11. Les oscillations

Chapitre 11 OSPH
11.
Les oscillations
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Les oscillations
Le terme périodique qualifie tout mouvement ou événement qui se répète à intervalles
réguliers. La vibration d’une corde de guitare, le déplacement d’un piston dans un moteur, les
vibrations des atomes dans un solide en sont des exemples.
11.1.
Oscillations harmoniques simples
On étudie les oscillations grâce au système bloc-ressort ; il s’agit d’un bloc de masse m fixé à
ressort de constante k et de masse négligeable.
Pour étudier la position d’un objet au cours du temps, on peut enregistrer le mouvement sur
une bande de papier qui se déplace à vitesse constante. Le bloc se déplace (sans frottement)
entre des valeurs extrêmes x=-A et x=+A. A est l’amplitude de l’oscillation. La position à
partir de l’équilibre est donnée par :
x (t )  A sin t
ω se mesure en radians par seconde. C’est la fréquence angulaire ou pulsation. Un cycle
correspond à 2 radians et il s’effectue en une période T. On a donc :
2  T
ou bien
2

 2f
T
f est la fréquence, mesurée en Hz ( 1 Hz  1s 1 )
Si le bloc n’est pas à x=0 en t=0, on écrit :
x (t )  A sin(t  )
L’argument  t   est la phase et  est la constante de
phase. Chacun de ces termes est mesuré en radians.
Dérivons l’équation précédente :
dx
vx 
 A cos(t  )
dt
dv
d 2x
ax  x  2   2 A sin(t  )
dt
dt
Les valeurs extrêmes de la vitesse sont v x   A pour x=0 et celles de l’accélération sont
ax   2 A pour x=A.
On peut substituer, dans la dernière équation, l’expression de x :
d 2x
 2 x  0
2
dt
Chapitre 11 OSPH
Les oscillations
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Cette forme est une équation différentielle caractéristique de tous les type d’oscillation
(mécanique ou non). L’équation horaire trouvée est une solution de cette équation
différentielle.
Le nom de mouvement harmonique simple s’applique aux exemples mécaniques de
l’oscillation harmonique simple (caractérisés par les trois points suivants : il existe une
position d’équilibre simple, il n’y a pas de perte d’énergie donc pas de frottement,
ax   2 x ).
11.2.
Le système bloc-ressort
La force exercée par un ressort répond à la loi de Hooke : Fres   kx où x est l’écart par
rapport à la position d’équilibre. En utilisant la deuxième loi de Newton, on peut écrire :
k
ax   x
m
Comme l’accélération est la seconde dérivée de la position, on peut écrire :
d 2x k
 x0
dt 2 m
Par comparaison on constate que le bloc-ressort effectue un mouvement harmonique simple
de pulsation
k

m
x
2
m
 2

k
La période est donc indépendante de l’amplitude !
La période du système est T 
11.3.
L’énergie dans le mouvement harmonique simple
L’énergie potentielle du ressort est donnée par
E p  12 kx 2  12 kA 2 sin 2 (t  )
L’énergie cinétique est donnée par
Ec  12 mv 2  12 m 2 A 2 cos 2 (t  )
La somme des expressions est l’énergie mécanique
Em  12 kA2
k
On utilise sin 2   cos 2   1 et  2 
m
L’énergie mécanique est constante. Elle dépend de l’écart maximal et de la constante de
rigidité du ressort.
En observant le graphique de l’énergie en fonction de la
position du bloc, on parle d’un puit de potentiel crée par le
ressort. Celui-ci est parabolique car l’énergie est
proportionnelle au carré de la position. On utilise souvent ce
modèle, même si le puit de potentielle n’est pas tout à fait
parabolique. Par exemple en étudiant les potentiels inter
atomiques dans les molécules ou les cristaux.
11.4.
Le pendule
Le pendule simple est une masse ponctuelle suspendue à l’extrémité d’un fil de masse
négligeable. La figure représente un pendule de masse m et de longueur L. La distance
parcourue sur l’arc à partir du point le plus bas est x  L . La composante tangentielle de la
deuxième loi de Newton :
Chapitre 11 OSPH
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d 2s
dt 2
Le signe négatif signifie que le poids est une force de rappel.
Cette équation ne correspond pas à un mouvement
harmonique simple. Cependant, dans l’approximation des
petits angles, sin    (en radians) et s  L on a :
d 2 g
 0
dt 2 L
Ce qui cette fois correspond à l’équation différentielle d’un
mouvement harmonique simple avec :
g

