loi normale

loi normale
Table des matières
1 loi normale 2
1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 loi normale centrée réduite 5
2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 changement de variables et loi normale centrée réduite 8
3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 correction exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 approximation d’une loi binomiale par une loi normale 19
4.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 somme de lois normales indépendantes 24
5.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 évaluations 33
6.1 évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.3 corrigé devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7 résumé de cours 37
7.1 loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.2 loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.3 approximation d’une loi binomiale par une loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.4 somme de deux lois normales indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1

1 loi normale
1.1 activité
la répartition des notes à un examen est approximée par la courbe en cloche caractéristique d’une loi normale
ci dessous. On a déterminé qu’une loi normale de moyenne m= 10 et d’écart type σ= 3 convenait.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.11
0.12
0.13
0.14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
note
On dit que la note l’examen est relativement bien approchée par une variable aléatoire Xoù Xsuit une loi
normale N(10 ; 3).
les valeurs possibles pour Xsont dans l’intervalle ]− ∞ ; +∞[
la probabilité que Xsoit compris entre 10 et 11 est égale l’aire sous la courbe entre 10 et 11 soit ≃0,13
on note alors : p(10 ≤X≤11) ≃0,13 ≃13%
Principe de base :
Quelles que soient les nombres aet b, avec a < b, la probabilité que Xsoit compris entre aet best
donnée par l’aire sous la courbe entre aet b.
soit : p(a≤X≤b) = aire sous la courbe entre aet b.
Remarques :
•l’aire totale sous la courbe vaut 1
•la courbe admet la droite d’équation x= 10 pour axe de symétrie
•p(a≤X≤a) = p(X=a) = 0 pour tout a, car l’aire d’un segment est nulle
•p(X < a) = p(X≤a)−p(X=a) = p(X≤a)−0 = p(X≤a)pour tout a
Questions :
Estimer graphiquement, grâce au principe de base et la remarque les valeurs des probabilités suivantes.
1. p(9 ≤X≤10)
2. p(9 ≤X≤11)
3. p(m−σ≤X≤m+σ)
4. p(m−2σ≤X≤m+ 2σ)
5. p(X≤10) et p(X≥10)
6. p(X≤11) et p(X≥11)
7. p(X≤17) et p(X≥17)
8. p(X < 10) et p(X > 10)

Réponses :
on estime graphiquement, grâce au principe de base et la remarque les valeurs des probabilités suivantes.
1. p(9 ≤X≤10) ≃✞
✝
☎
✆
0,13 (le nombre de carreaux est le même que pour p(10 ≤X≤11))
2. p(9 ≤X≤11) ≃2×0,13 ≃✞
✝
☎
✆
0,26 (symétrie)
3. p(m−σ≤X≤m+σ) = p(10 −3≤X≤10 + 3) = p(7 ≤X≤13) ≃2×0,32 ≃✞
✝
☎
✆
0,64
4. p(m−2σ≤X≤m+ 2σ) = p(10 −6≤X≤10 + 6) = p(4 ≤X≤16)
p(m−2σ≤X≤m+ 2σ)≃1−2×p(X≤4) ≃1−2×0,025 ≃✞
✝
☎
✆
0,95 (complément et symétrie)
5. p(X≤10) = p(X≥10) = ✞
✝
☎
✆
0,5(symétrie)
6. p(X≤11) = p(X≤10) + p(10 ≤X≤11) ≃0,5 + 0,13 ≃✞
✝
☎
✆
0,63
p(X≥11) = 1 −p(X≤11) ≃1−0,63 ≃✞
✝
☎
✆
0,37 (complément)
7. p(X≥17) ≃✞
✝
☎
✆
0,01
p(X≤17) = 1 −p(X≥17) ≃1−0,01 ≃✞
✝
☎
✆
0,99 (complément)
8. p(X < 10) = p(X≤10) = p(X > 10) = p(X≥10) = ✞
✝
☎
✆
0,5(symétrie)

