Représentation de Jordan 1 Nombre de vecteurs propres 2

Repr´esentation de Jordan
Soit Mune matrice carr´ee r´eelle de dimension n. On suppose dans ce projet
que le polynˆome caract´eristique de Manracines r´eelles. Certaines racines sont
multiples.
1 Nombre de vecteurs propres
On note dil’ordre de multiplicit´e de la valeur propre λidans le polynˆome
caract´eristique.
1. Montrer que s’il existe divecteurs propres libres pour chaque λi, les
vecteurs propres forment une base de l’espace. Montrer que le syst`eme
des vecteurs propres est libre.
2. Montrer que s’il existe moins de divecteurs propres libres pour chaque λi,
les vecteurs propres ne forment pas une base de l’espace.
2 Propri´et´es du d´eterminant
Nous ´etudions comment le d´eterminant varie lorsqu’on modifie les colonnes de
la matrice M. On note M1,...Mnles vecteurs colonnes de la matrice et on
d´efinit Det(M1,...Mn) = det(M)
1. Forme altern´ee. Montrer que l’´echange de la colonne iavec la colonne
jchange seulement le signe du d´eterminant.
2. En d´eduire que si deux colonnes sont identiques, le d´eterminant est nul.
3. Multilin´earit´e. Montrer que pour ar´eel
Det(aM1,...Mn) = aDet(M1,...Mn).
Montrer que pour Xvecteur colonne de dimension nx1,
Det(M1+X, M 2,...Mn) = Det(M1, M2,...Mn) + Det(X, M2,...Mn).
Montrer que ce r´esultat est vrai pour un ajout sur les autres colonnes.
4. En d´eduire que si deux colonnes sont proportionnelles, le d´eterminant est
nul.
5. En d´eduire que si une colonne est combinaison lin´eaire des autres, le
d´eterminant est nul.
1

6. Soit Met Ndeux matrices carr´ees de dimension n et P=MN. Montrer
que Pi=Pn
k=1 ni,kMk. En d´eduire que
Det(P1, . . . , P n) =
n
X
k1=1
n
X
k2=1
. . .
n
X
kn=1 Y
j=1...,n
nj,kjDet(Mk1, . . . , Mkn)
En d´eduire que det(P)=det(N)det(M).
7. On suppose que Mest triangulaire par bloc :
M=A N
0B
o`u Aet Bsont des matrices carr´ees de taille k,n−k. Montrer que
det(M) = det(A)det(B).
3 Th´eor`eme de Cayley-Hamilton
On peut associer `a un polynˆome une fonction qui transforme une matrice en
une matrice. Il suffit d’utiliser le fait que les fonctions puissances sont d´efinies
pour les matrices. Ces polynˆomes de matrice ont des propri´et´es plus faibles que
les polynˆomes sur le corps R.
1. Une difficult´e concerne la fonction constante. Comment d´efinir la fonction
matricielle qui correspond `a la fonction constante 1 ?
2. Un autre probl`eme concerne la factorisation. Soit A la matrice diagonale
2x2 de diagonale (0,1). Montrer que A annule le polynˆome X2−X.
Montrer que deux autres matrices simples sont ´egalement solutions. En
d´eduire que la factorisation du polynˆome ne permet pas de caract´eriser
les racines.
Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton ´enonce que le polynˆome caract´eristique de M
s’annule pour la matrice M. Pour d´emontrer le th´eor`eme, il suffit de d´emontrer
le r´esultat ´equivalent pour l’application lin´eaire qui correspond `a la matrice dans
une base fix´ee. Soit p(X) = anXn+· · · +a0le polynˆome caract´eristique de M.
Soit fl’application repr´esent´ee par Mdans la base (e1, . . . , en). On va montrer
que p(X) s’annule pour la fonction f. On d´efinit
p(f) = anfn+· · · +a0Id
o`u les puissances correspondent `a la composition (par exemple f2=f◦f) et
Id `a l’application lin´eaire identit´e qui `a xassocie x. On va montrer que p(f)
est la fonction nulle. Pour cela on montre que p(f)(x) = 0 quel que soit x.
Consid´erons d’abord un xtel que (x, f(x), fn−1(x)) est une base de E.
1. Ecrire la matrice Nde l’application fdans cette base.
2

2. Calculer le polynˆome caract´eristique q(X) de N.
3. Montrer que q(f)(x) est nul.
4. Met Nont le mˆeme polynˆome caract´eristique. Pourquoi?
5. En d´eduire que p(f)(x) = 0.
Consid´erons maintenant un xtel que (x, f(x), . . . , fk−1(x)) est libre, mais pas
(x, f(x), . . . , f k(x)) avec 0 < k < n.
1. Montrer qu’il existe une base de E tel que fest repr´esent´ee par une matrice
triangulaire par bloc Tavec Ade la forme de N.
2. Montrer que le polynˆome caract´eristique de Test le produit du polynˆome
caract´eristique r(X) de Aet de celui de B.
3. Montrer que r(f)(x) = 0. En d´eduire que p(f)(x) = 0. En conclure que
p(f) est la fonction nulle.
4 Polynˆome minimal
On appelle polynˆome minimal d’une matrice M, un polynˆome de degr´e minimal
qui s’annule sur la matrice.
1. Montrer que le polynˆome minimal d’une matrice diagonale n’a que des
racines simples.
2. En d´eduire la mˆeme propri´et´e pour une matrice diagonalisable.
5 Cas d’une seule valeur propre multiple et un
bloc de Jordan
1. Soit Mune matrice nxn de polynˆome minimal (X−λ)n. Soit fl’application
correspondant `a Msur un espace E pour une base donn´ee. Montrer qu’il
existe un vecteur wtel que (f−λId)n−1(w) est vecteur propre de M.
2. Montrer que (w, (f−λId)(w),...,(f−λId)n−1(w)) est une base de l’espace.
3. Ecrire la matrice fdans cette base. Cette matrice particuli`ere s’appelle
matrice de Jordan. On la notera Jn.
6 Cas d’une seule valeur propre multiple et di-
agonale de blocs de Jordan
1. On note Fil’espace ker(f−λId)i. Montrer que F1est l’espace engendr´e
par les vecteurs propres et que Fk=E.
3

