Réduction et sous

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Réduction et sous-espaces stables
Exercice 1 [ 00805 ] [Correction]
Soient f,gendomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie.
On suppose que fest diagonalisable. Montrer :
f◦g=g◦f⇐⇒ chaque sous-espace propre de fest stable par g
Exercice 2 [ 00807 ] [Correction]
Soit uun endomorphisme d’un C-espace vectoriel Ede dimension finie vérifiant :
« Tout sous-espace vectoriel stable par uadmet un supplémentaire stable »
Montrer que l’endomorphisme uest diagonalisable.
Exercice 3 [ 02675 ] [Correction]
Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie.
Déterminer les f∈ L(E) tels que tout sous-espace vectoriel de Estable par fpossède un
supplémentaire stable.
Exercice 4 [ 00761 ] [Correction]
Soient Eun K-espace vectoriel muni d’une base B,f∈ L(E) et Hun hyperplan.
(a) Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel {u∈E∗|u(H)={0}}.
(b) Montrer que si Ha pour équation u(x)=0 alors Hest stable par fsi, et seulement si,
u◦fest colinéaire à u.
(c) Soient Aet Lles matrices dans Bde fet u.
Montrer que Hest stable par fsi, et seulement si, tLest vecteur propre de tA
(d) Déterminer les plans stables par
A=
3−2−4
−1 1 1
1−2−2
Exercice 5 [ 03464 ] [Correction]
Soit uun endomorphisme d’un R-espace vectoriel Ede dimension finie non nulle
Montrer qu’il existe une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable par u.
Exercice 6 [ 03745 ] [Correction]
Soient fune endomorphisme de Rnet Asa matrice dans la base canonique de Rn. On
suppose que λest une valeur propre non réelle de Aet que Z∈Cnest un vecteur propre
associé.
On note Xet Yles vecteurs de Rndont les composantes sont respectivement les parties
réelles et imaginaires des composantes de Z.
(a) Montrer que Xet Ysont non colinéaires.
(b) Montrer que Vect(X,Y) est stable par f.
(c) On suppose que la matrice de fest donnée par
A=
1100
−1 2 0 1
0 0 −1 0
1001
Déterminer tous les plans stables par f.
Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA
Exercice 7 [ 02726 ] [Correction]
Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie et u∈ L(E) tel que
u3=Id
Décrire les sous-espaces stables de u.
Même question avec Eun R-espace vectoriel.
Exercice 8 [ 00855 ] [Correction]
Soit uun endomorphisme diagonalisable d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie.
Montrer qu’un sous-espace vectoriel Fnon nul est stable par usi, et seulement si, il
possède une base de vecteurs propres de u.
Exercice 9 [ 00856 ] [Correction]
Soit fl’endomorphisme de R3dont la matrice est
5 1 −1
2 4 −2
1−1 3
dans la base canonique.
Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par f.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
(=⇒) Supposons fet gcommutent.
∀x∈ker( f−λ. Id),(f−λId)(g(x)) =g(f(x)−λx)=0
donc ker( f−λId) est stable par g.
(⇐=) Supposons que chaque sous-espace propre soit stable par g.
Puisque E=⊕
λ∈Sp( f)Eλ(f), pour tout x∈E, on peut écrire x=Pλ∈Sp( f)xλavec xλ∈Eλet
alors
(g◦f)(x)=X
λ∈Sp( f)
λg(xλ)=(f◦g)(x)
donc f◦g=g◦f.
Exercice 2 : [énoncé]
Rappelons que tout endomorphisme d’un C-espace vectoriel possède au moins un valeur
propre.
1ère démarche : Soit λune valeur propre de u.Eλ(u) est stable par uet donc possède un
supplémentaire Fstable par u.
Si F={0E}alors uest diagonalisé.
Sinon, la restriction de uàFpossède au moins une valeur propre µqui est bien entendu
valeur propre de u. L’espace Eλ(u)⊕Eµ(u) est stable par uet donc possède un
supplémentaire Gstable par u.
