Exercice : oscillateurs mecaniques a

Exercice : Oscillateurs mécaniques
6.
Un dispositif informatisé non représenté ici enregistre l’abscisse x en fonction du temps au
cours du mouvement. On obtient la courbe suivante :
A – Etude statique
Le ressort à étudier est accroché à une potence. A l’extrémité libre
appelée E, on suspend successivement des masses de différentes
valeurs (cf. figure 1)
Le zéro de la règle correspond à la position de E à vide.
Pour chaque masse m on mesure l’allongement Δl du ressort. On
obtient le tableau ci-dessous :
m (g)
Δl (cm)
0
0
200
5
400
10
500
12,5
700
17,5
1000
24,9
7.
1. Tracer le graphe de l’allongement Δl du ressort en fonction de la
masse m. En déduire la relation numérique entre Δl et m.
2. Sur la figure 1, représenter les forces s’exerçant sur la masse m.
Exprimer leur somme à l’équilibre.
3. En déduire l’expression littérale de la constante de raideur du ressort k. Après avoir rappelé l’unité
de cette constante dans le système international, vérifier l’homogénéité de cette relation par analyse
dimensionnelle et calculer la valeur de k. ( g = 9,81 m.s–2 )
B – Etude dynamique
Dans cette partie, le ressort précédent est utilisé pour réaliser un oscillateur élastique horizontal.
Tous les frottements sont négligés.
r
On utilise un axe (Ox) horizontal, orienté par le vecteur unitaire i et on repère la position du centre
d’inertie du solide, G, de masse M, de valeur inconnue, par son abscisse x sur cet axe (cf. figure 2).
A l’équilibre (ressort ni allongé ni
comprimé), le point G coïncide avec le
point O (x = 0).
A un instant choisi comme origine des
temps, la masse est écartée de sa position
d’équilibre et lâchée sans vitesse initiale.
Le système se met alors à osciller.
1.
2.
C – Etude des oscillations forcées
On relie maintenant l’extrémité d'un ressort à un
excentrique mu par un moteur (figure 3) et on réalise
plusieurs enregistrements pour différentes valeurs de
vitesse de rotation du moteur. Cette vitesse est mesurée en
tours par seconde, ce qui correspond à une fréquence
exprimée en Hz.
Un dispositif informatisé situé sous la masse m permet
d’enregistrer les oscillations du système.
Le ressort utilisé a pour constante de raideur k = 40 N.m–1,
la masse vaut m = 100 g.
On relève l’amplitude des oscillations pour chaque
expérience :
f (Hz)
1,5
Xmax (cm) 0,4
Compléter la figure 2 en représentant
les forces appliquées à la masse M.
En appliquant la 2ème loi de Newton, ou théorème du centre d’inertie, montrer que l’équation
différentielle du mouvement peut se mettre sous la forme : &x& + B ⋅ x = 0 où B est une
constante que l’on exprimera en fonction de M et de k.
⎛ 2π
⎞
3.
Cette équation différentielle admet des solutions du type x(t ) = X m cos ⎜
t +ϕ ⎟
T0
⎝
⎠
Préciser la signification et l’unité des paramètres Xmax , T0 et ϕ.
4.
Vérifier que l’expression x(t) est solution de l’équation différentielle et en déduire l’expression
de T0 en fonction de M et de k.
Sachant que le Newton a la dimension kg⋅m⋅s–2 , vérifier l’homogénéité de cette relation.
5.
Mesurer T0 et en déduire la valeur de M.
Représenter sur le graphe, l’allure de la courbe que l’on obtiendrait si les frottements
n’étaient plus négligeables.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2,0
0,6
2,5
1,0
2,8
1,5
3,1
2,1
Figure 3
3,2
2,3
3,3
2,0
3,6
1,5
4,0
1,0
4,5
0,7
Quel nom donne-t-on au moteur muni de l’excentrique ?
Quel nom donne-t-on au système {Ressort + Masse} ?
Comment nomme-t-on le phénomène qui a lieu à f = 3,2 Hz ?
Quelle est la période Tr des oscillations à cette fréquence ?
Comparer cette période à celle des oscillations libres.
Quel(s) changement(s) obtiendrait-on si la solution était plus visqueuse ?
D – Suspension d’une automobile
Le système de suspension d’une automobile comprend des ressorts et des amortisseurs.
