Electromagnétique 4

Licence SP – Sem4
mardi 30 mai 2006
Electromagnétique 4
(1ère session)
Durée : 2 h 00
Document autorisé : aucun
Calculatrice : non autorisée
I. Equations locales : En intégrant les équations locales en considérant un régime permanent,
retrouver les 2 propriétés des champs électrique et magnétique.
II Potentiel vecteur. Vérifiez que le potentiel vecteur d’un champ magnétique uniforme en un
B ∧ r
point M tel que OM =r , O étant le point fixe, est : A =
2
III. Dipôle. On modélise l'électron par une sphère de rayon R uniformément chargée en
volume et de charge totale -e. Cette sphère est mise ne rotation autour de l'un de ses diamètre
avec une vitesse angulaire ω supposée constante. Calculer, en fonction de e, R et ω, le moment
magnétique de cet électron..
IV. Energie électrique. Calculer l'énergie électrostatique d'une boule de rayon R portant une
charge totale Q répartie sur sa surface à partir de l'expression de la densité d'énergie
électrique. Retrouver ce résultat en calculant le travail fourni par un utilisateur pour construire
cette boule.
V. Equations de Maxwell. Vérifier l’homogénéité (en dimension) des équations de Maxwell.
Pour cela on notera T le temps, A les ampères, L les longueurs et V les volts. On utilisera le
théorème de Gauss pour déterminer la dimension de ε0 et la relation entre ε0, µ0 et la célérité
des ondes électromagnétiques dans le vide pour la dimension de la perméabilité magnétique.
Licence SP – Sem4
mardi 30 mai 2006
Electromagnétique 4
(2ème session)
Durée : 1 h 30
Document autorisé : aucun
Calculatrice : non autorisée
1. Opérateurs différentiels. Calculer le rotationnel et la divergence de chacun du champ de
vecteur suivant:
Ax = 2y;
Ay = 2x + 3z
Az = 3y
Si le rotationnel est nul, tenter de trouver la fonction scalaire V telle que le champ de vecteur
en soit son gradient.
2. Equation de Maxwell-Ampère. Un corps radioactif en forme de feuille plane se désintègre
en émettant des particules chargées. Au voisinage de la surface de la feuille l’émission est
homogène et perpendiculaire à la surface du matériau. Soit q(t) la charge contenue à l’instant t
dans un tronçon cylindrique de section S, de longueur 2e, symétrique et d’axe perpendiculaire
par rapport au plan de la feuille.
a) Calculez, en fonction de q(t) et de S, la densité de courant J(q(t)) au voisinage de la feuille.
b) La symétrie du problème montre que le champ électrique est perpendiculaire au plan dans
cette région. Calculez son expression en fonction de q(t) et de S.
c) La symétrie du problème montre que le champ magnétique est nul dans cette région.
Montrez que ce résultat n’est pas incompatible avec l’équation de Maxwell-Ampère.
3. Equation de Maxwell. On considère un milieu vide de charge et de courant. En appliquant
le rotationnel à l'équation de Maxwell issue de la loi de Faraday retrouver l'équation d'onde à
laquelle obéit le champ électrique.
On rappel : rotrot A = graddivA - ∆A
Licence SP – Sem4
9 mai 2007
Electromagnétique 4
(1ère session)
Durée : 1 h 30
Document autorisé : aucun
Calculatrice : non autorisée
1. Energie magnétique. Retrouver l'expression du coefficient d'auto-induction d'un solénoïde de
rayon R, de longueur L et comportant n spires par unité de longueur à partir de l'expression de la
densité d'énergie. On admettra que le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est : B=µ0nI.
2. Equations de Maxwell. Rappeler les équations de Maxwell et leur lien avec les propriétés
macroscopiques des champs électrique et magnétique.
3. Conditions aux limites entre 2 milieux. On considère une sphère de matière polarisée de rayon
R. On la place au centre d'un repère Oxyz. Le champ électrique à l'intérieur de cette sphère vaut
P
, avec P = Pez . A l'extérieur le champ est tel qu'il est équivalent à celui d'un dipôle placé
Ei = −
3ε 0
4
en O et de moment dipolaire p = π R3 .P .
3
Exprimer les conditions aux limites du champ électrique (composantes tangentielle et
perpendiculaire) et en déduire l'expression de la densité de charges à la surface de la sphère.
