Université Abdelmalek Essaâdi 2015-2016
ENSA-Tétouan
2AP1-Algèbre 2
Contrôle de rattrapage (Durée : 1 h 30 mn)
Bon courage
Problème (12 pts) : Soit fl’application linéaire de R3[X]vers R3[X]définie par :
f:R3[X]→R3[X]
P7→ X2P00 +P(2)
(R3[X] : Le R−espace vectoriel des polynômes de degré 63).
On pose β={1, X, X2, X3}la base canonique de R3[X].
1. Expliciter, Mβ(f),la matrice de fdans la base β.
2. Montrer qu’il existe des polynômes non nuls P1, P2, P3, P4∈R3[X]tels que
f(P1) = P1, f(P2) = 0, f(P3)=2P3et f(P4) = 6P4.
3. Montrer que la famille ϕ={P1, P2, P3, P4}est une base de R3[X].
4. Expliciter, Mϕ(f),la matrice de fdans la base ϕ.
5. Déterminer les matrices de passage Pβ,ϕ et Pϕ,β .
6. En déduire l’expression de Mβ(fn),pour n∈N.
2) Exercice (8 pts) : Discuter suivant les valeurs du réel mle rang des matrices
suivantes :
A=
1 1 2
1 2 m
−1m2
1 2 3
B=
2 1 m4
1 0 2 3
1−112
3 0 1 4
C=
1m m2m3
m m2m31
m2m31m
m31m m2
1Fin
1
/
1
100%