Si G={0E}alors uest diagonalisé.
Sinon, on itère le processus.
2ème démarche : Le sous-espace vectoriel F=⊕
λ∈Sp uEλ(u) est stable par u, il admet donc
un supplémentaire stable G, si G,{0E}alors uGadmet un vecteur propre qui sera aussi
vecteur propre de udonc élément de F. C’est contradictoire donc G={0E}puis
E=⊕
λ∈Sp uEλ(u)
On peut conclure : udiagonalisable.
Exercice 3 : [énoncé]
Les endomorphismes recherchés sont les endomorphismes diagonalisables.
En effet, si fest diagonalisable et si Fest un sous-espace vectoriel stable par falors
puisque fFest diagonalisable, il existe une base de Fformée de vecteurs propres de f. En
complétant cette base à l’aide de vecteur bien choisis dans une base diagonalisant f, les
vecteurs complétant engendrent un supplémentaire de Fstable par f.
Inversement, si f∈ L(E) vérifie la propriété proposée alors le sous-espace vectoriel
F=⊕
λ∈Sp fEλ(f) étant stable par f, celui-ci admet un supplémentaire stable. Or fne
possède pas de vecteurs propres sur ce dernier et celui ne peut donc qu’être {0}car ici le
corps de base est C. Par suite F=Eet donc fest diagonalisable.
Exercice 4 : [énoncé]
(a) Si e<Halors la valeur de u(e) détermine entièrement un élément ude
{u∈E∗|u(H)={0}}. Cela permet de mette en place un isomorphisme entre
{u∈E∗|u(H)={0}} et K. La dimension cherchée vaut 1.
(b) Si Hest stable par falors pour tout x∈H,u(f(x)) =0 donc
u◦f∈{v∈E∗|v(H)={0}} or uest un élément non nul de cette droite vectorielle
donc u◦fest colinéaire à u. La réciproque est immédiate.
(c) MatB(u)=L,0 (car udéfinit une équation d’hyperplan), MatB(u◦f)=LA donc
u◦f=λu⇐⇒ LA =λL⇐⇒ tAtL=λtL
avec tLcolonne non nulle.
(d) Sp(tA)={1,2,−1}. Une base de vecteurs propres est formée des vecteurs de
composantes (−1,−1,1), (0,1,1) et (−1,0,1). Les plans stables par fsont ceux
d’équations x+y−z=0, y+z=0 et x−z=0.
Exercice 5 : [énoncé]
Si l’endomorphisme upossède une valeur propre alors la droite vectorielle engendrée par
un vecteur propre associé est évidemment stable par u.
Sinon, la matrice réelle Areprésentant udans une base n’a que des valeurs propres
complexes non réelles. Parmi celles-ci considérons en une que nous notons λ. Il existe
alors une colonne complexe Znon nulle telle que AZ =λZ. En écrivant λ=α+iβet
Z=X+iY avec α, β, X,Yréels, l’équation précédente donne
AX =αX−βYet AY =βX+αY
Considérons ensuite les vecteurs xet yde Ereprésentés par les colonnes réelles Xet Y.
Les relations précédentes donnent
u(x),u(y)∈Vect(x,y)
et donc le sous-espace vectoriel Vect(x,y) est stable par u.
Or celui-ci n’est pas nul car Z,0 et est donc de dimension 1 ou 2 (et en fait 2 car
l’absence de valeurs propres réelles dans le cas présent signifie l’absence de droite
vectorielle stable).
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Exercice 6 : [énoncé]
(a) Par l’absurde supposons Xet Ycolinéaires. Il existe alors une colonne X0réelle telle
que
X=αX0et Y=βX0avec (α, β),(0,0)
On a alors Z=(α+iβ)X0et la relation AZ =λZdonne
(α+iβ)AX0=λ(α+iβ)X0
Puisque α+iβ,0, on peut simplifier et affirmer AX0=λX0. Or X0est une colonne
réelle donc, en conjuguant, AX0=¯ λX0puis λ∈Rce qui est exclu.
