Electricité et magnétisme - TD n 6 Conducteurs hors équilibre

Electricité et magnétisme - TD n◦ 6
Conducteurs hors équilibre
1. Densité de courant - vitesse des porteurs
Le cuivre, qui est un bon conducteur du courant électrique, possède 1 électron libre par atome;
sa densité volumique de charge ρ vaut 1, 36.1010 C.m−3 . Un fil de cuivre de section s = 1 mm2
est parcouru par un courant I = 10 A. Calculer la densité de courant j et la vitesse moyenne
des porteurs.
−
→
I = j s
−
10
→ I A.N.
=
= 107 Cs−1 m−2
j=
s
(10−3 )2
−
→
→
j = ρp −
v
−
→
j A.N. 107 m.s−1
−
→
v =
=
≃ 10−3 m.s−1 = 1mm.s−1
ρp
1, 36 1010
2. Conduction dans un métal: modèles de Drude
La conduction électrique dans les métaux est assurée par les électrons libres de charge (−e) et de
masse m. Une approche phénoménologique proposée par le physicien allemand P. Drude consiste
à considérer que les électrons qui participent à la conduction évoluent dans un réseau cristallin
quasiment immobile. L’interaction entre les électrons et le réseau peut-être prise en compte soit
en introduisant une force de frottement visqueux (modèle macroscopique) soit, d’une manière
plus réaliste, à l’aide d’une interprétation collisionnelle (modèle microscopique). Nous nous
proposons dans cet exercice de décrire la conductivité d’un métal en suivant les deux approches
(force de frottement visqueux et collisions) proposées par P. Drude.
(a) Modèle macroscopique.
Pour rendre compte d’un courant électrique constant qui traverse le métal soumis à un
−
→
champ électrique E 0 , on modélise l’action du réseau cristallin par une force de frottement
−
→
→
visqueux proportionnelle à la vitesse du porteur : f = −k−
v . Déterminer la loi des vitesses
v (t) d’un porteur; calculer sa vitesse limite vl .
→
−
→
−
→
−
→
d−
v
→
→
=qe E − k−
v =qe E − k−
v
F e = me
dt
−
→
→
d v qe −
k −
→
⇒
=
E−
v
dt me
me
→
d−
v
k −
qe −
→
→
⇒
+
v=
E
dt
me
me
Solution de l’équation homogène :
→
d−
vh
k −
→
+
v h= 0
dt
me
(1)
dvh vh
+
=0
dt
τr
(2)
1
et dont la solution de cette équation homogène s’écrit
t
vh (t) = v0 exp −
τr
(3)
avec un temps de relaxation de :
τr =
me
me
⇒k=
k
τr
(4)
La vitesse limite est donné par :
→
−
→
−
→
d−
v
−
→
→
F e = me
vl
= 0 = qe E 0 − k −
dt
→
qe −
→
⇒−
v l = E0
k
On prend comme t = 0, le temps où on applique le champ électrique. La condition limite
−
→
−
→
est v (t) = 0 ce qui fixe v0 = − qke E 0 , donc la solution du problème est :
→
qe −
t
v (t) = E 0 1 − exp −
k
τr
(b) Modèle microscopique.
Soit n le nombre d’électrons libres par unité de volume. Un métal est caractérisé par la
durée moyenne τ entre 2 chocs successifs d’un porteur sur le réseau cristallin d’atomes. Ainsi
en l’absence de champ électrique et par suite de l’agitation thermique, chaque électron est
supposé animé d’un mouvement rectiligne entre 2 chocs; les trajectoires en zigzag, réparties
au hasard, correspondent à un courant électrique nul. Lorsque le métal est soumis au champ
−
→
E 0 , les déplacements des électrons donnent naissance à un courant électrique. A l’aide de
ce modèle :
i. Déterminer la loi des vitesses inter choc v (t)à l’instant t (t est compté en prenant
→
comme origine le dernier choc; on désignera par −
v 0 la vitesse de l’électron juste après
son dernier choc).
→
−
→
−
→
d−
v
F = me
= qe E 0
dt
→
d−
v qe −
→
=
E0
dt me
→ →
qe −
−
→
v (t) =
t E 0 +−
v0
me
ii. Calculer la valeur de τ avec les données suivantes: conductivité γ = 5.107 Ω−1 .m−1 ,
nombre de porteurs par unité de volume ne = 18.1028 électrons.m−3 .
−
−
→ →
qe −
→
→
v = v (t) τ =
tE0 + −
v0
me
τ
Z τ
Z τ
→ 1
→
1
qe −
qe −
=
t E 0 dt =
E0
tdt
τ 0 me
me
τ 0
→
qe τ −
=
E0
me 2
La densité de courant s’exprime :
→
−
→
→
q2 τ −
j = ρp −
v = ne e E 0
me 2
2
Le conductivité est donné par :
−
→
−
→
−
→
j = γ E 0 =σ E 0
Cm−2 s−1 = [γ] [E] = [γ] V m−1
[γ] =
Cm−1 s−1
V
donc
γ = ne
qe2 τ
me 2
A.N.
