Représentation de Jordan 1 Nombre de vecteurs propres 2

Représentation de Jordan
Soit M une matrice carrée réelle de dimension n. On suppose dans ce projet
que le polynôme caractéristique de M a n racines réelles. Certaines racines sont
multiples.
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Nombre de vecteurs propres
On note di l’ordre de multiplicité de la valeur propre λi dans le polynôme
caractéristique.
1. Montrer que s’il existe di vecteurs propres libres pour chaque λi , les
vecteurs propres forment une base de l’espace. Montrer que le système
des vecteurs propres est libre.
2. Montrer que s’il existe moins de di vecteurs propres libres pour chaque λi ,
les vecteurs propres ne forment pas une base de l’espace.
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Propriétés du déterminant
Nous étudions comment le déterminant varie lorsqu’on modifie les colonnes de
la matrice M . On note M 1 , . . . M n les vecteurs colonnes de la matrice et on
définit Det(M 1 , . . . M n ) = det(M )
1. Forme alternée. Montrer que l’échange de la colonne i avec la colonne
j change seulement le signe du déterminant.
2. En déduire que si deux colonnes sont identiques, le déterminant est nul.
3. Multilinéarité. Montrer que pour a réel
Det(aM 1 , . . . M n ) = aDet(M 1 , . . . M n ).
Montrer que pour X vecteur colonne de dimension nx1,
Det(M 1 + X, M 2 , . . . M n ) = Det(M 1 , M 2 , . . . M n ) + Det(X, M 2 , . . . M n ).
Montrer que ce résultat est vrai pour un ajout sur les autres colonnes.
4. En déduire que si deux colonnes sont proportionnelles, le déterminant est
nul.
5. En déduire que si une colonne est combinaison linéaire des autres, le
déterminant est nul.
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6. Soit M et P
N deux matrices carrées de dimension n et P = M N . Montrer
n
que P i = k=1 ni,k M k . En déduire que
Det(P 1 , . . . , P n ) =
n X
n
X
...
n
X
Y
nj,kj Det(M k1 , . . . , M kn )
kn =1 j=1...,n
k1 =1 k2 =1
En déduire que det(P)=det(N)det(M).
7. On suppose que M est triangulaire par bloc :
A N
M=
0 B
où A et B sont des matrices carrées de taille k, n − k. Montrer que
det(M ) = det(A)det(B).
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Théorème de Cayley-Hamilton
On peut associer à un polynôme une fonction qui transforme une matrice en
une matrice. Il suffit d’utiliser le fait que les fonctions puissances sont définies
pour les matrices. Ces polynômes de matrice ont des propriétés plus faibles que
les polynômes sur le corps R.
1. Une difficulté concerne la fonction constante. Comment définir la fonction
matricielle qui correspond à la fonction constante 1 ?
2. Un autre problème concerne la factorisation. Soit A la matrice diagonale
2x2 de diagonale (0,1). Montrer que A annule le polynôme X 2 − X.
Montrer que deux autres matrices simples sont également solutions. En
déduire que la factorisation du polynôme ne permet pas de caractériser
les racines.
Le théorème de Cayley-Hamilton énonce que le polynôme caractéristique de M
s’annule pour la matrice M . Pour démontrer le théorème, il suffit de démontrer
le résultat équivalent pour l’application linéaire qui correspond à la matrice dans
une base fixée. Soit p(X) = an X n + · · · + a0 le polynôme caractéristique de M .
Soit f l’application représentée par M dans la base (e1 , . . . , en ). On va montrer
que p(X) s’annule pour la fonction f . On définit
p(f ) = an f n + · · · + a0 Id
où les puissances correspondent à la composition (par exemple f 2 = f ◦ f ) et
Id à l’application linéaire identité qui à x associe x. On va montrer que p(f )
est la fonction nulle. Pour cela on montre que p(f )(x) = 0 quel que soit x.
Considérons d’abord un x tel que (x, f (x), f n−1 (x)) est une base de E.
1. Ecrire la matrice N de l’application f dans cette base.
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2. Calculer le polynôme caractéristique q(X) de N .
3. Montrer que q(f )(x) est nul.
4. M et N ont le même polynôme caractéristique. Pourquoi?
5. En déduire que p(f )(x) = 0.
Considérons maintenant un x tel que (x, f (x), . . . , f k−1 (x)) est libre, mais pas
(x, f (x), . . . , f k (x)) avec 0 < k < n.
1. Montrer qu’il existe une base de E tel que f est représentée par une matrice
triangulaire par bloc T avec A de la forme de N .
2. Montrer que le polynôme caractéristique de T est le produit du polynôme
caractéristique r(X) de A et de celui de B.
3. Montrer que r(f )(x) = 0. En déduire que p(f )(x) = 0. En conclure que
p(f ) est la fonction nulle.
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Polynôme minimal
On appelle polynôme minimal d’une matrice M , un polynôme de degré minimal
qui s’annule sur la matrice.
1. Montrer que le polynôme minimal d’une matrice diagonale n’a que des
racines simples.