L
La période répond à l’expression que nous avons déjà vue
L
aux travaux pratiques : T  2
g
La période ne dépend ni de la masse ni de l’amplitude. Cette dernière doit néanmoins
respecter la condition des petits angles.
 mg sin   m
11.5.
La résonance
Nous avons vu qu'un système oscillant selon un mouvement harmonique simple se caractérise
par une pulsation ω indépendante de l'amplitude de l'oscillation. Cette valeur de ω est la
pulsation propre du système, que l'on dénotera dans ce qui suit par  0 .
Qu'arrive-t-il lorsqu'un système oscillant est excité par une force externe qui varie de manière
périodique ? Considérons par exemple une personne assise sur une balançoire qui, sans
toucher le sol, donne des poussées périodiques sur les cordes qui la soutiennent. Le résultat de
ses efforts dépendra de la différence entre la pulsation propre de la balançoire et la pulsation
de la force externe qu'elle exerce,  e . Si  e est très différent de  0 , il ne se passera pas
grand- chose: une personne qui secoue les cordes beaucoup plus rapidement ou beaucoup plus
lentement que le rythme naturel d'oscillation de la balançoire ne réussira pas à se balancer
avec une amplitude appréciable. En revanche, si  e est très proche de  0 , la force externe est
«synchronisée» avec la pulsation propre du système et l'amplitude devient très grande.
Lorsqu'on se balance, on ajuste instinctivement la pulsation de la force que l'on exerce avec la
pulsation propre de la balançoire.
On dit d'un système oscillant excité par une
force externe dont la pulsation est voisine de
sa pulsation propre qu'il est en résonance.
Même des structures de grandes dimensions,
comme les tours, les ponts et les avions,
peuvent osciller. Si la pulsation du
mécanisme d'entraînement est proche de la
pulsation propre, l'édifice peut même tomber
en morceaux. L'écroulement du pont de
Tacoma dans l'État de Washington est un
cas mémorable de résonance.
La résonance dans les circuits électriques est
un phénomène vital pour l'émission et la
réception des signaux de radio et de
télévision. La résonance joue également un rôle dans les processus atomiques et nucléaires.
Chapitre 11 OSPH
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11.6.
Oscillations amorties
Nous allons maintenant imaginer une situation sans négliger les pertes d’énergie. Nous allons
considérer des pertes dues à la résistance d’un fluide externe. Si les oscillations ne sont pas


trop rapides, la résistance est proportionnelle à la vitesse : f   v . γ est la constante
d’amortissement. En négligeant la poussée d’Archimède du fluide, la deuxième loi de Newton
s’écrit :
dx
d 2x
 Fx   kx   dt  m dt 2
x est l’écart par rapport à la position d’équilibre, ainsi le poids du bloc n’apparaît pas dans la
somme des forces. On peut ainsi écrire :
d 2x
dx
m 2 
 kx  0
dt
dt
Cette forme d’équation différentielle se retrouve dans diverses oscillations amorties
mécanique ou non. On vérifie qu’une solution de cette équation est :
 t
x  A0e 2m sin(  t  )
La pulsation amortie  est donnée par
2
  