2γme
5.107 × 0, 911. 10−30
=
2
ne qe2
18.1028 (1, 6. 10−19 )2
≃ 4 × 10−14 s
τ=
(c) Rapprochement des deux modèles.
Les deux modèles se rapprochent si on interprète la vitesse limite vl du premier modèle
comme la norme de la vitesse moyenne inter choc v (t) du deuxième modèle: dans ce cas,
montrer que τ est le temps de relaxation du premier modèle.
Le courant du modèle macroscopique est donné par :
→
→
−
→
−
→
q2 −
q 2 τr −
→
j = ne qe −
v l = ne e E 0 = ne e E 0 = γ E 0
k
me
qe2 τr
γ ⇒ ne
me
Le premier modèle donné
γ = ne
qe2 τ
me 2
[γ] =
Cm−1 s−1
V
ce qui implique
ne
qe2 τ
q 2 τr
= ne e
me 2
me
τ
⇒ τr =
2
3. Résistance ohmique
Un conducteur filaire de longueur l, de section S, est soumis à une différence de potentiel V1 − V2
entre ses extrémités.
−
→
(a) En appelant j le vecteur densité de courant, montrer que, en régime permanent, le flux
−
→
de j est conservateur.
Les équations de base en magnétostatique sont :
−
→ −
→
div B= 0
−
→
−→
rot B = µ0 j
−
→
Le premier montre que le flux de B est conservateur :
ZZZ
I
−
→
−
→
b dS = 0
div B dV = B · n
V
S
3
(5)
On peut prendre la divergence du deuxième équation du magnétostatique afin de trouver :
−
→
−→
div rot B ≡ 0 = µ0 div j
−
→
donc le flux de j est conservateur en magnétostatique :
ZZZ
I
−
→
−
→
b dS = 0
j ·n
div j =
V
S
(b) Calculer la résistance R de cette portion de fil de conductivité γ.
−
→ −
−
→
→
Nous avons que j , E , et dl sont colinéaires.
I = jS = γES
et
U = V1 − V2 = −
Z
1
2
→
−
→ −
E · dl = −El
donc
I = γES = −γ
U = −I
U
S
l
l
Sγ
Dans la convention générateur de U positif et I positif sont dans le même sens U = −IR
donc on peut conclure que :
l
R=
Sγ
4. Résistance de fuite
L’âme de rayon R1 = 1 cm d’un câble coaxial (figure 1a) et sa gaine extérieure de rayon R2 = 2 cm
sont séparés par un isolant imparfait de conductivité γ = 10−22 Ω−1 .m−1 .
(a) Calculer la résistance de fuite Rf de ce câble.
Pour un fil on peut écrire
dl
Sγ
Z
Z
dl
l
Rt = dR =
=
Sγ
Sγ
dR =
C’est le même problème ici sauf que la section est variable
Z R2
dl
R=
R1 Sγ
avec
dl = dr
S = 2πrl
donc
Z
R2
dr
1
=
2πrlγ
2πlγ
R1
1
R2
=
ln
2πlγ R1
R=
4
Z
R2
R1
dr
r
(b) En déduire le courant de déperdition latérale d’un kilomètre de câble soumis à une différence
de potentiel de 1000 volts.
A.N.
R =
1
ln 2 ≃ 1.1 × 1018 Ω
2 × 3.1416 × 10−22 × 103
IR = U = 103
A.N.
I =
103
≃ 9 × 10−16
1.1 × 1018
5. La diode à vide, un conducteur non-ohmique
Les deux électrodes A et C d’une diode sont enfermées dans une ampoule où règne le vide. La
cathode C émet, par effet thermo-électrique, des électrons sans vitesse initiale qui sont attirés
par l’anode A maintenue au potentiel Va constant et positif (figure 1b).
1-
Va
a)
b)
cathode
anode
R2
R1
x
0
O
r
L
x
Vc=0
Figure 1: a) Câble coaxial. b) Diode à vide
En régime permanent, les électrons, de charge −e et de masse m, quittent la cathode qui se situe
dans le plan x = 0 ; ils se dirigent vers l’anode positionnée au plan x = L.
(a) Quelle est la géométrie des équipotentielles ?
Les équipotentielles sont des plans de x = cte.
(b) Ecrire les 3 équations locales uni-dimensionnelles qui relient le potentiel Vx , la vitesse vx
des électrons émis, et le nombre d’électrons nx d’électrons par unité de volume en un point
M situé à la distance x de la cathode (0 < x < L).