Je rappelle les composantes du champ électrique créé par un dipôle de moment dipolaire p :
2 p cosθ p sin θ E=
er +
eθ
3
4πε 0 r
4πε 0 r 3
4. Onde plane monochromatique associée à un faisceau laser. Un faisceau laser de longueur
d’onde λ émet une OPM polarisée rectilignement qui se propage dans une direction Ox’ contenue
dans le plan Oxy et faisant un angle de 60° avec l’axe Ox. Le faisceau est polarisé rectilignement
suivant Oz.
Ecrire les composantes du vecteur d’onde, du champ électrique, du champ magnétique et du vecteur
de Poynting.
-o–o–o–o–o–o–o–o–o-
1
Licence SP – Sem4
14 juin 2007
Electromagnétique 4
(2ème session)
Durée : 1 h 30
Document autorisé : aucun
Calculatrice : non autorisée
1. Energie électrique. Retrouver, à partir de l'expression de la densité d'énergie, l'expression de la
capacité d'un condensateur plan dont les armatures ont une surface S et sont distantes d'une distance
d.
2. Equations de Maxwell. Rappeler les équations de Maxwell et leur lien avec les propriétés des
champs électrique et magnétique.
3. Conditions aux limites entre 2 milieux. On considère un cylindre de matière aimantée de rayon
R et de longueur L. Son axe coïncide avec l'axe Oz d'un repère Oxyz. Le champ magnétique à
l'intérieur du cylindre vaut Bi = −
r
M 0 ez , et est nul à l'extérieur.
R
Exprimer les conditions aux limites du champ magnétique (composantes tangentielle et
perpendiculaire) à la surface du cylindre et en déduire l'expression de la densité surfacique de
courant sur cette surface.
4. Propagation d’une onde radio.
a) Rappeler l'équation d'onde et donner sa solution dans le cas général
Une OEM monochromatique plane, polarisée rectilignement suivant l’axe Ox, se propage dans le
vide dans la direction des z croissants. L’amplitude du champ électrique est Em = 0.3V/m et sa
fréquence ν = 300MHz.
b) Calculer la longueur d’onde et l’amplitude du champ magnétique
c) Trouver les expressions des champs électrique et magnétique sachant que la valeur maximale du
champ électrique E est atteinte au point z = 25 cm à l’instant pris comme origine.
-o–o–o–o–o–o–o–o–o-
2
Licence SP – Sem4
lundi 28 avril 2008
Electromagnétique 4
(1ère session)
Durée : 2 h 00
Document autorisé : aucun
Calculatrice : non autorisée
1. Equations locales : En intégrant les équations locales en considérant un régime permanent,
retrouver les 2 propriétés des champs électrique et magnétique.
2 Potentiel vecteur. Vérifiez que le potentiel vecteur d’un champ magnétique uniforme en un
B ∧ r
point M tel que OM =r , O étant le point fixe, est : A =
2
3. Equation de Maxwell-Ampère. Un corps radioactif en forme de feuille plane se désintègre
en émettant des particules chargées. Au voisinage de la surface de la feuille l’émission est
homogène et perpendiculaire à la surface du matériau. Soit q(t) la charge contenue à l’instant t
dans un tronçon cylindrique de section S, de longueur 2e, symétrique et d’axe perpendiculaire
par rapport au plan de la feuille.
a) Calculez, en fonction de q(t) et de S, la densité de courant J(q(t)) au voisinage de la feuille.
b) La symétrie du problème montre que le champ électrique est perpendiculaire au plan dans
cette région. Calculez son expression en fonction de q(t) et de S.
c) La symétrie du problème montre que le champ magnétique est nul dans cette région.
Montrez que ce résultat n’est pas incompatible avec l’équation de Maxwell-Ampère.
4. Energie électrique. Calculer l'énergie électrostatique d'une boule de rayon R portant une
charge totale Q répartie dans tout son volume à partir de l'expression de la densité d'énergie
électrique. Retrouver ce résultat en calculant le travail fourni par un utilisateur pour construire
cette boule.
