Le dipôle électrique. 1. Moment dipolaire électrique Définition: Le dipôle électrostatique est l’ensemble de deux charges électriques égales et de signes contraires (-q) et (+q) (q > 0). Ces deux charges sont fixées respectivement en deux points A et B séparées d’une distance ( a = AB ). On se propose d’étudier les caractéristiques du champ et du potentiel électrostatique crées par ces deux charges en un point M très éloignés des charges : a << r = OM : approximation dipolaire. 2. Moment dipolaire électrique Soient deux charges ponctuelles –q, +q fixées respectivement en A et B (q > 0). Le moment dipolaire électrique (ou moment du dipôle) est une grandeur vectorielle définie par: ⃗=− + = En désignant par a la distance séparant A et B, la norme du moment dipolaire vaut : = ⃗ = = Son unité dans le système International (SI) est le Coulomb-mètre (C m). 113 3. Calcul du potentiel électrostatique Soit le dipôle de la figure suivante : La position de M est repérée dans le système des coordonnées polaires par (r, θ). Nous choisissons de prendre pour axe (Ox), la droite qui joint les deux charges tel que l’origine O soit au milieu du segment AB qui joint les deux charges. D’après le principe de superposition, le potentiel V(M) créé par le dipôle en un point M est donnée par : = + = 1 4 + 1 4 = 1 4 − 1 Cherchons rB et rA en fonction de r, a et θ = = Où On a : et = = ; = = + = − + = . + De la même façon on trouve : +2 = = = . + − =− − + + + 114 nous avons donc: = 1+ + = 1− + 4 4 et = 1+ + et = 1− + 4 4 Puisque ⁄ ≪ 1, on a ∶ ≪ ⁄ , on peut négliger les termes en ⁄ devant le terme ( ⁄ ): ≅ 1+ ⁄ 1− ≅ ; Etant donné que r, on peut développer ⁄ le terme du premier ordre : 1 + =1− ≅ D’où : 1− − ≅ = 1− Le potentiel V(M) est donc donné par : ⁄ en puissance de +⋯; ⁄ et ne retenir que 1+ − 1+ = = 4 = cos 4 115 Soit ⃗ = le vecteur position du point M par rapport au point O (milieu de [A B]) et p le moment dipolaire On a : ⃗. ⃗ = cos θ Le potentiel V(M) s’écrit donc : ⃗. ⃗ = 4πε ⃗. = 4πε Remarque: Cette expression qui fait intervenir un produit scalaire est indépendante de tout système de coordonnées. La décroissance du potentiel en M crée par un dipôle (1/r2) est plus rapide que dans le cas d’une charge ponctuelle qui est en (1/r). 116 4. Calcul du champ électrostatique Composantes du champ en coordonnées polaires Le dipôle présente une symétrie de révolution autour de (AB). Le champ électrostatique est donc contenu dans le plan (M, AB) D’après le principe de superposition, le champ en M est donné par : = + = + ( = 0) Pour calculer les composantes du champ, utilisons la relation : = avec + E M = -gradV(M) = Les composantes du champ dérivant du potentiel V(M) s’écrivent dans le système de coordonnées polaires : 2 = 4 =− =− 1 θ = 4 = 1+3 θ 117 Composantes du champ en coordonnées cartésiennes les composantes cartésiennes du champ suivant Ox et Oy (du plan AMB) s’écrivent : = cos θ ⃗ + =− θ⃗ = + = cos θ ⃗ + = + = 3 θ ⃗+ θ⃗ + θ − 1 ⃗+ θ⃗ (− θ ⃗+ θ (3 θ⃗) θ)⃗ Formulation globale du champ Nous pouvons exprimer V(M) : =− uniquement en fonction de ⃗ et de ⃗ en calculant le gradient de ⃗. ⃗ 4πε V M =− Or : ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗. ⃗ = ( 1 3 =− ⃗ D’où l’expression de + + 1 4πε = ⃗+ ⃗+ z) = ⃗ + ⃗ + = en fonction de ⃗ et de ⃗ : ⃗, ⃗ − ⃗. ⃗ 4πε 1 =⃗ ( )= ( ⃗. ⃗). ⃗ − ⃗ 118 5. Action d’un champ extérieur uniforme sur un dipôle On place le dipôle électrostatique dans un champ uniforme ( possède la même amplitude, la même direction et le même sens dans tout l’espace). Forces et moment du couple exercés par un dipôle Rappel : chacune des charges subit une force donnée ⃗ =− par : et ⃗ = ⃗ = ⃗ + ⃗ =0 ⃗ et ⃗ forment un couple de forces le dipôle subit un couple de force ( ⃗ et ⃗ ) dont le moment est : Г= ∧ ⃗+ Ce qui donne : ∧ ⃗ = ∧ −⃗ Г= ⃗∧ = ⃗ . Remarques : À l’équilibre Γ⃗=0 ⃗ + ∧ ⃗ = ∧ ⃗ = . ∧ sin α sont colinéaires L’action mécanique principale d’un champ uniforme est d’orienter le dipôle suivant les 119 lignes du champ . Exercice d’application On considère deux fils rectilignes, de longueurs infinies, portant des distributions linéiques de charges de densités constantes +λ et −λ (λ > 0). Ces deux fils sont parallèles entre eux et perpendiculaire au plan (Oxy). On désigne par A(-a/2, 0) et B(+a/2, 0) les intersections respectives du fil chargé ( −λ ) et celui chargé à ( +λ ) avec le plan (Oxy). L’origine O du repère (Oxy) est le milieu de AB (AB = a), (figure 1). Soit M un point du plan (Oxy) repéré en coordonnées polaires par (r, θ) avec r = OM et θ = (AB,OM) . On désigne par V(M) et E(M ) respectivement le potentiel et le champ électrostatique crées par les deux fils en un point M très éloigné des fils : r >> a . 1. En utilisant les résultats du fil infini donner les expressions du potentiel et du potentiel ( ) crée par le fil en B (à constante additive près). ( ) crée par le fil en A 2. Sachant que le point O est pris comme origine du potentiel : V(O) = 0 , en déduire l’expression du potentiel V(M) crée par les deux fils. 3. Dans le cadre de l’approximation dipolaire (r >> a), exprimer les distances AM et BM en fonction de r, a et θ. 4. Montrer que : = ∈ 5. Montrer que les deux fils chargés se comportent comme un dipôle électrostatique isolé dont on précisera le moment dipolaire ⃗ . 6. En déduire les composantes radiale et ortho-radiale du champ électrostatique ( ), son module et sa direction. 120 Pour ≪ 1, 1+ ≅ ( 1é )