2. En déduire la même propriété pour une matrice diagonalisable.
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Cas d’une seule valeur propre multiple et un
bloc de Jordan
1. Soit M une matrice nxn de polynôme minimal (X−λ)n . Soit f l’application
correspondant à M sur un espace E pour une base donnée. Montrer qu’il
existe un vecteur w tel que (f − λId)n−1 (w) est vecteur propre de M .
2. Montrer que (w, (f −λId)(w), . . . , (f −λId)n−1 (w)) est une base de l’espace.
3. Ecrire la matrice f dans cette base. Cette matrice particulière s’appelle
matrice de Jordan. On la notera Jn .
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Cas d’une seule valeur propre multiple et diagonale de blocs de Jordan
1. On note Fi l’espace ker(f − λId)i . Montrer que F1 est l’espace engendré
par les vecteurs propres et que Fk = E.
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2. Montrer que les Fi sont des espaces vectoriels emboités.
3. Montrer que E est la somme directe de k espaces vectoriels : E = U1 +
· · · + Uk avec Fi = U1 + · · · + Ui .
4. Montrer que (f − λId)(Ui ) ⊂ Ui−1 .
k,dk
5. On choisit une base dans (ek,1
) dans Uk . On note ek,i
k , . . . , ek
k−j l’image
k,1
j
sont des vecteurs propres.
de ek,i
k par (f − λId) ; montrer que les e1
k,dk
k,1
Montrer que (ei , . . . , ei ) est un système libre pour tout i.
6. Montrer que le système formé des ek,j
i , j = 1 . . . dk , i = 1, . . . , k est libre.
Chaque couche (i fixé) est libre et les Ui sont supplémentaires.
7. Montrer que si le système précédent n’est pas une base, il existe un l tel que
Ul contient un vecteur x non engendré par le système; choisir le plus grand
k,dk
l,dl
l et compléter le système (ek,1
) par des vecteurs (el,1
l , . . . , el
l , . . . , el )
pour former une base de Ul . Montrer que le système formé des ek,j
i ,
l,1
l,dl
j = 1 . . . dk , i = 1, . . . , k et des (el , . . . , el ), j = 1 . . . dl , i = 1, . . . , l est
libre.
8. Expliquer pourquoi on peut réitérer l’opération précédente pour construire
une base.
9. Quelle est la forme de la matrice de l’application f dans cette base ?
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Calcul de l’exponentielle
Soit A et B deux matrices carrées. On
P rappelle qu’on peut définir une norme
matricielle par kAk∞ = maxj=1,...,n | i=1,...,n ai,j |
1. Montrer que kABk∞ ≤ kAk∞ kAk∞ .
P
2. Montrer que exp(A) = n≥0 An /n! est une matrice bien définie.
3. Soit A et B deux matrices qui commutent; montrer que exp(AB) =
exp(A) exp(B).
4. Soit A une matrice diagonalisable. Calculer les puissances de A puis
l’exponentielle.
5. Soit S la matrice telle que si,i+1 = 1 pour i = 1, . . . , n − 1. Calculer les
puissances de S et son exponentielle.
6. Soit M de dimension n et de polynôme caractéristique et minimal (x−λ)n ;
Utiliser la forme de Jordan de M puis la décomposer en une matrice
diagonale D et S. Calculer l’exponentielle de M . Remarquer que les
matrices D et S commutent.
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Application aux systèmes d’équations différentielles
linéaires
1. Exprimer en série f (t) = exp(tA) où t est un réel. Calculer f 0 (t) et
comparer à f (t). Ce calcul formel est-il correct? Oui on peut revenir à la
définition par le taux d’accroissement et utiliser la formule exponentielle
de produit pour revenir au taux d’accroissement en zéro.
2. Soit l’équation différentielle réelle x0 (t) = ax(t); x(0) = X; quelle est sa
solution ? Exponentielle de coefficient a.
3. Soit un système d’équations différentielles linéaires :
x01 (t) = a1,1 x1 (t) + a1,2 x2 (t);
x02 (t) = a2,1 x1 (t) + a2,2 x2 (t);
avec conditions initiales x1 (0) = X1 , x2 (0) = X2 . Peut on résoudre
séparément les deux équations ?
4. On note X(t) le vecteur colonne formé de (x1 (t), x2 (t)), A la matrice de
coefficient ai,j et X le vecteur colonne formé de (X1 , X2 ). Montrer que la
solution du système linéaire est
X(t) = exp(tA)X.
Il n’y a qu’une solution (revoir conditions de Cauchy).
5. On considère un système d’équations différentielles linéaires de dimension
n avec une matrice A diagonalisable. Montrer que les fonctions xi solutions
du système sont des combinaisons linéaires d’exponentielles de paramètres
les valeurs propres de la matrice.
6. On considère un système d’équations différentielles linéaires de dimension
n avec une matrice A de polynôme minimal (X − λ)k . Montrer que les
fonctions xi solutions du système sont le produit d’un polynôme de degré
au plus k et de l’exponentielle de paramètre λ.
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