Licence SP – Sem4
mardi 3 juin 2008
Electromagnétique 4
(2ème session)
Durée : 1 h 30
Document autorisé : aucun
Calculatrice : non autorisée
1. Opérateurs différentiels. Calculer le rotationnel et la divergence du champ de vecteur
suivant:
Ax = 2y;
Ay = 2x + 3z
Az = 3y
Si le rotationnel est nul, tenter de trouver la fonction scalaire V telle que le champ de vecteur
en soit son gradient.
2. Equations de Maxwell. Vérifier l’homogénéité (en dimension) des équations de Maxwell.
Pour cela on notera T le temps, A les ampères, L les longueurs et V les volts. On utilisera le
théorème de Gauss pour déterminer la dimension de ε0 et la célérité des ondes
électromagnétiques dans le vide pour la dimension de la perméabilité magnétique.
3. Equation de Maxwell. On considère un milieu vide de charge et de courant. En appliquant
le rotationnel à l'équation de Maxwell issue de la loi de Faraday retrouver l'équation d'onde à
laquelle obéit le champ électrique.
On rappel : rotrot A = graddivA - ∆A
4. Ondes stationnaires : On cherche une solution de l'équation d'onde de la forme :
F(x,t) = f (x) cosωt
Montrer que f(x) obéit à une équation différentielle et donner la forme de sa solution.
Montrer que les conditions aux limites F(0,t) = 0 et F(a, t) = 0 imposent des valeurs à ω
qu'on exprimera en fonction d' un entier n (F décrit une onde stationnaire).
UNIVERSITE DE POLYNESIE FRANCAISE
Vendredi 13 Mars 2009
ELECTROMAGNETISME 4 – Licence 2ème année
Examen
1- QUESTION DE COURS
Donner les équations de Maxwell dans leur expression la plus générale dans le vide. En
l’absence de charges et de courants, établir les équations d’onde satisfaites par les deux
champs E et B . Donner le type de solution qui satisfait l’équation d’onde et leur signification.
Comment sont décrites les ondes stationnaires ? On indique que ro t (ro tA) = gra d divA − ∆A
2- SPHERE CHARGEE
Calculer le champ et le potentiel électrostatique créés en tout point de l’espace par une sphère
de centre O et de rayon R portant :
a) une densité surfacique de charges σ ;
b) une densité volumique de charges ρ .
3- CABLE COAXIAL
On peut admettre que l’expression de l’inductance propre d’un câble coaxial de longueur h de
rayon d'âme a et de rayon de gaine b est :
µ h b
L = 0 . ln
2π
a
Ce résultat s'obtient en négligeant, dans le calcul des flux, les régions conductrices (âme et
gaine) devant la région isolante. Retrouvez ce résultat, avec les mêmes approximations, en
utilisant la densité d’énergie électromagnétique.
4- NAPPE DE COURANT CYLINDRIQUE
Etablir l’expression du champ magnétique et du potentiel vecteur créés, en tout point de
l’espace, par un cylindre infini, de rayon R, d’axe Oz, parcouru par un courant surfacique
correspondant à une densité uniforme λ par unité de longueur du fil, dirigé selon Ox. On
admettra que le champ est orthoradial ( B = B(r )eθ ).
Licence SP – Sem4
mercredi 27 mai 2009
Electromagnétique 4
(2ème session)
Durée : 1 h 30
Document autorisé : aucun
Calculatrice : non autorisée
1. Sphère chargée
Calculer le champ et le potentiel électrostatique créés en tout point de l’espace par une sphère
de centre O et de rayon R portant une densité surfacique de charges σ .
2. Equations de Maxwell. Vérifier l’homogénéité (en dimension) des équations de Maxwell.
Pour cela on notera T le temps, A les ampères, L les longueurs et V les volts. On utilisera le
théorème de Gauss pour déterminer la dimension de ε0 et la célérité des ondes
électromagnétiques dans le vide pour la dimension de la perméabilité magnétique.
3. Equations de Maxwell. On considère un milieu vide de charge et de courant. En
appliquant le rotationnel à l'équation de Maxwell issue de la loi de Faraday retrouver
l'équation d'onde à laquelle obéit le champ électrique.
On rappel : rotrot A = graddivA - ∆A
4. Ondes stationnaires : On cherche une solution de l'équation d'onde de la forme :
F(x,t) = f (x) cosωt
Montrer que f(x) obéit à une équation différentielle et donner la forme de sa solution.
