Electromagnétique 4

Licence SP – Sem4 mardi 30 mai 2006
Electromagnétique 4
(1
ère
session)
Durée : 2 h 00 Document autorisé : aucun Calculatrice : non autorisée
I. Equations locales : En intégrant les équations locales en considérant un régime permanent,
retrouver les 2 propriétés des champs électrique et magnétique.
II Potentiel vecteur. Vérifiez que le potentiel vecteur d’un champ magnétique uniforme en un
point M tel que OM =r , O étant le point fixe, est :
2
B r
A
∧
=
III. Dipôle. On modélise l'électron par une sphère de rayon R uniformément chargée en
volume et de charge totale -e. Cette sphère est mise ne rotation autour de l'un de ses diamètre
avec une vitesse angulaire ω supposée constante. Calculer, en fonction de e, R et ω, le moment
magnétique de cet électron..
IV. Energie électrique. Calculer l'énergie électrostatique d'une boule de rayon R portant une
charge totale Q répartie sur sa surface à partir de l'expression de la densité d'énergie
électrique. Retrouver ce résultat en calculant le travail fourni par un utilisateur pour construire
cette boule.
V. Equations de Maxwell. Vérifier l’homogénéité (en dimension) des équations de Maxwell.
Pour cela on notera T le temps, A les ampères, L les longueurs et V les volts. On utilisera le
théorème de Gauss pour déterminer la dimension de ε
0
et la relation entre ε
0
, µ
0
et la célérité
des ondes électromagnétiques dans le vide pour la dimension de la perméabilité magnétique.

Licence SP – Sem4 mardi 30 mai 2006
Electromagnétique 4
(2
ème
session)
Durée : 1 h 30 Document autorisé : aucun Calculatrice : non autorisée
1. Opérateurs différentiels. Calculer le rotationnel et la divergence de chacun du champ de
vecteur suivant:
A
x
= 2y; A
y
= 2x + 3z A
z
= 3y
Si le rotationnel est nul, tenter de trouver la fonction scalaire V telle que le champ de vecteur
en soit son gradient.
2. Equation de Maxwell-Ampère. Un corps radioactif en forme de feuille plane se désintègre
en émettant des particules chargées. Au voisinage de la surface de la feuille l’émission est
homogène et perpendiculaire à la surface du matériau. Soit q(t) la charge contenue à l’instant t
dans un tronçon cylindrique de section S, de longueur 2e, symétrique et d’axe perpendiculaire
par rapport au plan de la feuille.
a) Calculez, en fonction de q(t) et de S, la densité de courant J(q(t)) au voisinage de la feuille.
b) La symétrie du problème montre que le champ électrique est perpendiculaire au plan dans
cette région. Calculez son expression en fonction de q(t) et de S.
c) La symétrie du problème montre que le champ magnétique est nul dans cette région.
Montrez que ce résultat n’est pas incompatible avec l’équation de Maxwell-Ampère.
3. Equation de Maxwell. On considère un milieu vide de charge et de courant. En appliquant
le rotationnel à l'équation de Maxwell issue de la loi de Faraday retrouver l'équation d'onde à
laquelle obéit le champ électrique.
On rappel : rotrot A = graddivA - ∆ A

1
Licence SP – Sem4 9 mai 2007
Electromagnétique 4
(1
ère
session)
Durée : 1 h 30 Document autorisé : aucun Calculatrice : non autorisée
1. Energie magnétique. Retrouver l'expression du coefficient d'auto-induction d'un solénoïde de
rayon R, de longueur L et comportant n spires par unité de longueur à partir de l'expression de la
densité d'énergie. On admettra que le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est : B=µ
0
nI.
2. Equations de Maxwell. Rappeler les équations de Maxwell et leur lien avec les propriétés
macroscopiques des champs électrique et magnétique.
3. Conditions aux limites entre 2 milieux. On considère une sphère de matière polarisée de rayon
R. On la place au centre d'un repère Oxyz. Le champ électrique à l'intérieur de cette sphère vaut
0
3
i
P
E
ε
= −
, avec
z
P Pe
= . A l'extérieur le champ est tel qu'il est équivalent à celui d'un dipôle placé
en O et de moment dipolaire
3
4
.
3
p R P
π = .
Exprimer les conditions aux limites du champ électrique (composantes tangentielle et
perpendiculaire) et en déduire l'expression de la densité de charges à la surface de la sphère.
Je rappelle les composantes du champ électrique créé par un dipôle de moment dipolaire p :
3 3
0 0
2 cos sin
4 4
r
p p
E e e
r r
θ
θ θ
πε πε
= +
4. Onde plane monochromatique associée à un faisceau laser. Un faisceau laser de longueur
d’onde λ émet une OPM polarisée rectilignement qui se propage dans une direction Ox’ contenue
dans le plan Oxy et faisant un angle de 60° avec l’axe Ox. Le faisceau est polarisé rectilignement
suivant Oz.
Ecrire les composantes du vecteur d’onde, du champ électrique, du champ magnétique et du vecteur
de Poynting.
- o – o – o – o – o – o – o – o – o -

