Cours : La mécanique de Newton

La mécanique de Newton
I. Système et référentiel
1. Système mécanique.
Un système mécanique est un solide dont on étudie le mouvement et les forces qu'il subit.
2. Bilan des forces
On appelle force extérieure toute force exercée sur le système par un objet n'appartenant pas au système.
On appelle force intérieure une force exercée par une partie du système sur une autre partie du système.
Le bilan des forces consiste à étudier les forces extérieures appliquées au système.
3. Mouvement
a. Référentiel:
Un référentiel est un objet par rapport auquel le physicien étudie le mouvement.
Pour décrire le mouvement, il est nécessaire de choisir un référentiel (le mouvement dépend du référentiel
utilisé).
-Le référentiel géocentrique est un solide défini à partir des centres de la Terre et 3 étoiles.
-Le référentiel héliocentrique est un solide défini à partir des centres du soleil et 3 autres étoiles.
-Le référentiel terrestre est un solide défini par 4 points non coplanaires de la Terre.
b. Repère d'espace et de temps, vecteur position.
Pour repérer un instant, il est nécessaire de choisir une origine des temps ainsi qu'une unité de temps. Un
instant est alors repéré par sa date. (Une durée est l'intervalle de temps séparant deux dates).
La position du système est repérée par ses
coordonnées dans un repère lié au référentiel.
Vecteur position :
Ou encore :
)(
)(
)(
tz
ty
tx
OM
Norme du vecteur position : OM =
222 zyx 
L'ensemble des positions successives du mobile
au cours du temps constituent la trajectoire.
c. Vecteur vitesse
-Vitesse d'un point : On appelle vitesse moyenne Vm d'un solide ponctuel le quotient de la distance parcourue
par le solide par le temps mis pour la parcourir. ( Vm en m.s-1 ou km.h-1 )
Pour un mouvement rectiligne :
-Vitesse instantanée d'un solide ponctuel à la date t : vitesse moyenne du solide pendant une brève durée
autour de la date t. ( si ti+1-ti-1 est très petit)
-A un instant t, le mouvement d'un mobile est déterminé par :
-La position du mobile. = x
i.
+ y
j.
+ z
k.
-Le vecteur vitesse
v
du mobile caractérisé par sa direction tangente à la trajectoire , son
sens (celui du mouvement) et sa valeur , vitesse instantanée du mobile :
t
OM
vv m
pour t petit ou
dt
OMd
t
OM
vt
 )(lim0
)( 11
11
ii
ii
mi tt MM
VV
= x
i.
+ y
j.
+ z
k.

Le vecteur vitesse instantanée est égale à la dérivée du vecteur position par rapport au temps :
ou encore :
dt
dz
v
dt
dy
v
dt
dx
v
v
z
y
x
Donc :
d-Vecteur accélération :
Le vecteur accélération est égale à la variation de vitesse par rapport au temps :
t
v
a
Accélération moyenne.
dt
vd
t
v
at
 )(lim 0
Accélération instantanée.
Remarque : a se mesure en m.s-2 .
a
est dirigé à "l'intérieur" de la trajectoire.
D’où l’expression du vecteur accélération
a
:
Ou encore :
2
2
2
2
2
2
dt zd
dt
dv
a
dt yd
dt
dv
a
dt xd
dt
dv
a
a
z
z
y
y
x
x
e. Centre d'inertie du système.
Le centre d'inertie G d'un système est le point de ce système dont le mouvement est généralement le plus
simple.
II Lois de Newton
1. Première loi de Newton (ou principe d'inertie)
Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures qui agissent sur un système est nulle,
alors le centre d'inertie de ce système possède un mouvement rectiligne uniforme (le vecteur vitesse G
du centre d'inertie est alors constant).
Réciproquement, si le centre d'inertie d'un système possède un mouvement rectiligne uniforme, alors la somme
des forces extérieures qui s'exercent sur ce système est nulle.
2. Troisième loi de Newton (ou principe des actions réciproques)
Lorsqu'un corps A exerce sur un corps B une force A/B, alors le corps B exerce sur le
corps A une force B/A telle que:
3. Deuxième loi de Newton
a. Etude expérimentale
On étudie la variation de vitesse G du centre d'inertie du mobile de masse m en fonction des forces
extérieures appliquées au système ( ). (Voir TP)
Les résultats du TP montre que:
cteV 
0
ext
F
B
A
F
= -
A
B
F
k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
dt
vd
az
y
x... 
ext
F
t
v
mF G .
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
OMd
v... 

b. Vecteur accélération
On appelle vecteur accélération du centre d'inertie G d'un solide à la date t le vecteur :
Accélération moyenne :
t
v
aG
(ici :
tvv t
v
aG 13
2
2
)
D’où l’accélération instantanée :
Soit :
.
c. Enoncé de la deuxième loi de Newton:
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un système est égale au
produit de la masse du système par le vecteur accélération de son centre d'inertie.
Remarque: Soit t la projection du vecteur accélération sur la
tangente à la trajectoire:
Si t et G sont de même sens, le mouvement est accéléré.
Si t et G sont de sens opposé, le mouvement est décéléré.
Si t= , le mouvement est uniforme.
Si et G ont même direction, le mouvement est rectiligne.
Gext amF .
)(lim
0t
v
at
G
dt
vd
aG