Estimation - Détection, Notes de cours (provisoires)

Estimation - Détection, Notes de cours (provisoires)
L.Deneire, emprunts à Eric Thierry
Année 2007-2008

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Chapitre 1
Introduction
Ce cours d’Estimation-Détection est destiné aux étudiants du Master STIC/Signaux et Com-
munications ainsi qu’aux étudiants ingénieur en Mathématiques Appliquées et Modélisation de
l’EPU / UNSA. Le cours est très largement inspiré du cours d’Eric Thierry, donné les années pré-
cédentes, et des livres de Kay et Scharf [Kay93b,Kay93a,Sch91]. La structure du cours suivra le
livre de Kay.
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4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Chapitre 2
Estimation déterministe : Introduction
2.1 Le problème d’estimation
On observe Nvaleurs x= (x1,...,xN)provenants de tirage indépendants d’une variable
aléatoire X. Cette v.a a pour densité de probabilité f(x;θ)ou θreprésente un ensemble de para-
mètres inconnus considérés comme étant déterministes (valeur fixée). Onnotera X= (X1,...,XN)
le vecteur aléatoire dont une réalisation est x.
Une estimation de θest une fonction mesurable T(x)des observations. La valeur de l’estimée dé-
pend de la réalisation x. On appelera donc un estimateur, la v.a T(X). Des exemples d’estimateur
sont :
–T(x) = x1+...+xN
N,
–T(x) = x1,
–T(x) = max(x1,...,xN).
2.2 Exemple simple
Nous allons utiliser un exemple extrêmement simple : l’estimation d’une constante dans du
bruit (par exemple la détermination d’une tension continue (DC : Direct Current) dans du bruit).
Une étape cruciale dans l’estimation est la modélisation des données. Par exemple, pour N= 1,
on peut modéliser les données à l’aide de la densité de probabilité (PDF : Probability Density
Function) par :
p(x1;θ) = 1
√2πσ2exp −1
2σ2(x1−θ)2(2.1)
où on a considéré simplement le modèle suivant :
xn=A+wnn= 1 . . . N (2.2)
avec Ala constante à estimer (et donc le paramètre θ"vrai" vaut A) et wn;n= 1 . . . N sont des
variables aléatoires gaussiennes de moyenne nulle et de variance σ2, et indépendantes entre elles
(on dit que wisont des variables i.i.d. : indépendantes et identiquement distribuées).
Un autre exemple simple est le cas d’une rampe : xn=A+B.n +wn;n= 1 . . . N la PDF
s’écrit alors, en considérant θ= [AB]T
p(x;θ) = 1
(2πσ2)N
2
exp "−1
2σ2
N
X
n=1
(xn−A−Bn)2#(2.3)
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