L’automobile est donc un système mécanique oscillant de fréquence propre f0 . Certaines pistes du
désert ont un aspect de « tôle ondulée » : elles comportent une succession régulière de bosses,
distantes de L (quelques dizaines de centimètres). Pour une vitesse VR , le véhicule subit des
oscillations de forte amplitude qui diminuent dangereusement sa tenue de route.
1. Expliquer ce phénomène en précisant le rôle joué par la piste déformée.
2. Exprimer la vitesse VR en fonction de f0 et L.
3. Calculer cette vitesse en km.h–1 avec f0 = 5,0 Hz et L = 80 cm.
Exercice : Oscillateurs mécaniques
Correction
A – Etude statique
1.
3. Pour que les forces P et T se compensent, leurs intensités doivent être
égales.
Donc P = T
mg = kx = k × Δl
mg
Soit k =
. k s’exprime en N.m-1.
Δl
Analyse dimensionnelle : force de rappel : T = kx
Donc [F] = [k]×[L]
D’où
[k ] = [F ] .
[L]
m
1
A.N. D’après la question 1. le rapport Δl = 0,25 = 4 .
mg
= 4 g = 39 N.m-1.
Donc k =
Δl
RN
B – Etude dynamique
T
1.
Le graphe a pour équation : Δl = 0,25 × m (Δl en m et m en kg)
2.
P
T
Le système est soumis à :
- son poids (P)
- la tension du ressort (T)
P
2. On étudie le système constitué du mobile de masse M dans le
référentiel terrestre considéré comme galiléen.
La 2ème loi de Newton s’écrit : Σ F = m a
Soit P + RN + T = m a
Par projection sur l’axe (Ox) horizontal on obtient : - k x = M a.
Or a = dv et v = dx = x& . Donc a = &x& .
dt
dt
D’où : M &x& + k x = 0 ou encore, en divisant par M :
Par identification, B = k .
A l’équilibre, le principe d’inertie permet d’écrire P + T = 0
M
&x& + k x = 0
M
- Xm est l’amplitude du mouvement (en m)
- T0 est sa période propre (en s)
- ϕ est la phase à l’origine des dates (rad)
3.
4.
7.
⎛ 2π
⎞
x(t ) = X m cos ⎜ t + ϕ ⎟
⎝ T0
⎠
( )
(
x& = − 2π X m sin 2π t + ϕ
T0
T0
( )
)
) ( )
(
2
2
&x& = − 2π X m cos 2π t + ϕ = − 2π × x(t)
T0
T0
T0
On reporte l’expression de &x& dans l’équation différentielle :
2
− 2π × x + k x = 0
M
T0
( )
Si x ≠ 0,
( )
k − 2π
M
T
On en déduit :
0
2
=0
T0 = 2π M
k
5. L’unité de k est N.m-1 or le Newton équivaut à kg.m.s-2
donc k est en kg.s-2.
Le rapport M est donc en kg / (kg.s-2) soit s2.
k
D’où M est en s, ce qui est compatible avec une période.
k
6. On lit graphiquement T0 = 0,31 s.
T²
0,31²
D’après l’expression de T0, M = k 4π ² = 39 × 4π ² = 0,095 kg = 95 g.
C – Etude des oscillations forcées
1. Le moteur joue le rôle d’excitateur
2. La masse et le ressort jouent le rôle de résonateur.
3. Pour f = 3,2 Hz, il y a résonance ; l’amplitude passe par un maximum.
4. La période des oscillations vaut alors Tr = 1/fr = 1/3,2 = 0,31 s.
5. Il y a résonance lorsque la période des oscillations forcées est égale à
la période propre du résonateur (ici on avait bien T0 = 0,31 s)
6. Si la solution était plus visqueuse on aurait toujours une résonance
pour T = 0,31 s mais l’amplitude de cette résonance serait plus faible.
D – Suspension d’une automobile
1. La piste déformée joue le rôle d’excitateur pour la suspension de
l’automobile qui est alors le résonateur.
2. Si l’automobile parcourt la distance L séparant 2 bosses en une durée
T à la vitesse V, alors V = L .
T
Or f = 1 donc VR = L fR
T
3. A.N. VR = 0,8 × 5 = 4,0 m.s-1 = 14 km.h-1