EM3 - Equations locales de l`électromagnétisme

EM3- Equations locales de l’´electromagn´etisme
1 Sources de champ ´electromagn´etiques
1.1 Description microscopique et m´esoscopique des sources de champ ´electromagn´etique
Figure 1 – Comment mod´eliser la conduction ´electrique
dans un conducteur ohmique ?
Figure 2 – D´eplacement organis´e des porteurs de charge
Dans un milieu conducteur, le courant ´electrique est assur´e par un mouvement global de porteurs de charges. Dans
le cas d’un m´etal par exemple, les porteurs de charges sont des ´electrons. En l’absence de champ ´electrique, chaque
´electron a une vitesse al´eatoire d’agitation thermique qui est modifi´ee de mani`ere al´eatoire entre deux chocs.
On note −→ vk,th la vitesse d’agitation thermique d’une particule `a l’instant tet −→ vth la vitesse moyenne d’agitation
thermique des particules.
−→
vth =1
N
n
X
k=1
−→
vk,th =−→ 0
En pr´esence d’un champ ´electrique, la vitesse d’une particule charg´ee, libre de se d´eplacer macroscopiquement dans
le m´etal, est alors −→ vk=−→ vk,th +−→ vdo`u −→ vdest une vitesse dite ≪de d´erive ≫. Dans ce cas la vitesse moyenne d’un
´electron dans le m´etal est −→ vd.
Si un porteur de charge porte une charge q, et que ce porteur est pr´esent dans le milieu avec une densit´e volumique
n´egale au nombre de porteurs de charges par unit´e de volume, la densit´e volumique de charges libre ρs’exprime alors :
1

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On consid`ere un m´etal plong´e soumis `a un champ ´electrique −→ E, pour lequel les porteurs de charges sont uniquement
des ´electrons. (un seul type de porteurs de charges q=−e)
– Exprimer la quantit´e de charges d2qqui traverse une section ´el´ementaire dSde conducteur entre tet t+ dt. En
d´eduire la relation entre −→ j(vecteur densit´e de courant) ρet −→ vd(not´ee simplement −→ vpar la suite)
1.2 Equation locale de conservation de la charge
Figure 3 – Bilan de charge pour un d´eplacement de charge unidirectionnel
– Faire un bilan de charge sur la tranche de conducteur de largeur dxentre les instant tet t+ dt. En d´eduire
l’´equation de conservation de la charge.

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– G´en´eraliser l’´ecriture de cette ´equation pour un d´eplacement en 3D des porteurs de charges
– Quelles lois de l’´electrocin´etique retrouve-t-on en r´egime stationnaire ?
1.3 Conduction ´electrique dans un conducteur ohmique
1.3.1 Le mod`ele de Drude
Le mod`ele de Drude est un mod`ele ph´enom´enologique justifiant par des consid´erations microscopiques le compor-
tement macroscopique des conducteurs.
Figure 4 – Repr´esentation microscopique d’un m´etal
Hypoth`eses :
– La conduction est assur´ee par les ´electrons libres dans le m´etal et qu’ils forment un gaz parfait d’´electrons,
– On consid`ere que les nœuds du r´eseau cristallin sont fixes.
– Que peut - on dire de la vitesse des ´electrons libres d’un m´etal en l’absence de champ ´electrique ?
– On consid`ere un ´electron uniquement soumis `a l’action d’un champ ´electrique −→ E(suppos´e localement uniforme).
Exprimer l’´equation du mouvement. Quel probl`eme cette mod´elisation implique - t - elle ?

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– On introduit alors une force ph´enom´enologique de frottement fluide −→ f=m
τ
−→
v. Etablir `a nouveau l’´equation
diff´erentielle du mouvement puis en d´eduire la valeur limite de la vitesse de d´erive.
– Exprimer alors le vecteur densit´e de courant en fonction de −→ E
Le cuivre (traditionnellement utilis´e pour r´ealiser des cˆables ´electriques) a une conductivit´e de σ= 59,6×106S/m,
et un rayon m´etallique qui vaut r= 128 pm. Chaque atome de cuivre poss`ede un ´electron libre de se d´eplacer dans
tout le m´etal (´electron de conduction).
– D´eterminer un ordre de grandeur de la constante τ.
– On soumet le morceau de m´etal `a un champ alternatif de fr´equence f. Dans quelle gamme de fr´equence pourra-ton
consid´er´e que le champ −→ Eest approximativement stationnaire entre deux collisions ?
1.3.2 R´esistance ´electrique d’une portion de conducteur filiforme
On consid`ere un conducteur ohmique cylindrique soumis `a une tension Uet parcouru par un courant Iselon l’axe
du conducteur. On se place en r´egime permanent ou dans le cadre de l’ARQS.

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1.3.3 Interpr´etation collisionnelle
Essayons de d´eterminer l’origine microscopique de la force de frottement introduite.
– Qu’est-ce qui peut ≪freiner ≫les ´electrons ?
Hypoth`eses :
– Dans un m´etal, les ´electrons libres ne peuvent entrer en collision qu’avec les n oeuds du r´eseau
– Apr`es chaque collision, le porteur de charge perd l’´energie qu’il a acquise (il perd toute ≪m´emoire ≫de son
mouvement d’avant le choc et prend une vitesse al´eatoire.
Calculons la vitesse `a l’instant td’un porteur de charge kde masse met de charge qdont la derni`ere collision a
eu lieu `a l’instant tk< t :
– Exprimer l’´equation diff´erentielle du mouvement entre deux collisions puis en d´eduire l’expression de la vitesse
du porteur de charge entre deux collisions.
– En d´eduire l’expression de la vitesse moyenne <−→ v > d’un porteur de charge en fonction de la dur´ee moyenne
entre deux collisions. Interpr´eter.
– Calculer cette vitesse (d’agitation thermique)`a T= 293 K et en d´eduire le libre parcourt moyen d’un ´electron et
comparer au rayon m´etallique du cuivre.