2. Montrer que les Fisont des espaces vectoriels emboit´es.
3. Montrer que Eest la somme directe de kespaces vectoriels : E=U1+
· · · +Ukavec Fi=U1+· · · +Ui.
4. Montrer que (f−λId)(Ui)⊂Ui−1.
5. On choisit une base dans (ek,1
k, . . . , ek,dk k) dans Uk. On note ek,i k−jl’image
de ek,i
kpar (f−λId)j; montrer que les ek,1
1sont des vecteurs propres.
Montrer que (ek,1
i, . . . , ek,dk i) est un syst`eme libre pour tout i.
6. Montrer que le syst`eme form´e des ek,j
i,j= 1 . . . dk,i= 1, . . . , k est libre.
Chaque couche (ifix´e) est libre et les Uisont suppl´ementaires.
7. Montrer que si le syst`eme pr´ec´edent n’est pas une base, il existe un ltel que
Ulcontient un vecteur xnon engendr´e par le syst`eme; choisir le plus grand
let compl´eter le syst`eme (ek,1
l, . . . , ek,dk l) par des vecteurs (el,1 l, . . . , el,dl l)
pour former une base de Ul. Montrer que le syst`eme form´e des ek,j
i,
j= 1 . . . dk,i= 1, . . . , k et des (el,1
l, . . . , el,dl l), j= 1 . . . dl,i= 1, . . . , l est
libre.
8. Expliquer pourquoi on peut r´eit´erer l’op´eration pr´ec´edente pour construire
une base.
9. Quelle est la forme de la matrice de l’application fdans cette base ?
7 Calcul de l’exponentielle
Soit Aet Bdeux matrices carr´ees. On rappelle qu’on peut d´efinir une norme
matricielle par kAk∞= maxj=1,...,n |Pi=1,...,n ai,j |
1. Montrer que kABk∞≤ kAk∞kAk∞.
2. Montrer que exp(A) = Pn≥0An/n! est une matrice bien d´efinie.
3. Soit Aet Bdeux matrices qui commutent; montrer que exp(AB) =
exp(A) exp(B).
4. Soit Aune matrice diagonalisable. Calculer les puissances de Apuis
l’exponentielle.
5. Soit Sla matrice telle que si,i+1 = 1 pour i= 1, . . . , n −1. Calculer les
puissances de Set son exponentielle.
6. Soit Mde dimension net de polynˆome caract´eristique et minimal (x−λ)n;
Utiliser la forme de Jordan de Mpuis la d´ecomposer en une matrice
diagonale Det S. Calculer l’exponentielle de M. Remarquer que les
matrices Det Scommutent.
4

8 Application aux syst`emes d’´equations diff´erentielles
lin´eaires
1. Exprimer en s´erie f(t) = exp(tA) o`u test un r´eel. Calculer f0(t) et
comparer `a f(t). Ce calcul formel est-il correct? Oui on peut revenir `a la
d´efinition par le taux d’accroissement et utiliser la formule exponentielle
de produit pour revenir au taux d’accroissement en z´ero.
2. Soit l’´equation diff´erentielle r´eelle x0(t) = ax(t); x(0) = X; quelle est sa
solution ? Exponentielle de coefficient a.
3. Soit un syst`eme d’´equations diff´erentielles lin´eaires :
x0
1(t) = a1,1x1(t) + a1,2x2(t);
x0
2(t) = a2,1x1(t) + a2,2x2(t);
avec conditions initiales x1(0) = X1,x2(0) = X2. Peut on r´esoudre
s´epar´ement les deux ´equations ?
4. On note X(t) le vecteur colonne form´e de (x1(t), x2(t)), Ala matrice de
coefficient ai,j et Xle vecteur colonne form´e de (X1, X2). Montrer que la
solution du syst`eme lin´eaire est
X(t) = exp(tA)X.
Il n’y a qu’une solution (revoir conditions de Cauchy).
5. On consid`ere un syst`eme d’´equations diff´erentielles lin´eaires de dimension
navec une matrice Adiagonalisable. Montrer que les fonctions xisolutions
du syst`eme sont des combinaisons lin´eaires d’exponentielles de param`etres
les valeurs propres de la matrice.
6. On consid`ere un syst`eme d’´equations diff´erentielles lin´eaires de dimension
navec une matrice Ade polynˆome minimal (X−λ)k. Montrer que les
fonctions xisolutions du syst`eme sont le produit d’un polynˆome de degr´e
au plus ket de l’exponentielle de param`etre λ.
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