Electricité et magnétisme - TD n 6 Conducteurs hors équilibre

Electricit´e et magn´etisme - TD n◦6
Conducteurs hors ´equilibre
1. Densit´e de courant - vitesse des porteurs
Le cuivre, qui est un bon conducteur du courant ´electrique, poss`ede 1 ´electron libre par atome;
sa densit´e volumique de charge ρvaut 1,36.1010 C.m−3. Un fil de cuivre de section s= 1 mm2
est parcouru par un courant I= 10 A. Calculer la densit´e de courant jet la vitesse moyenne
des porteurs.
I=
−→
j
s
−→
j
=I
s
A.N.
=10
(10−3)2= 107Cs−1m−2
−→
j=ρp−→ v
−→
v
=
−→
j
ρp
A.N.
=107m.s−1
1,36 1010 ≃10−3m.s−1= 1mm.s−1
2. Conduction dans un m´etal: mod`eles de Drude
La conduction ´electrique dans les m´etaux est assur´ee par les ´electrons libres de charge (−e) et de
masse m. Une approche ph´enom´enologique propos´ee par le physicien allemand P. Drude consiste
`a consid´erer que les ´electrons qui participent `a la conduction ´evoluent dans un r´eseau cristallin
quasiment immobile. L’interaction entre les ´electrons et le r´eseau peut-ˆetre prise en compte soit
en introduisant une force de frottement visqueux (mod`ele macroscopique) soit, d’une mani`ere
plus r´ealiste, `a l’aide d’une interpr´etation collisionnelle (mod`ele microscopique). Nous nous
proposons dans cet exercice de d´ecrire la conductivit´e d’un m´etal en suivant les deux approches
(force de frottement visqueux et collisions) propos´ees par P. Drude.
(a) Mod`ele macroscopique.
Pour rendre compte d’un courant ´electrique constant qui traverse le m´etal soumis `a un
champ ´electrique −→ E0, on mod´elise l’action du r´eseau cristallin par une force de frottement
visqueux proportionnelle `a la vitesse du porteur : −→ f=−k−→ v. D´eterminer la loi des vitesses
v(t) d’un porteur; calculer sa vitesse limite vl.
−→
Fe=me
d−→ v
dt =qe−→
E−k−→ v=qe−→ E−k−→ v
⇒d−→
v
dt =qe me
−→
E−k
me−→
v
⇒d−→
v
dt +k me−→
v=qe
me
−→
E
Solution de l’´equation homog`ene :
d−→ vh
dt +k me−→
vh=0(1)
dvh
dt +vh τr
=0(2)
1

et dont la solution de cette ´equation homog`ene s’´ecrit
vh(t) = v0exp −t
τr(3)
avec un temps de relaxation de :
τr=me
k⇒k=me τr
(4)
La vitesse limite est donn´e par :
−→
Fe=me
d−→ v
dt =−→
0=qe−→ E0−k−→ vl
⇒−→ vl=qe
k−→
E0
On prend comme t= 0, le temps o`u on applique le champ ´electrique. La condition limite
est v(t) = −→ 0ce qui fixe v0=−qe
k−→
E0, donc la solution du probl`eme est :
v(t) = qe
k−→
E01−exp −t
τr
(b) Mod`ele microscopique.
Soit nle nombre d’´electrons libres par unit´e de volume. Un m´etal est caract´eris´e par la
dur´ee moyenne τentre 2 chocs successifs d’un porteur sur le r´eseau cristallin d’atomes. Ainsi
en l’absence de champ ´electrique et par suite de l’agitation thermique, chaque ´electron est
suppos´e anim´e d’un mouvement rectiligne entre 2 chocs; les trajectoires en zigzag, r´eparties
au hasard, correspondent `a un courant ´electrique nul. Lorsque le m´etal est soumis au champ
−→
E0, les d´eplacements des ´electrons donnent naissance `a un courant ´electrique. A l’aide de
ce mod`ele :
i. D´eterminer la loi des vitesses inter choc v(t)`a l’instant t(test compt´e en prenant
comme origine le dernier choc; on d´esignera par −→ v0la vitesse de l’´electron juste apr`es
son dernier choc).
−→
F=me
d−→ v
dt =qe−→
E0
d−→ v
dt =qe me
−→
E0
−→
v(t) = qe
me
t−→ E0+−→ v0
ii. Calculer la valeur de τavec les donn´ees suivantes: conductivit´e γ= 5.107Ω−1.m−1,
nombre de porteurs par unit´e de volume ne= 18.1028 ´electrons.m−3.
−→
v=−→ v(t)τ=qe
me
t−→ E0τ +−→ v0
=1
τZτ
0
qe
me
t−→ E0dt =qe
me
−→
E0
1
τZτ
0
tdt
=qe
me
τ
2−→
E0
La densit´e de courant s’exprime :
−→
j=ρp−→ v=ne
q2
e
me
τ
2−→
E0
2