Montrer que les conditions aux limites F(0,t) = 0 et F(a, t) = 0 imposent des valeurs à ω
qu'on exprimera en fonction d' un entier n (F décrit une onde stationnaire).
UNIVERSITE DE POLYNESIE FRANCAISE
Mardi 27 avril 2010
ELECTROMAGNETISME 4 – Licence SP 2ème année
1ère Session
1- Cours
A – Etablir l'équation d'onde du champ magnétique à partir d'une équation de Maxwell.
B Le champ magnétique d'une onde électromagnétique progressive monochromatique est
dirigé suivant l'axe Oz et se propage suivant l'axe Oy avec une amplitude B0.
a) donner l'expression générale de ce vecteur champ en fonction de B0 (définir chaque
terme utilisé)
b) donner l'expression générale du vecteur champ électrique associé.
2- Cylindre coaxial
Considérons un câble coaxial de longueur infinie dont le rayon de l'âme est a et le rayon
intérieur de la gaine est b. Nous avions montré que le champ magnétique créé par un tel câble
était nul à l'extérieur et, en négligeant l'épaisseur de la gaine et l'espace occupé par l'âme, nous
avions calculé l'inductance par unité de longueur:
µ
L = 0 ln( b )
a
2π
Calculez, avec les mêmes hypothèses, l'énergie par unité de longueur à partir de la densité
d'énergie magnétique et exprimez là en fonction de L
3- Champ électrique dans la matière - 1. Condensateur plan : considérons dans l'air deux
disques conducteurs parallèles, de surface S et distants de d. On intercale entre les disques un
cylindre diélectrique plan de même axe, homogène de longueur e < d et de constante
diélectrique relative ε.
e
ε
a) Calculez les champs électriques E0 et Ed respectivement dans l'air et dans le diélectrique
(vous négligerez les effets de bord).
b) Exprimez la différence de potentiels entre les deux armatures et déduisez la capacité de ce
condensateur. Montrer qu'elle s'exprime comme l'association de 2 condensateurs.
4- Champ électrique
a) On considère un cylindre de rayon R, de longueur infinie et chargé en surface avec une
densité de charge σ constante. A partir d'une des équations de Maxwell et des conditions aux
limites déterminer le champ électrique à l'intérieur et à l'extérieur du cylindre.
b) Ce même cylindre est maintenant chargé en volume avec une densité de charges constante
ρ. A partir d'une des équations de Maxwell, des conditions aux limites et en admettant que le
champ ne peut être infini sur l'axe du cylindre, déterminer le champ électrique à l'intérieur et à
l'extérieur du cylindre.
1 ∂
1 ∂ A ∂ Az
On rappelle : div( A) = . (rAr ) + . θ +
r ∂r
r ∂θ
∂ϕ
 1 ∂ A ∂ A   ∂ A ∂ Az   1 ∂ (rAθ ) 1 ∂ Ar  rot A =  . z − θ  er +  r −
eθ +  .
− .
ez
r ∂θ 
∂z 
∂ r 
 ∂z
 r ∂θ
r ∂ r
Licence SP – Sem4
mardi 8 juin 2010
Electromagnétique 4
(2ème session)
Durée : 2 h 00
Document autorisé : aucun
Calculatrice : non autorisée
1. Opérateurs différentiels. Calculer le rotationnel et la divergence du champ de vecteur
suivant:
Ax = 2y;
Ay = 2x + 3z
Az = 3y
2. Energie magnétique. Retrouver l'expression du coefficient d'auto-induction d'un solénoïde
de rayon R, de longueur L et comportant n spires par unité de longueur à partir de l'expression
de la densité d'énergie. On admettra que le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est :
B=µ0nI.
3. Equations de Maxwell. Rappeler les équations de Maxwell et leur lien avec les propriétés
macroscopiques des champs électrique et magnétique.
4. Conditions aux limites entre 2 milieux. On considère une sphère de matière polarisée de
rayon R. On la place au centre d'un repère Oxyz. Le champ électrique à l'intérieur de cette
P
sphère vaut Ei = −
, avec P = Pez . A l'extérieur le champ est tel qu'il est équivalent à celui
3ε 0
4
d'un dipôle placé en O et de moment dipolaire p = π R3 .P .
3
Exprimer les conditions aux limites du champ électrique (composantes tangentielle et
perpendiculaire) et en déduire l'expression de la densité de charges à la surface de la sphère.