(b) On écrit λ=a+ib avec a,b∈R. La relation AZ =λZdonne en identifiant parties
réelles et imaginaires
AX =aX −bY et AY =aY +bX
On en déduit que Vect(X,Y) est stable par A.
(c) Le polynôme caractéristique de fest
(X+1)(X−2)(X2−2X+2)
Les valeurs propres de Asont −1,2 et 1 ±iavec
E−1(A)=Vect t(0,0,1,0),E2(A)=Vect t(1,1,0,1)et E1+i(A)=Vect t(i,−1,0,1)
Soit Pun plan stable par f. Le polynôme caractéristique de l’endomorphisme u
induit par fsur ce plan divise le polynôme caractéristique de ftout en étant réel et
de degré 2. Ce polynôme caractéristique ne peut qu’être
(X+1)(X−2) ou X2−2X+2
Dans le premier cas, 1 et 2 sont valeurs propres de uet les vecteurs propres associés
sont ceux de f. Le plan Pest alors
Vect {(0,0,1,0),(1,1,0,1)}
Dans le second cas, pour tout x∈P, on a par le théorème de Cayley Hamilton
u2(x)−2u(x)+2x=0E
et donc la colonne Xdes coordonnées de xvérifie
X∈ker(A2−2A+2I4)
Après calculs, on obtient
X∈Vect(t(1,0,0,0),t(0,−1,0,1))
Ainsi le plan est inclus dans le plan
Vect {(1,0,0,0),(0,−1,0,1)}
ce qui suffit à le déterminer.
Exercice 7 : [énoncé]
Cas K=C
uannule un polynôme scindé simple, l’endomorphisme uest donc diagonalisable. Tout
sous-espace vectoriel possédant une base de vecteurs propres est stable et inversement.
Cas K=R
Par le lemme de décomposition des noyaux, on a
E=ker(u−Id) ⊕ker(u2+u+Id)
Si Fest un sous-espace vectoriel stable alors posons
F1=F∩ker(u−Id)
et
F2=F∩ker(u2+u+Id)
Montrons F=F1⊕F2.
Tout x∈Fpeut s’écrire x=a+bavec a∈ker(u−Id) et b∈ker(u2+u+Id).
Puisque u(x)=a+u(b)∈Fet u2(x)=a+u2(b)∈F, on a a=1
3x+u(x)+u2(x)∈F
puis b=x−a∈F.
Ainsi a∈F1,b∈F2et on a donc F⊂F1+F2.
Il est alors immédiat qu’on peut alors conclure F=F1⊕F2.
Puisque F2⊂ker(u2+u+Id), pour x∈F2non nul (x,u(x)) est libre et Vect(x,u(x)) est
stable par u. Cela permet d’établir que F2est la somme directe de sous-espaces vectoriels
de la forme Vect(x,u(x)) avec x,0, x∈ker(u2+u+Id). Quant à F1, il n’y a pas de
condition à souligner puisque tout sous-espace vectoriel de ker(u−Id) est stable par u.
Exercice 8 : [énoncé]
Si Fadmet une base de vecteurs propres, il est immédiat d’établir qu’il est stable par u.
Inversement, si Fest stable alors uFest diagonalisable et donc il existe une base de F
formée de vecteurs propres de u.
Exercice 9 : [énoncé]
Sp f={2,4,6},E2(A)=Vect e1,E4(A)=Vect e2et E6(A)=Vect e3avec e1=(0,1,1),
e2=(1,0,1), e3=(1,1,0).
Si Vest un sous-espace vectoriel stable alors fVest diagonalisable et donc possède une
base de vecteurs propres de f. Ainsi V={0}, Vect(ei) avec i∈{1,2,3}, Vect(ej,ek) avec
j,k∈{1,2,3}ou V=R3.
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