Réduction et sous

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016
Enoncés
Réduction et sous-espaces stables
Exercice 1 [ 00805 ] [Correction]
Soient f, g endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie.
On suppose que f est diagonalisable. Montrer :
f ◦ g = g ◦ f ⇐⇒ chaque sous-espace propre de f est stable par g
Exercice 2 [ 00807 ] [Correction]
Soit u un endomorphisme d’un C-espace vectoriel E de dimension finie vérifiant :
« Tout sous-espace vectoriel stable par u admet un supplémentaire stable »
Montrer que l’endomorphisme u est diagonalisable.
Exercice 3 [ 02675 ] [Correction]
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie.
Déterminer les f ∈ L(E) tels que tout sous-espace vectoriel de E stable par f possède un
supplémentaire stable.
1
Exercice 6 [ 03745 ] [Correction]
Soient f une endomorphisme de Rn et A sa matrice dans la base canonique de Rn . On
suppose que λ est une valeur propre non réelle de A et que Z ∈ Cn est un vecteur propre
associé.
On note X et Y les vecteurs de Rn dont les composantes sont respectivement les parties
réelles et imaginaires des composantes de Z.
(a) Montrer que X et Y sont non colinéaires.
(b) Montrer que Vect(X, Y) est stable par f .
(c) On suppose que la matrice de f est donnée par


 1 1 0 0
−1 2 0 1

A = 
 0 0 −1 0
1 0 0 1
Déterminer tous les plans stables par f .
Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA
Exercice 7 [ 02726 ] [Correction]
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E) tel que
u3 = Id
Exercice 4 [ 00761 ] [Correction]
Soient E un K-espace vectoriel muni d’une base B, f ∈ L(E) et H un hyperplan.
(a) Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel {u ∈ E ∗ | u(H) = {0}}.
(b) Montrer que si H a pour équation u(x) = 0 alors H est stable par f si, et seulement si,
u ◦ f est colinéaire à u.
(c) Soient A et L les matrices dans B de f et u.
Montrer que H est stable par f si, et seulement si, t L est vecteur propre de t A
(d) Déterminer les plans stables par

 3

A = −1

1
−2
1
−2

−4

1 

−2
Exercice 5 [ 03464 ] [Correction]
Soit u un endomorphisme d’un R-espace vectoriel E de dimension finie non nulle
Montrer qu’il existe une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable par u.
Décrire les sous-espaces stables de u.
Même question avec E un R-espace vectoriel.
Exercice 8 [ 00855 ] [Correction]
Soit u un endomorphisme diagonalisable d’un K-espace vectoriel E de dimension finie.
Montrer qu’un sous-espace vectoriel F non nul est stable par u si, et seulement si, il
possède une base de vecteurs propres de u.
Exercice 9 [ 00856 ] [Correction]
Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice est