Je rappelle les composantes du champ électrique créé par un dipôle de moment dipolaire p :
2 p cosθ p sin θ E=
er +
eθ
3
4πε 0 r
4πε 0 r 3
5. Onde plane monochromatique associée à un faisceau laser. Un faisceau laser de
longueur d’onde λ émet une OPM polarisée rectilignement qui se propage dans une direction
Ox’ contenue dans le plan Oxy et faisant un angle de 60° avec l’axe Ox. Le faisceau est
polarisé rectilignement suivant Oz.
Ecrire les composantes du vecteur d’onde, du champ électrique, du champ magnétique et du
vecteur de Poynting.
UNIVERSITE DE POLYNESIE FRANCAISE
Lundi 02 mai 2011
ELECTROMAGNETISME 4 – Licence SP 2ème année
1ère Session
1- Cours
A – Etablir l'équation d'onde du champ électrique à partir d'une équation de Maxwell.
B - Le champ magnétique d'une onde électromagnétique progressive monochromatique est
dirigé suivant l'axe Oz et se propage suivant l'axe Oy avec une amplitude B0. Donner
l'expression générale de ce vecteur champ en fonction de B0 (définir chaque terme utilisé)
b) donner l'expression générale du vecteur champ électrique associé.
C - Vérifier que le champ électromagnétique suivant vérifie les équations de Maxwell dans le
vide privé de charge et de courant (avec c²=1/ µ0.ε0) :
Ex = Ey = 0 ;
Ez = c cos(y - ct)
et
Bx = cos(y - ct) ; By = Bz = O
2. Champ d'une sphère uniformément chargée en surface. Une sphère de rayon R porte
une charge Q uniformément répartie dans sur sa surface. On admettra (mais on peut le
montrer) que le champ est radial ( E = E.er ).
a) Ecrire les équations locales auxquelles satisfait le champ E dans tout l’espace.
b) Résoudre ces équations et exprimes la ou les expressions de E en fonction d’une
constante.
c) Achever la détermination de E en utilisant la continuité de E en r = R (rappeler la règle
de continuité) et le fait que le champ ne peut pas être nul en r = 0.
d) Rappeler l’expression de la densité d’énergie électrique.
e) Appliquer cette définition au cas de la sphère en question et calculer l’énergie
potentielle électrique associée à cette sphère
f) Retrouver cette énergie par utilisation de la définition de l’énergie électrostatique
3 - Onde progressive non plane. On s'intéresse à la fonction scalaire suivante :
π z 
F = A cos   cos(kx − ω t )
 2a 
où A, a, k et ω sont des constantes.
a) A quelle condition cette fonction est-elle une onde?
b) Pour ce soit le cas, montrer qu'il existe une relation entre k, c, a et ω et que ce type de
solution ne convient que si ω > ω0. Déterminer ω0.
4 – Superposition d'ondes progressives. Soit l'onde plane progressive suivante :
F1 = A cos((kx-ωt).
a) Ecrire l'expression F2 correspondant à une onde de même amplitude A, de même
fréquence ω et se propageant en sens inverse.
b) Montrer que la superposition de ces 2 ondes aboutit à une onde du type de l'exemple
du cours (ondes stationnaire).
On rappelle :
1 ∂ (r ² Ar )
1
∂
1 ∂Aϕ
divE = divA = .
+
(sin θ . Aϕ ) +
∂r
r²
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
Licence SP – Sem4
08 juin 2011
Electromagnétique 4
(2ème session)
Durée : 2 h 00
Document autorisé : aucun
Calculatrice : non autorisée
1. Opérateurs différentiels. Calculer le rotationnel et la divergence du champ de vecteur
suivant:
Ax = 2y;
Ay = 2x + 3z
Az = 3y
Si le rotationnel est nul, exprimer la fonction potentielle dont le vecteur A dérive.
2. Cours. Compléter le tableau ci-dessous
Electrostatique
source de champ
Exemple d'expression de
champ élémentaire
circulation
Flux
équations locales
lignes de champ
potentiel
magnétostatique
3. Energie magnétique. Retrouver l'expression du coefficient d'auto-induction d'un solénoïde
de rayon R, de longueur ℓ et comportant n spires par unité de longueur à partir de l'expression
de la densité d'énergie. On admettra que le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est :
B=µ0nI.