Sur la cathode V (x) = 0. À un point x l’énergie électrostatique est
U (x) = −eVx (x)
Donc l’énergie cinétique en ce point est T = 12 mvx2 afin que T + U = 0. Nous avons donc
que la vitesse de l’électron est donnée par
1
mv 2 = eVx (x)
2 x
kg.m2 .s−2 = C.V
et on obtient la première équation entre vx et le potentiel :
r
hei
2eVx (x)
vx =
= V−1 .m2 .s−2
m
m
5
(6)
où nous avons mis vx (0) = V (0) ≡ Vc = 0. On obtient la densité de charge à partir de
l’équation jx = ρx vx = −I/S = cte , (convention récepteur) donc la deuxième équation est
:
r
I
m I −1/2
ρx = −
=−
V
[ρx ] = C.m−3 = m−3 .s.C.s−1
(7)
vx S
2e S x
−
→
→
Les signes négatifs apparaissent parce que j = ρ−
v est une relation vectorielle, et ρ est
négative. La vitesse des charges et le courant sont donc de directions opposées.
La troisième équation vient de l’électromagnétisme. Puisque les grandeurs physiques ne
dépendent que de la coordonnée x, l’équation de Poisson s’écrit :
ρ
d2
Vx (x) = −
dx2
ǫ0
(8)
(c) Présenter l’équation différentielle du potentiel Vx .
Mettant l’équation (7) dans l’équation de Poisson (8) on obtient :
r
r
d2
ρ
m I −1/2
m I
−1/2
Vx = − =
Vx
= KV
où
K=
2
dx
ǫ0
2e S
2e Sǫ0
(9)
(d) L’expérience confirme qu’un nuage de conduction existe entre la cathode et l’anode; calculer
le potentiel Vx entre ces deux plans.
√
(La solution est de la forme V 3/4 = 32 Kx).
2
dV d2
dV
V = 2KV −1/2
2
dx dx
dx
Multipliant les deux cotés par 2 dV
dx on peut réécrire cette équation dans la forme suivante:
d
dx
dV
dx
2
= 2KV −1/2
dV
dx
(10)
Pour ce type d’équation différentiel, il s’avère que la solution est de la forme :
dV
= CV γ
dx
(11)
Insérant cette solution dans l’éq.(10), on trouve
d
(CV γ )2 = 2KV −1/2 CV γ
dx
dV
2γC 2 V 2γ−1
= 2CKV γ−1/2
dx
dV
K 1/2−γ
=
V
dx
γC
(12)
Pour que les l’éq.(12) et l’éq.(11) soit consistante, il faut donc :
1/2 − γ = γ ⇒ 2γ =
1
1
⇒γ=
2
4
√
K
= C ⇒ C 2 = 4K ⇒ C = 2 K
γC
Donc nous avons réduit l’éq.(10) de deuxième ordre à une équation de premier ordre :
√
dV
= 2 KV 1/4
dx
6
(13)
Ceci est une équation qu’on peut résoudre par intégration :
Z
√ Z
dV
= 2 K dx
V 1/4
Z
√
4
V −1/4 dV = V 3/4 = 2 Kx + cte
3
Puisque V (x) = 0, nous avons le résultat final de
Vx3/4
r
I
3√
3 m 1/4
=
Kx =
x
2
2 2e
Sǫ0
(14)
On peut vérifier que c’est la bonne solution en écrivant explicitement :V 3/4 = 32 K 1/2 x
4/3
3
K 4/6 x4/3
2
4 3 4/3 4/6 1/3
d
Vx =
K x
dx
3 2
−2/3
3
K −2/6 x−2/3
2
1 4 3 4/3 4/6 −2/3
d2
Vx =
K x
dx2
33 2
V −1/2 =
Vx =
donc
4/3 2/3 −2/3
3
3
3
K 4/6 K 2/6 K −2/6 x−2/3
2
2
2
−2/3
4 32
3
= 2
K
K −2/6 x−2/3
2
3
2
2
d2
4
Vx = 2
2
dx
3
= KV −1/2
−
→
(e) En déduire une expression de la densité de courant j a sur l’anode.
Enfin compte, la densité de courant et le courant lui même sont constantes.
−
→
I
b=
j a = ρx jx x
S
−
→
(f) En rappelant la définition du flux de j a trouver une expression du courant d’anode Ia en
fonction des données et du potentiel d’anode Va .
3√
3 m 1/4
U
= ∆V
=
KL = L
2
2
2e
2 3
m 1/2 I
U 3/2 =
L2
2
2e
Sǫ0
1/2 2
2e
2
I = Sǫ0
U 3/2
m
3L
3/4
3/4
I
Sǫ0
1/2
(15)
La densité de courants est :
I
jx = = ǫ0
S
2e
me
h e i1/2
= V−1/2 .m.s−1
m
7
1/2 2
3L
2
U 3/2
[ǫ0 ] = C.m−1 V−1
(16)