1.2 à retenir
définition 1 :
A une ✞
✝
☎
✆
loi normale N(m;σ)de ✄
✂ ✁
moyenne met ✞
✝
☎
✆
d’écart type σcorrespond une unique courbe en cloche
m
x
représentative de la fonction f:x7−→ 1
σ√2πe
−
1
2(x−m σ)2
où x∈R,m∈Ret σ > 0
Cette courbe admet pour axe de symétrie la droite d’équation x=m,
elle admet un maximum en x=m
définition 2 :
La variable aléatoire Xsuit une loi normale de moyenne met d’écart type σ( on note : X∼N(m;σ))
signifie que :
L’ensemble des valeurs possibles de Xest l’ensemble de tous les nombres réels : X∈]− ∞ ; +∞[
Quels que soient les deux nombres aet b(a≤b), la probabilité que Xsoit compris entre aet b
est égale à "l’aire sous la courbe" en cloche N(m;σ)entre aet b
X
ab
p(a≤X≤b)
X
b
p(X≤b)
✞
✝
☎
✆
p(a≤X≤b) = aire sous la courbe entre aet b
et aussi
✞
✝
☎
✆
p(X≤b) = aire sous la courbe de −∞ jusqu’a b
Remarques : (admises)
(a) Quels que soient m∈Ret σ > 0, l’aire "totale" sous la courbe vaut 1.
(pour xallant de −∞ à+∞)
X
Aire = 1
(b) Quel que soit a∈Ron a : p(a≤X≤a) = p(X=a) = 0
la probabilité d’une "valeur isolée" est nulle
(c) Quels que soient les deux nombres aet bavec a≤bon a : p(a≤X≤b) = p(a < X < b)
( pour une loi normale, <et ≤sont "équivalents", ainsi que >et ≥)
(d) p(a≤X≤b) = Zb
a
f(x)dx (en terme d’intégrale)
1.3 exercices
(voir activité)

2 loi normale centrée réduite
2.1 activité
A. utilisation de la table de la loi normale centrée réduite N(0 ; 1) où m= 0 et σ= 1
une table de la loi N(0; 1) est donnée FIG.1 ci après (précision de 10−4)
elle permet d’approximer des probabilités de la forme p(X≤t)où t∈[ 0 ; 2,99 ]
on note usuellement : Π(t) = p(X≤t)
par exemple : Π(1,75) = p(X≤1,75) ≃0,9599
1. cas de la forme :✞
✝
☎
✆
p(X≤t)ou p(X≥t)(t > 0)
a. déterminer p(X≤1,5) = Π(1,5) grâce la table et en déduire p(X≥1,5)
(indice : l’aire totale sous la courbe vaut 1 )
b. déterminer p(X≤0,5) = Π(0,5) et en déduire p(X > 0,5)
c. exprimer p(X≥t)en fonction de Π(t)pour t∈R
d. déterminer p(X≥1,05)
2. cas de la forme :✞
✝
☎
✆
p(t1≤X≤t2)
a. déterminer p(X≤2) et p(X≤1) et en déduire p(1 ≤X≤2)
(indice : penser aux aires )
b. déterminer p(0,5≤X≤1,5)
c. exprimer p(t1≤X≤t2)en fonction de Π(t1)et Π(t2)
d. déterminer p(0 ≤X≤1)
3. cas de la forme :✞
✝
☎
✆
p(X≤ −t)ou p(X≥ −t)(t > 0)
a. comparer graphiquement p(X≤ −2) et p(X≥2) et en déduire p(X≤ −2)
b. déterminer p(X≤ −1,5)
c. exprimer p(X≤ −t)en fonction de Π(t)
d. déterminer p(X≥ −0,5)
e. déterminer p(−1,5≤X≤ −0,5)
4. lecture inverse :✞
✝
☎
✆
p(X≤?) = a
a. déterminer ttel que p(X≤t) = 0,881
b. déterminer ttel que p(X≤t) = 0,119
c. déterminer ttel que p(−t≤X≤t) = 0,881
B. exemple d’application
1. la température Tdans une chambre froide suit une loi N(0 ; 1) où Test en degrés Celsius
a. déterminer la probabilité que la température soit comprise entre −1,5et 1,5degrés
b. déterminer ttel que p(−t≤T≤t) = 0,99