M est repérée dans le système des coordonnées
polaires par (r, θ).
D’après le principe de superposition, le potentiel V(M)
créé par le dipôle en un point M est donnée par :
=
+ =
4 1
+
4 1
=
4
1
−1
= et = +
= = + = + 2. +
Où = ; =
. =
− = −
On a :
= − +
= −
+
De la même façon on trouve :
=
+
+
Cherchons rBet rAen fonction de r, a et θ
114
nous
avons
donc
:
= 1 +
+
4
et
= 1 +
+
4
= 1 −
+
4
et = 1 −
+
4
Puisque
⁄
≪ 1, on a ∶
≪
⁄
,
on peut négliger les termes en
⁄
devant le terme (
⁄
):
≅ 1 +
⁄
; ≅ 1 −
⁄
Etant donné que r, on peut développer
en puissance de
⁄
et ne retenir que
le terme du premier ordre : 1 +
⁄
= 1 −
+ ⋯ ;
≅ 1 −
≅ 1 +
D’où :
−
= 1 −
− 1 +
=
cos
Le potentiel V(M) est donc donné par : =
4
=
4
115
Soit
⃗
=
le vecteur position du point M par rapport au point O (milieu de
[A B]) et p le moment dipolaire
On a :
⃗
.
⃗
= cos θ
Le potentiel V(M) s’écrit donc :
=
⃗
.
⃗
4πε=
⃗
.
4πε
Remarque:
Cette expression qui fait intervenir un produit scalaire est indépendante de tout
système de coordonnées.
La décroissance du potentiel en M crée par un dipôle (1/r2) est plus rapide que
dans le cas d’une charge ponctuelle qui est en (1/r).
116
4. Calcul du champ électrostatique
Composantes du champ en coordonnées polaires
Le dipôle présente une symétrie de révolution autour
de (AB). Le champ électrostatique est donc
contenu dans le plan (M, AB)
D’après le principe de superposition, le champ en M
est donné par :
= + = + (= 0)
Pour calculer les composantes du champ, utilisons la relation : E M = -gradV(M)
avec =
+
=
Les composantes du champ dérivant du potentiel V(M) s’écrivent dans le système de
coordonnées polaires :
= −
=2
4
=
−
1
θ
=
4
=
1 + 3θ
117
6
7
8
1
/
8
100%