2
Licence SP – Sem4 14 juin 2007
Electromagnétique 4
(2
ème
session)
Durée : 1 h 30 Document autorisé : aucun Calculatrice : non autorisée
1. Energie électrique. Retrouver, à partir de l'expression de la densité d'énergie, l'expression de la
capacité d'un condensateur plan dont les armatures ont une surface S et sont distantes d'une distance
d.
2. Equations de Maxwell. Rappeler les équations de Maxwell et leur lien avec les propriétés des
champs électrique et magnétique.
3. Conditions aux limites entre 2 milieux. On considère un cylindre de matière aimantée de rayon
R et de longueur L. Son axe coïncide avec l'axe Oz d'un repère Oxyz. Le champ magnétique à
l'intérieur du cylindre vaut
0
i z
r
B M e
R
= − , et est nul à l'extérieur.
Exprimer les conditions aux limites du champ magnétique (composantes tangentielle et
perpendiculaire) à la surface du cylindre et en déduire l'expression de la densité surfacique de
courant sur cette surface.
4. Propagation d’une onde radio.
a) Rappeler l'équation d'onde et donner sa solution dans le cas général
Une OEM monochromatique plane, polarisée rectilignement suivant l’axe Ox, se propage dans le
vide dans la direction des z croissants. L’amplitude du champ électrique est E
m
= 0.3V/m et sa
fréquence ν = 300MHz.
b) Calculer la longueur d’onde et l’amplitude du champ magnétique
c) Trouver les expressions des champs électrique et magnétique sachant que la valeur maximale du
champ électrique E est atteinte au point z = 25 cm à l’instant pris comme origine.
- o – o – o – o – o – o – o – o – o -

Licence SP – Sem4 lundi 28 avril 2008
Electromagnétique 4
(1
ère
session)
Durée : 2 h 00 Document autorisé : aucun Calculatrice : non autorisée
1. Equations locales : En intégrant les équations locales en considérant un régime permanent,
retrouver les 2 propriétés des champs électrique et magnétique.
2 Potentiel vecteur. Vérifiez que le potentiel vecteur d’un champ magnétique uniforme en un
point M tel que OM =r , O étant le point fixe, est :
2
B r
A
∧
=
3. Equation de Maxwell-Ampère. Un corps radioactif en forme de feuille plane se désintègre
en émettant des particules chargées. Au voisinage de la surface de la feuille l’émission est
homogène et perpendiculaire à la surface du matériau. Soit q(t) la charge contenue à l’instant t
dans un tronçon cylindrique de section S, de longueur 2e, symétrique et d’axe perpendiculaire
par rapport au plan de la feuille.
a) Calculez, en fonction de q(t) et de S, la densité de courant J(q(t)) au voisinage de la feuille.
b) La symétrie du problème montre que le champ électrique est perpendiculaire au plan dans
cette région. Calculez son expression en fonction de q(t) et de S.
c) La symétrie du problème montre que le champ magnétique est nul dans cette région.
Montrez que ce résultat n’est pas incompatible avec l’équation de Maxwell-Ampère.
4. Energie électrique. Calculer l'énergie électrostatique d'une boule de rayon R portant une
charge totale Q répartie dans tout son volume à partir de l'expression de la densité d'énergie
électrique. Retrouver ce résultat en calculant le travail fourni par un utilisateur pour construire
cette boule.