ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Lycée Henri Dupuy de Lôme
MPSI
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
exercices Exercice 1 :
Résoudre dans R les équations diérentielles suivantes :
1. y 0 + y = −1 ;
2. y 0 + y = e x ;
3. y 0 + 2y = x2 ;
4. y 0 + y = −1 + x2 + e x .
Exercice 2 :
Soit (a, b) ∈ R2 .
Résoudre sur R l'équation y 0 − by = sin(ax).
Exercice 3 :
Résoudre, sur l'intervalle proposé, les équations diérentielles suivantes :
e −Arctan(x)
y
=
sur ]0, +∞[.
2
1+x
x2
2. y 0 − y tan(x) + cos2 (x) = 0, sur ] − π2 , π2 [.
1
1
1
3. y 0 +
y= −
sur ]1, +∞[.
x−1
x (x − 1)3
1
4. 2x(1 − x)y 0 + (1 − x)y = √ sur ]0, 1[.
x
1. y 0 +
Exercice 4 :
Résoudre sur R les équations diérentielles suivantes :
1. y 00 − 5y 0 + 4y = e x
2. y 00 − 4y 0 + 4y = 2e x
3. y 00 + 2y 0 + y = 4e −x
Exercice 5 :
Résoudre le problème de Cauchy :
4. y 00 + 4y = 3 cos2 (x)
5. y 00 + 2y 0 + 2y = 2e −x sin(x)
6. y 00 − 4y 0 + 3y = 2e 3x + cos(2x) + sin(2x)
 00
 y + 4y = cos(3x)
y(0) = 1

y 0 (0) = 0
Exercice 6 :
1. Résoudre sur les intervalles ] − ∞, 0[ et ]0, +∞[ l'équation x2 y 0 − y = 0.
2. Donner l'ensemble des solutions de x2 y 0 − y = 0 dénies sur R.
Exercice 7 :
Résoudre dans R l'équation : (1 + x2 )y 00 + 2xy 0 = 0.
Exercice 8 :
On considère l'équation :
(?) (1 + e x )y 00 + y 0 − e x y = 0.
1. Soient f une fonction deux fois dérivable sur R, et g = f 0 + f .
Montrer que f est solution de (?) si et seulement si g vérie une équation diérentielle linéaire du premier ordre
que l'on précisera.
2. Déterminer l'ensemble des solutions de (?).
1
Exercice 9 :
Déterminer l'ensemble des fonctions f : [0, 1] −→ R dérivables, et vériant :
∀ x ∈ [0, 1],
f 0 (x) + f (x) +
Z
1
f (t) dt = 0.
0
Exercice 10 :
On cherche à résoudre l'équation diérentielle (E) : (1 − x2 )y 00 − xy 0 + 4y = Arccos(x) sur ] − 1, 1[.
1. Soit f une solution de (E).
(a) On considère la fonction g dénie sur ]0, π[ par g(t) = f (cos(t)).
Montrer que g est deux fois dérivable, et exprimer g 0 et g 00 à l'aide des dérivées successives de f .
(b) Montrer que g est solution d'une équation diérentielle (E 0 ) du second ordre à coecients constants que
l'on explicitera.
(c) En déduire l'expression de g(t), pour tout t ∈]0, π[.
(d) En déduire, pour tout x ∈] − 1, 1[, l'expression de f (x).
2. Déterminer l'ensemble des solutions de (E).
Exercice 11 :
Le but de cet exercice est de déterminer l'ensemble des fonctions f dérivables sur ]0, +∞[ et vériant :
∀ x > 0,
f 0 (x) = f
1
x
(?)
1. Soit f une fonction dérivable sur ]0, +∞[ et vériant (?).
(a) Montrer que f est deux fois dérivable sur ]0, +∞[, et exprimer f 00 à l'aide de f 0 , puis en fonction de f .
(b) Soit g la fonction dénie par g(t) = f (e t ).
i. Déterminer le domaine de dénition Dg de g .
ii. Montrer que g est deux fois dérivable sur Dg , et exprimer g 0 et g 00 en fonction des dérivées successives
de f .
iii. Montrer que g est solution d'une équation diérentielle linéaire du second ordre à coecients constants
que l'on explicitera.
(c) Expliciter, pour tout x > 0, f (x).
2. Montrer que l'ensemble des fonctions f dérivables sur ]0, +∞[ vériant (?) est :
("
]0, +∞[ −→
x
7−→
R √
√
√ √
3 cos 23 ln x + sin 23 ln x
µ x
#
)
;µ∈R .
Exercice 12 :
On cherche ici à déterminer toutes les fonctions f : R −→ R, dérivables, et vériant :
∀ x ∈ R,
f 0 (x) = f (−x).
1. Soit f une telle fonction.
(a) Montrer que f est solution d'une équation diérentielle linéaire du second ordre, que l'on précisera.
(b) Résoudre cette équation.
2. Déterminer l'ensemble des fonctions cherchées.
Exercice 13 :
Montrer (sans la résoudre) que l'équation diérentielle y 0 + 2xy = 1 admet une unique solution impaire.
2