Le conductivit´e est donn´e par :
−→
j=γ−→ E0=σ−→ E0
Cm−2s−1= [γ] [E] = [γ]V m−1
[γ] = Cm−1s−1
V
donc
γ=ne
q2
e
me
τ
2
A.N.
τ=2γme
neq2
e
= 2 5.107×0,911.10−30
18.1028 (1,6.10−19 )2
≃4×10−14s
(c) Rapprochement des deux mod`eles.
Les deux mod`eles se rapprochent si on interpr`ete la vitesse limite vldu premier mod`ele
comme la norme de la vitesse moyenne inter choc v(t) du deuxi`eme mod`ele: dans ce cas,
montrer que τest le temps de relaxation du premier mod`ele.
Le courant du mod`ele macroscopique est donn´e par :
−→
j=neqe−→ vl=ne
q2
e
k−→
E0=ne
q2
eτr
me
−→
E0=γ−→ E0
γ⇒ne
q2
eτr
me
Le premier mod`ele donn´e
γ=ne
q2
e
me
τ
2[γ] = Cm−1s−1 V
ce qui implique
ne
q2
e
me
τ
2=ne
q2
eτr
me
⇒τr=τ
2
3. R´esistance ohmique
Un conducteur filaire de longueur l, de section S, est soumis `a une diff´erence de potentiel V1−V2
entre ses extr´emit´es.
(a) En appelant −→ jle vecteur densit´e de courant, montrer que, en r´egime permanent, le flux
de −→ jest conservateur.
Les ´equations de base en magn´etostatique sont :
div −→ B=−→ 0
−→
rot B =µ0−→ j(5)
Le premier montre que le flux de −→ Best conservateur :
ZZZ
V
div −→ BdV =I
S
−→
B·b ndS = 0
3

On peut prendre la divergence du deuxi`eme ´equation du magn´etostatique afin de trouver :
div −→ rot B ≡0 = µ0div−→ j
donc le flux de −→ jest conservateur en magn´etostatique :
ZZZ
V
div−→ j=I
S
−→
j·b ndS = 0
(b) Calculer la r´esistance Rde cette portion de fil de conductivit´e γ.
Nous avons que −→ j,−→ E, et −→ dl sont colin´eaires.
I=jS =γES
et
U=V1−V2=−Z1
2
−→
E·−→ dl =−El
donc
I=γES =−γU
lS
U=−Il
Sγ
Dans la convention g´en´erateur de Upositif et Ipositif sont dans le mˆeme sens U=−IR
donc on peut conclure que :
R=l
Sγ
4. R´esistance de fuite
L’ˆame de rayon R1= 1 cm d’un cˆable coaxial (figure 1a) et sa gaine ext´erieure de rayon R2= 2 cm
sont s´epar´es par un isolant imparfait de conductivit´e γ= 10−22 Ω−1.m−1.
(a) Calculer la r´esistance de fuite Rfde ce cˆable.
Pour un fil on peut ´ecrire
dR =dl
Sγ
Rt=ZdR =Zdl
Sγ =l Sγ
C’est le mˆeme probl`eme ici sauf que la section est variable
R=ZR2
R1
dl
Sγ
avec
dl =dr
S= 2πrl
donc
R=ZR2
R1
dr
2πrlγ =1 2πlγ ZR2
R1
dr
r
=1
2πlγ ln R2 R1
4

(b) En d´eduire le courant de d´eperdition lat´erale d’un kilom`etre de cˆable soumis `a une diff´erence
de potentiel de 1000 volts.
RA.N. =1
2×3.1416 ×10−22 ×103ln 2 ≃1.1×1018Ω
IR =U= 103
IA.N. =103
1.1×1018 ≃9×10−16
5. La diode `a vide, un conducteur non-ohmique
Les deux ´electrodes Aet Cd’une diode sont enferm´ees dans une ampoule o`u r`egne le vide. La
cathode C´emet, par effet thermo-´electrique, des ´electrons sans vitesse initiale qui sont attir´es
par l’anode Amaintenue au potentiel Vaconstant et positif (figure 1b).
1-
cathode anode
R1
R2
rV =0
c
x
Va
0L
Ox
a) b)
Figure 1: a) Cˆable coaxial. b) Diode `a vide
En r´egime permanent, les ´electrons, de charge −eet de masse m, quittent la cathode qui se situe
dans le plan x= 0 ; ils se dirigent vers l’anode positionn´ee au plan x=L.
(a) Quelle est la g´eom´etrie des ´equipotentielles ?
Les ´equipotentielles sont des plans de x=cte.
(b) Ecrire les 3 ´equations locales uni-dimensionnelles qui relient le potentiel Vx, la vitesse vx
des ´electrons ´emis, et le nombre d’´electrons nxd’´electrons par unit´e de volume en un point
Msitu´e `a la distance xde la cathode (0 < x < L).
Sur la cathode V(x) = 0. ` A un point xl’´energie ´electrostatique est
U(x) = −eVx(x)
Donc l’´energie cin´etique en ce point est T=1
2mv2
xafin que T+U= 0. Nous avons donc
que la vitesse de l’´electron est donn´ee par
1
2mv2
x=eVx(x) kg.m2.s−2= C.V
et on obtient la premi`ere ´equation entre vxet le potentiel :
vx=r2eVx(x)
mhe mi= V−1.m2.s−2(6)
5