Syllabus - version du 5 octobre 2012

MATH-F-307 Math´ ematiques discr` etes
Samuel Fiorini
Version du 5 octobre 2012

Table des mati`eres
1 Comptage ´el´ementaire 4
1.1 Principesdebase ................................... 4
1.1.1 Rappels sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Cardinalit´ e................................... 5
1.2 Factorielles....................................... 6
1.3 Coefficients binomiaux : d´ efinition et premi` eres identit´ es ............ 7
1.4 Coefficients binomiaux : formule du binˆ ome, ∆dePascal............ 9
1.5 Coefficients binomiaux : applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Preuvesbijectives................................... 11
1.7 Coefficients multinomiaux : d´ efinition et formule du multinˆ ome........ 15
1.8 Coefficients multinomiaux : application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Exercices ........................................ 19
2 Relations de r´ecurrence 22
2.1 Exemples r´ ecurrents ................................. 22
2.1.1 Nombres de r´ egions d´ elimit´ ees par ndroites dans le plan . . . . . . . 22
2.1.2 Pavages d’un rectangle 2 ×n........................ 24
2.1.3 Trifusion.................................... 26
2.2 R´ ecurrences lin´ eaires................................. 27
2.2.1 R´ ecurrences lin´ eaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 R´ ecurrences lin´ eaires homog` enes ` a coefficients constants . . . . . . . . 27
2.2.3 R´ ecurrences lin´ eaires ` a coefficients constants g´ en´ erales . . . . . . . . . 31
2.3 R´ ecurrences diviser-pour-r´ egner (“divide-and-conquer”) . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Recherchebinaire............................... 32
2.3.2 Retourautrifusion.............................. 32
2.3.3 Rappels sur les comportements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.4 R´ ecurrences diviser-pour-r´ egner g´ en´ erales ................ 34
2.4 Application : produit matriciel selon Strassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Application : recherche d’une plus proche paire . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Autres types de r´ ecurrences ............................. 40
2.6.1 Calcul d’une racine carr´ ee.......................... 40
2.6.2 Fractions continu´ ees ............................. 42
2.7 Exercices ........................................ 43
3 Fonctions g´en´eratrices 46
3.1 Exemples........................................ 46
3.1.1 Les nombres de Catalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.2 Retour sur les nombres de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Fonctions g´ en´ eratrices ordinaires : th´ eoriedebase ................ 50
3.3 Fonctions g´ en´ eratrices ordinaires : r´ ecurrences lin´ eaires............. 53
1

3.4 Fonctions g´ en´ eratrices ordinaires : applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.1 Nombre moyen de comparaisons de Quicksort . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.2 Un probl` emedemonnaie .......................... 57
3.5 Fonctions g´ en´ eratrices exponentielles : th´ eorie de base . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Fonctions g´ en´ eratrices exponentielles : application . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 Exercices ........................................ 61
4 Comportements asymptotiques 63
4.1 Nombres harmoniques et constante d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Factorielles et formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Formule d’Euler-Mc Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 La m´ ethode analytique : nombres de Bell ordonn´ es ............... 72
4.4.1 FGE des nombres de Bell ordonn´ es par la m´ ethode symbolique . . . . 72
4.4.2 Formule asymptotique pour les nombres de Bell ordonn´ es....... 73
4.5 Exercices ........................................ 76
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Remerciements
Ce syllabus se base en partie sur une retranscription ´ electronique du cours oral effectu´ ee
par J´ er´ emy Pag´ e en 2010–2011, avec l’aide d’Antoine Dewilde, Val´ erie Pirenne, Yves-R´ emi
Van Eycke, Sophie Vervier et J´ er´ emy Vion. Je remercie vivement J´ er´ emy et ses camarades de
classe pour leur remarquable travail, qui profitera aux g´ en´ erations d’´ etudiants ` a venir.
En 2011-2012, Thomas Chapeaux et Joachim Kotek m’ont fait part de diverses erreurs et
fautes de frappes. Merci ` a eux.
Certains des sujets et des ´ enonc´ es d’exercices dans ce syllabus ont ´ et´ e emprunt´ es au
titulaire pr´ ec´ edent du cours, Jean Doyen. En tant qu’´ etudiant, j’ai eu la chance de b´ en´ eficier
de ses grands talents p´ edagogiques. Je le remercie vivement.
Last but not least, je remercie Eglantine Camby pour sa relecture attentive de ce syllabus.
Samuel Fiorini.
Bruxelles, le 5 octobre 2012.
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Chapitre 1
Comptage ´el´ementaire
1.1 Principes de base
1.1.1 Rappels sur les fonctions
Consid´ erons deux ensembles quelconques Aet B.
D´efinition 1.1. Une fonction fde Avers Best dite injective si les images par fde deux
´
el´ ements distincts de Asont toujours distinctes. De mani` ere ´ equivalente, f:A→Best
injective si et seulement si
∀a,a0∈A:f(a) = f(a0) =⇒a=a0.
Une fonction injective est ´ egalement appel´ ee injection.
D´efinition 1.2. Une fonction fde Avers Best dite surjective si tout ´ el´ ement de Best l’image
par fd’au moins un ´ el´ ement de A. En d’autres termes, f:A→Best surjective si et seule-
ment si
∀b∈B:∃a∈A:f(a) = b.
Cette condition se note ´ egalement f(A) = B. Une fonction surjective est ´ egalement appel´ ee
surjection.
D´efinition 1.3. Une fonction est dite bijective si elle est en mˆ eme temps injective et surjective.
On parle alors de bijection.
Th´eor`eme 1.4. Soit f :A→B une fonction. Alors f est une bijection si et seulement si il existe
une fonction g :B→A telle que g ◦f est l’identit´e sur A et f ◦g est l’identit´e sur B.
D´emonstration. Pour la partie “seulement si” il suffit de prendre g=f−1, l’application
r´ eciproque de g.
Pour la partie “si”, on v´ erifie tout d’abord que fest injective. Pour a,a0∈A, on voit que
f(a) = f(a0)implique g(f(a)) = g(f(a0)) et donc a=a0car g◦fest l’identit´ e sur A. On
v´ erifie enfin que fest surjective. Pour b∈B, prenons a:=g(b). On a alors f(a) = f(g(b)) =
bcar f◦gest l’identit´ e sur B. La fonction f´ etant simultan´ ement injective et surjective, est
bien bijective.
D´efinition 1.5. L’ensemble des fonctions de Avers Best not´ eBA. C’est-` a-dire,
BA:={f:A→B}.
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