    
 2m 
La pulsation amortie est donc inférieur à la pulsation propre
0 .
On peut dire également que l’amplitude diminue selon :
2
0
A(t )  A0e
 t
2m
Si   2m 0 , on a    0 et il n'y a pas d'oscillation. Cette condition d'amortissement
critique correspond au temps le plus court pour le système revienne à l'équilibre.
L'amortissement critique est utilisé dans les mouvements des appareils de mesure électriques
pour amortir les oscillations de l'aiguille. Le système de suspension d'une automobile est réglé
de manière à avoir un amortissement un peu moins que critique. Lorsqu'on appuie sur un
pare-chocs et qu'on le lâche, l'automobile effectue peut-être une oscillation et demie avant de
s'immobiliser.
11.7.
Exercices
1. Lorsque deux adultes de masse totale de 150 kg entrent dans une voiture de 1450 kg, celleci s’abaisse de 1 cm.
a) Quelle est la constante de rappel d’un des 4 ressorts de la suspension ? b) Quelle est la
période d’oscillation lorsque l’auto est chargée et qu’elle passe sur des bosses ?
2. Un bloc de masse m=30 g oscille avec une amplitude de 12 cm à l’extrémité d’un ressort
horizontal dont la constante de rappel est égale à 1,4 N/m. Quelles sont la vitesse et
l’accélération lorsque la position à partir du point d’équilibre est égale à
a) -4 cm b) 8 cm.
3. La position d'un bloc de 50 g attaché à un ressort horizontal (k= 32 N/m) est donnée par
x  A cos t , avec A=20 cm. Trouvez:
(a) l'énergie cinétique et l'énergie potentielle à t = 0,27 T, T étant la période; (b) l'énergie
cinétique et l'énergie potentielle à x=A/2 : (c) les instants auxquels l'énergie cinétique et
l'énergie potentielle sont égales.
Chapitre 11 OSPH
Les oscillations
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4. Un atome de masse 10-26 kg effectue une oscillation harmonique simple autour de sa
position d'équilibre dans un cristal. La fréquence est égale à 1012 Hz et l'amplitude à
0,05 nm. Trouvez :
(a) le module de la vitesse maximale: (b) son énergie mécanique: (c) le module de son
accélération maximale: (d) la constante de rappel correspondante.
5. Un chariot de masse m est attaché à un ressort horizontal et oscille avec une amplitude A.
Au moment précis où x = A, on place un bloc de masse m/2 sur le chariot. Quel effet cela
a-t-il sur les grandeurs suivantes:
(a) l'amplitude; (b) l'énergie mécanique; (c) la période; (d) la constante de phase ?
6. Un bloc de 50 g est attaché à un ressort vertical dont la constante de rappel est égale à
4 N/m. Le bloc est lâché à la position où l'allongement du ressort est nul.
(a) Quel est l'allongement maximal du ressort ? (b) Quel temps faut-il au bloc pour
atteindre son point le plus bas ?
7. Un pendule simple est constitué d'une masse de 40 g et d'un fil d'une longueur de 80 cm.
À t= 0, la position angulaire est   0,15 rad et la vitesse tangentielle est de 60 cm/s,
s'éloignant du centre. Trouvez:
(a) l'amplitude angulaire et la constante de phase; (b) l' énergie mécanique; (c) la hauteur
maximale au-dessus de la position d'équilibre.
8. a) Quelle est la longueur du fil d’un pendule simple dont la période est égale à 2 s ?
b) Si l’on emportait le pendule sur la Lune, quelle serait sa période ?
9. Une pièce de monnaie est posée sur le dessus d’un piston qui effectue un mouvement
harmonique simple vertical d’amplitude 10 cm. A quelle fréquence minimale la pièce
cesse-t-elle d’être en contact avec le piston ?
10. Un bloc de masse m = 1 kg est posé sur un autre
bloc de masse M = 5 kg qui est attaché à un
ressort horizontal (k = 20 N/m), tel que
représenté à la figure. Le coefficient de
frottement statique entre les blocs est μ, et le bloc inférieur glisse sur une surface
horizontale sans frottement. L'amplitude des oscillations est A = 0,4 m. Quelle est la
valeur minimale de μ pour que le bloc supérieur ne glisse pas par rapport au bloc
inférieur ?
11. Un bloc de masse volumique B a une section transversale horizontale d'aire A et une
hauteur verticale h. Il flotte sur un fluide de masse volumique  f . On pousse le bloc vers
le bas et on le lâche. Montrez qu'il effectue un mouvement harmonique simple de
fréquence angulaire  
f g
 Bh
12. La figure représente un bloc de masse M sur
une surface sans frottement, attaché à un
ressort horizontal de masse m.
(a) Montrez que, lorsque la vitesse du bloc a
pour module v, l'énergie cinétique du ressort
est égale à 16 mv 2 (b) Quelle est la période des oscillations ? (Indice: Considérez d'abord
l'énergie cinétique d'un élément de longueur dx du ressort. Supposez que la vitesse de cet
élément est proportionnelle à la distance à partir de l'extrémité fixe. Toutes les parties du
ressort sont en phase. Pour la question (b), utilisez le fait que l'énergie mécanique est
constante)