Telechargé par Yasmine Moutamid

diplole électrique

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Le dipôle électrique.
1. Moment dipolaire électrique
Définition: Le dipôle électrostatique est l’ensemble de
deux charges électriques égales et de signes contraires
(-q) et (+q) (q > 0).
Ces deux charges sont fixées respectivement en deux
points A et B séparées d’une distance ( a = AB ). On se
propose d’étudier les caractéristiques du champ et du
potentiel électrostatique crées par ces deux charges en
un point M très éloignés des charges : a << r = OM :
approximation dipolaire.
2. Moment dipolaire électrique
Soient deux charges ponctuelles –q, +q fixées respectivement en A et B (q > 0). Le moment
dipolaire électrique (ou moment du dipôle) est une grandeur vectorielle définie par:
⃗=−
+
=
En désignant par a la distance séparant A et B, la norme du moment dipolaire vaut :
=
⃗ =
=
Son unité dans le système International (SI) est le Coulomb-mètre (C m).
113
3. Calcul du potentiel électrostatique
Soit le dipôle de la figure suivante :
La position de M est repérée dans le système des coordonnées
polaires par (r, θ).
Nous choisissons de prendre pour axe (Ox), la droite qui
joint les deux charges tel que l’origine O soit au milieu du
segment AB qui joint les deux charges.
D’après le principe de superposition, le potentiel V(M)
créé par le dipôle en un point M est donnée par :
=
+
=
1
4
+
1
4
=
1
4
−
1
Cherchons rB et rA en fonction de r, a et θ
=

=
Où
On a :
et
=
= ;
=
=
+
=
−
+
=
.
+
 De la même façon on trouve :
+2
=
=
=
.
+
−
=−
−
+
+
+
114
nous avons donc:
=
1+
+
=
1−
+
4
4
et
=
1+
+
et
=
1−
+
4
4
Puisque ⁄ ≪ 1, on a ∶
≪ ⁄ ,
on peut négliger les termes en ⁄ devant le terme ( ⁄ ):
≅
1+
⁄
1−
≅
;
Etant donné que r, on peut développer
⁄
le terme du premier ordre : 1 +
=1−
≅
D’où :
1−
−
≅
=
1−
Le potentiel V(M) est donc donné par :
⁄
en puissance de
+⋯;
⁄ et ne retenir que
1+
−
1+
=
=
4
=
cos
4
115
Soit ⃗ =
le vecteur position du point M par rapport au point O (milieu de
[A B]) et p le moment dipolaire
On a : ⃗. ⃗ =
cos θ
Le potentiel V(M) s’écrit donc :
⃗. ⃗
=
4πε
⃗.
=
4πε
Remarque:

Cette expression qui fait intervenir un produit scalaire est indépendante de tout
système de coordonnées.

La décroissance du potentiel en M crée par un dipôle (1/r2) est plus rapide que
dans le cas d’une charge ponctuelle qui est en (1/r).
116
4. Calcul du champ électrostatique
 Composantes du champ en coordonnées polaires
Le dipôle présente une symétrie de révolution autour
de (AB). Le champ électrostatique
est donc
contenu dans le plan (M, AB)
D’après le principe de superposition, le champ en M
est donné par :
=
+
=
+
( = 0)
Pour calculer les composantes du champ, utilisons la relation :
=
avec
+
E M = -gradV(M)
=
Les composantes du champ dérivant du potentiel V(M) s’écrivent dans le système de
coordonnées polaires :
2
=
4
=−
=−
1
θ
=
4
=
1+3
θ
117
 Composantes du champ en coordonnées cartésiennes
les composantes cartésiennes du champ suivant Ox et Oy (du plan AMB) s’écrivent :
= cos θ ⃗ +
=−
θ⃗
=
+
=
cos θ ⃗ +
=
+
=
3
θ ⃗+
θ⃗ +
θ − 1 ⃗+
θ⃗
(−
θ ⃗+
θ
(3
θ⃗)
θ)⃗
 Formulation globale du champ
Nous pouvons exprimer
V(M) :
=−
uniquement en fonction de ⃗ et de ⃗ en calculant le gradient de
⃗. ⃗
4πε
V M =−
Or : ⃗ = ⃗ + ⃗ +
⃗. ⃗ =
(
1
3
=− ⃗
D’où l’expression de
+
+
1
4πε
= ⃗+ ⃗+
z) = ⃗ + ⃗ +
=
en fonction de ⃗ et de ⃗ :
⃗, ⃗ −
⃗. ⃗
4πε
1
=⃗
( )=
( ⃗. ⃗). ⃗
−
⃗
118
5.
Action d’un champ extérieur uniforme sur un dipôle
On place le dipôle électrostatique dans un champ uniforme ( possède la même
amplitude, la même direction et le même sens dans tout l’espace).
 Forces et moment du couple exercés par un dipôle
Rappel : chacune des charges subit une force donnée
⃗ =−
par :
et ⃗ =
⃗ = ⃗ + ⃗ =0
⃗ et ⃗ forment un couple de forces
le dipôle subit un couple de force ( ⃗ et ⃗ )
dont le moment est :
Г=
∧ ⃗+
Ce qui donne :
∧ ⃗ =
∧ −⃗
Г= ⃗∧
= ⃗ .
Remarques :
À l’équilibre Γ⃗=0 ⃗
+
∧ ⃗ =
∧ ⃗ = .
∧
sin α
sont colinéaires
L’action mécanique principale d’un champ uniforme est d’orienter le dipôle suivant les
119
lignes du champ
.
Exercice d’application
On considère deux fils rectilignes, de longueurs infinies, portant des distributions linéiques de charges
de densités constantes +λ et −λ (λ > 0). Ces deux fils sont parallèles entre eux et perpendiculaire au plan
(Oxy). On désigne par A(-a/2, 0) et B(+a/2, 0) les intersections respectives du fil chargé ( −λ ) et celui
chargé à ( +λ ) avec le plan (Oxy).
L’origine O du repère (Oxy) est le milieu de AB (AB = a), (figure 1). Soit M un point du plan (Oxy) repéré
en coordonnées polaires par (r, θ) avec r = OM et θ = (AB,OM) .
On désigne par V(M) et E(M ) respectivement le potentiel et le champ électrostatique crées par les
deux fils en un point M très éloigné des fils : r >> a .
1. En utilisant les résultats du fil infini donner les expressions du potentiel
et du potentiel
( ) crée par le fil en B (à constante additive près).
( ) crée par le fil en A
2. Sachant que le point O est pris comme origine du potentiel : V(O) = 0 , en déduire l’expression du
potentiel V(M) crée par les deux fils.
3. Dans le cadre de l’approximation dipolaire (r >> a), exprimer les distances AM et BM en fonction de
r, a et θ.
4. Montrer que :
=
∈
5. Montrer que les deux fils chargés se comportent comme un dipôle électrostatique isolé dont on
précisera le moment dipolaire ⃗ .
6. En déduire les composantes radiale et ortho-radiale du champ électrostatique ( ), son module
et sa direction.
120
Pour ≪ 1,
1+ ≅
( 1é
)
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