5 1 −1
2 4 −2


1 −1 3
dans la base canonique.
Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par f .
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016
Corrections
Corrections
2
complétant cette base à l’aide de vecteur bien choisis dans une base diagonalisant f , les
vecteurs complétant engendrent un supplémentaire de F stable par f .
Inversement, si f ∈ L(E) vérifie la propriété proposée alors le sous-espace vectoriel
F = ⊕ Eλ ( f ) étant stable par f , celui-ci admet un supplémentaire stable. Or f ne
Exercice 1 : [énoncé]
( =⇒ ) Supposons f et g commutent.
λ∈Sp f
∀x ∈ ker( f − λ. Id), ( f − λ Id)(g(x)) = g( f (x) − λx) = 0
donc ker( f − λ Id) est stable par g.
( ⇐= ) Supposons que chaque sous-espace propre soit stable par g.
P
Puisque E = ⊕ Eλ ( f ), pour tout x ∈ E, on peut écrire x = λ∈Sp( f ) xλ avec xλ ∈ Eλ et
λ∈Sp( f )
alors
(g ◦ f )(x) =
X
λg(xλ ) = ( f ◦ g)(x)
λ∈Sp( f )
donc f ◦ g = g ◦ f .
Exercice 2 : [énoncé]
Rappelons que tout endomorphisme d’un C-espace vectoriel possède au moins un valeur
propre.
1ère démarche : Soit λ une valeur propre de u. Eλ (u) est stable par u et donc possède un
supplémentaire F stable par u.
Si F = {0E } alors u est diagonalisé.
Sinon, la restriction de u à F possède au moins une valeur propre µ qui est bien entendu
valeur propre de u. L’espace Eλ (u) ⊕ Eµ (u) est stable par u et donc possède un
supplémentaire G stable par u.
Si G = {0E } alors u est diagonalisé.
Sinon, on itère le processus.
2ème démarche : Le sous-espace vectoriel F = ⊕ Eλ (u) est stable par u, il admet donc
λ∈Sp u
un supplémentaire stable G, si G , {0E } alors uG admet un vecteur propre qui sera aussi
vecteur propre de u donc élément de F. C’est contradictoire donc G = {0E } puis
E = ⊕ Eλ (u)
λ∈Sp u
On peut conclure : u diagonalisable.
possède pas de vecteurs propres sur ce dernier et celui ne peut donc qu’être {0} car ici le
corps de base est C. Par suite F = E et donc f est diagonalisable.
Exercice 4 : [énoncé]
(a) Si e < H alors la valeur de u(e) détermine entièrement un élément u de
{u ∈ E ∗ | u(H) = {0}}. Cela permet de mette en place un isomorphisme entre
{u ∈ E ∗ | u(H) = {0}} et K. La dimension cherchée vaut 1.
(b) Si H est stable par f alors pour tout x ∈ H, u( f (x)) = 0 donc
u ◦ f ∈ {v ∈ E ∗ | v(H) = {0}} or u est un élément non nul de cette droite vectorielle
donc u ◦ f est colinéaire à u. La réciproque est immédiate.
(c) MatB (u) = L , 0 (car u définit une équation d’hyperplan), MatB (u ◦ f ) = LA donc
u ◦ f = λu ⇐⇒ LA = λL ⇐⇒ t At L = λt L
avec t L colonne non nulle.
(d) Sp(t A) = {1, 2, −1}. Une base de vecteurs propres est formée des vecteurs de
composantes (−1, −1, 1), (0, 1, 1) et (−1, 0, 1). Les plans stables par f sont ceux
d’équations x + y − z = 0, y + z = 0 et x − z = 0.
Exercice 5 : [énoncé]
Si l’endomorphisme u possède une valeur propre alors la droite vectorielle engendrée par
un vecteur propre associé est évidemment stable par u.
Sinon, la matrice réelle A représentant u dans une base n’a que des valeurs propres
complexes non réelles. Parmi celles-ci considérons en une que nous notons λ. Il existe
alors une colonne complexe Z non nulle telle que AZ = λZ. En écrivant λ = α + iβ et
Z = X + iY avec α, β, X, Y réels, l’équation précédente donne
AX = αX − βY et AY = βX + αY
Considérons ensuite les vecteurs x et y de E représentés par les colonnes réelles X et Y.
Les relations précédentes donnent
u(x), u(y) ∈ Vect(x, y)
Exercice 3 : [énoncé]
Les endomorphismes recherchés sont les endomorphismes diagonalisables.
En effet, si f est diagonalisable et si F est un sous-espace vectoriel stable par f alors
puisque fF est diagonalisable, il existe une base de F formée de vecteurs propres de f . En
et donc le sous-espace vectoriel Vect(x, y) est stable par u.
Or celui-ci n’est pas nul car Z , 0 et est donc de dimension 1 ou 2 (et en fait 2 car
l’absence de valeurs propres réelles dans le cas présent signifie l’absence de droite
vectorielle stable).
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016
Corrections
Exercice 6 : [énoncé]
3
Ainsi le plan est inclus dans le plan
(a) Par l’absurde supposons X et Y colinéaires. Il existe alors une colonne X0 réelle telle
que
X = αX0 et Y = βX0 avec (α, β) , (0, 0)
On a alors Z = (α + iβ)X0 et la relation AZ = λZ donne
(α + iβ)AX0 = λ(α + iβ)X0
Puisque α + iβ , 0, on peut simplifier et affirmer AX0 = λX0 . Or X0 est une colonne
réelle donc, en conjuguant, AX0 = λ̄X0 puis λ ∈ R ce qui est exclu.
(b) On écrit λ = a + ib avec a, b ∈ R. La relation AZ = λZ donne en identifiant parties
réelles et imaginaires
AX = aX − bY et AY = aY + bX
Vect {(1, 0, 0, 0), (0, −1, 0, 1)}
ce qui suffit à le déterminer.
Exercice 7 : [énoncé]
Cas K = C
u annule un polynôme scindé simple, l’endomorphisme u est donc diagonalisable. Tout
sous-espace vectoriel possédant une base de vecteurs propres est stable et inversement.
Cas K = R
Par le lemme de décomposition des noyaux, on a
E = ker(u − Id) ⊕ ker(u2 + u + Id)
Si F est un sous-espace vectoriel stable alors posons
On en déduit que Vect(X, Y) est stable par A.
F1 = F ∩ ker(u − Id)
(c) Le polynôme caractéristique de f est
(X + 1)(X − 2)(X 2 − 2X + 2)
Les valeurs propres de A sont −1, 2 et 1 ± i avec
E−1 (A) = Vect t (0, 0, 1, 0) , E2 (A) = Vect t (1, 1, 0, 1) et E1+i (A) = Vect t (i, −1, 0, 1)
Soit P un plan stable par f . Le polynôme caractéristique de l’endomorphisme u
induit par f sur ce plan divise le polynôme caractéristique de f tout en étant réel et
de degré 2. Ce polynôme caractéristique ne peut qu’être
(X + 1)(X − 2) ou X 2 − 2X + 2
Dans le premier cas, 1 et 2 sont valeurs propres de u et les vecteurs propres associés
sont ceux de f . Le plan P est alors
Vect {(0, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 1)}
Dans le second cas, pour tout x ∈ P, on a par le théorème de Cayley Hamilton
et
F2 = F ∩ ker(u2 + u + Id)
Montrons F = F1 ⊕ F2 .
2
Tout x ∈ F peut s’écrire x = a + b avec a ∈ ker(u − Id) et b ∈ ker(u
+ u + Id).
1
Puisque u(x) = a + u(b) ∈ F et u2 (x) = a + u2 (b) ∈ F, on a a = 3 x + u(x) + u2 (x) ∈ F
puis b = x − a ∈ F.
Ainsi a ∈ F1 , b ∈ F2 et on a donc F ⊂ F1 + F2 .
Il est alors immédiat qu’on peut alors conclure F = F1 ⊕ F2 .
Puisque F2 ⊂ ker(u2 + u + Id), pour x ∈ F2 non nul (x, u(x)) est libre et Vect(x, u(x)) est
stable par u. Cela permet d’établir que F2 est la somme directe de sous-espaces vectoriels
de la forme Vect(x, u(x)) avec x , 0, x ∈ ker(u2 + u + Id). Quant à F1 , il n’y a pas de
condition à souligner puisque tout sous-espace vectoriel de ker(u − Id) est stable par u.
Exercice 8 : [énoncé]
Si F admet une base de vecteurs propres, il est immédiat d’établir qu’il est stable par u.
Inversement, si F est stable alors uF est diagonalisable et donc il existe une base de F
formée de vecteurs propres de u.
u2 (x) − 2u(x) + 2x = 0E
et donc la colonne X des coordonnées de x vérifie
X ∈ ker(A2 − 2A + 2I4 )
Après calculs, on obtient
X ∈ Vect(t (1, 0, 0, 0), t (0, −1, 0, 1))
Exercice 9 : [énoncé]
Sp f = {2, 4, 6}, E2 (A) = Vect e1 , E4 (A) = Vect e2 et E6 (A) = Vect e3 avec e1 = (0, 1, 1),
e2 = (1, 0, 1), e3 = (1, 1, 0).
Si V est un sous-espace vectoriel stable alors fV est diagonalisable et donc possède une
base de vecteurs propres de f . Ainsi V = {0}, Vect(ei ) avec i ∈ {1, 2, 3}, Vect(e j , ek ) avec
j , k ∈ {1, 2, 3} ou V = R3 .
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD