COURS MECANIQUE CLASSIQUE

MÉCANIQUE DE PREMIÈRE ANNÉE MPSI
AMAMI MOHAMED
PROFESSEUR AGRÉGÉ DE PHYSIQUE
IPEST
20 août 2010

Table des matières5
1 Repérage d’un point - Vitesse et accélération 1
1.1 Espace et temps - Référentiel d’observation .................... 2
1.1.1 solide ....................................... 2
1.1.2 repère(spatial) ................................. 2
1.1.3 repérage dans le temps ............................ 210
1.1.4 référentiels ................................... 3
1.1.5 point matériel ................................. 3
1.2 Coordonnées cartésiennes .............................. 3
1.2.1 Vecteur position ................................ 3
1.2.2 Vecteur vitesse ................................. 515
1.2.3 vecteur accélération .............................. 6
1.3 Coordonnées curvilignes - Base de Frénet ..................... 6
1.3.1 Abscisse curviligne .............................. 6
1.3.2 Vecteur vitesse ................................. 7
1.3.3 vecteur accélération .............................. 720
1.4 Coordonnées polaires et cylindriques ........................ 8
1.4.1 Repérage d’un point - Vecteur position ................... 8
1.4.2 Relations entre paramétrage cylindrique ou polaire et paramétrage
cartésien ..................................... 9
1.4.3 Vecteur vitesse ................................. 1025
1.4.4 vecteur accélération .............................. 10
1.5 Coordonnées sphériques ............................... 10
1.5.1 Repérage d’un point - Vecteur position ................... 10
1.5.2 Relation entre paramétrage sphérique et paramétrage cartésien . . . 11
1.5.3 Vecteur vitesse ................................. 1130
1.5.4 vecteur accélération(à titre indicatif) .................... 11
1.5.5 Coordonnées géographiques ......................... 12
1.6 mouvement à accélération centrale ......................... 12
1.6.1 définition .................................... 12
1.6.2 propriétés (à retenir) ............................. 1235
1.6.3 formules de Binet ............................... 14
1.7 Exemples de mouvement ............................... 14
1.7.1 Vecteur accélération constant ........................ 14
1.7.2 Mouvement rectiligne sinusoïdal ...................... 14
1.7.3 Mouvement circulaire ............................. 1540
1.7.4 exercices ..................................... 15
ii

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2 Changements de référentiels 17
2.1 Référentiel ........................................ 17
2.1.1 Définitions ................................... 17
2.1.2 Exemple ..................................... 1845
2.2 Vecteur rotation .................................... 18
2.2.1 Dérivée d’un vecteur par rapport au temps ................ 18
2.2.2 Cas particuliers ................................ 20
2.2.2.1 Translation pure .......................... 20
2.2.2.2 Rotation uniforme autour d’un axe fixe ............. 2050
2.2.3 Composition des vecteurs rotation ..................... 21
2.3 Composition des vitesses ............................... 21
2.3.1 Vitesse absolue ................................. 21
2.3.2 Vitesse relative ................................. 21
2.3.3 Vitesse d’entraînement ............................ 2155
2.4 Composition des accélérations ............................ 22
2.4.1 Accélération absolue .............................. 22
2.4.2 Accélération relative ............................. 22
2.4.3 Accélération d’entrainement et de Coriolis ................ 22
2.4.4 Cas particuliers ................................ 2460
2.4.4.1 Translation pure .......................... 24
2.4.4.2 Rotation uniforme autour d’un axe fixe ............. 24
2.4.5 Exercices .................................... 25
3 Dynamique du point en référentiel galiléen 27
3.1 dynamique dans un référentiel galiléen ...................... 2865
3.1.1 masse ...................................... 28
3.1.2 Quantité de mouvement ........................... 28
3.1.3 interactions,forces ............................... 29
3.1.4 système isolé et pseudo-isolé ......................... 29
3.1.5 référentiels galiléens ............................. 2970
3.2 Loi de Newton ...................................... 30
3.2.1 Énoncé ...................................... 30
3.2.2 Conservation de la quantité de mouvement ................ 31
3.3 Puissance, travail et énergie cinétique ....................... 31
3.3.1 Travail ...................................... 3175
3.3.2 Puissance .................................... 32
3.4 Théorème de la puissance cinétique ......................... 32
3.4.1 Energie cinétique ............................... 32
3.4.2 Théorème de la puissance .......................... 32
3.4.3 Théorème de l’énergie cinétique ....................... 3380
3.4.4 L’énergie cinétique se conserve-t’elle ? ................... 33
3.4.5 Exemple d’utilisation ............................. 33
3.5 Forces .......................................... 35
3.5.1 Force de pesanteur - Chute libre ...................... 35
3.5.2 Force de frottement dans un fluide ..................... 3685
3.5.2.1 Chute libre avec frottement en v.............. 36
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3.5.2.2 Chute libre avec frottement en v2.............. 38
3.5.3 Force de rappel élastique ........................... 38
3.5.4 Force de liaison ................................. 39
3.6 Théorème du moment cinétique ........................... 3990
3.6.1 moment cinétique ............................... 40
3.6.2 moment d’une force .............................. 40
3.6.3 Théorème du moment cinétique en un point fixe ............. 40
3.6.4 Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe ....... 41
3.6.4.1 Moment d’une force par rapport à un axe ............ 4195
3.6.4.2 Moment cinétique par rapport à un axe ............. 41
3.6.4.3 Théorème du moment cinétique par rapport à un axe . . . . 42
3.6.4.4 conservation du moment cinétique ................ 42
3.6.4.5 exemple ................................ 42
4
Énergie potentielle - Énergie mécanique -Problèmes à un degré de
liberté 47100
4.1 Travail d’une force - Exemples ............................ 48
4.1.1 Force de pesanteur .............................. 48
4.1.2 Force de rappel élastique ........................... 48
4.1.3 Force de frottement .............................. 48
4.1.4 Exercice ..................................... 48105
4.2 Énergie potentielle ou force dérivant d’une énergie potentielle ........ 49
4.2.1 Force conservative... .............................. 49
4.3 Énergie mécanique ................................... 50
4.3.1 Définition .................................... 50
4.3.2 Conservation .................................. 50110
4.4 Problème à un degré de liberté ............................ 51
4.4.1 Positions d’équilibre .............................. 51
4.4.1.1 Équilibre stable - Exemple du ressort .............. 51
4.4.1.2 Équilibre instable - Exemple du pendule ............ 51
4.4.1.3 Généralisation ............................ 53115
4.4.2 Petits mouvements au voisinage d’une position d’équilibre stable . . 54
4.4.2.1 Exemple du pendule ........................ 54
4.4.2.2 Généralisation ............................ 54
4.4.3 Portrait de phase ................................ 55
4.4.3.1 Déterminisme mécanique - État d’un système ......... 55120
4.4.3.2 Lecture et interprétation ..................... 56
5 Dynamique dans un référentiel non galiléen 59
5.1 Principe de relativité galiléenne ........................... 59
5.1.1 Référentiels galiléens ............................. 59
5.1.2 Relativité galiléenne ............................. 60125
5.2 Lois de la dynamique en référentiel non galiléen ................. 60
5.2.1 RFD ....................................... 61
5.2.1.1 Forces d’inertie ........................... 61
5.2.1.2 condition d’équilibre ........................ 61
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5.2.1.3 Translation pure .......................... 61130
5.2.1.4 rotation uniforme autour d’un axe fixe ............. 62
5.2.2 Théorème du moment cinétique ....................... 62
5.2.3 Théorème de la puissance cinétique .................... 63
5.2.4 théorème de l’énergie cinétique et de l’énergie mécanique ....... 63
6 Système formé de deux points matériels 73135
6.1 Éléments cinétiques .................................. 74
6.1.1 masse,centre de masse, référentiel barycentrique ............ 74
6.1.1.1 masse ................................. 74
6.1.1.2 Centre de masse ........................... 74
6.1.2 Référentiel barycentrique .......................... 74140
6.1.3 quelques relations importantes ....................... 74
6.1.4 Éléments cinétiques dans R......................... 75
6.1.4.1 quantité de mouvement ...................... 75
6.1.4.2 moment cinétique .......................... 75
6.1.4.3 énergie cinétique .......................... 75145
6.1.5 Éléments cinétiques dans R∗........................ 76
6.1.5.1 Quantité de mouvement totale .................. 76
6.1.5.2 Moment cinétique total en G................... 76
6.1.5.3 Énergie cinétique totale ...................... 76
6.2 Dynamique du système ................................ 77150
6.2.1 Forces intérieures et forces extérieures .................. 77
6.2.2 Théorème de la quantité de mouvement (ou du centre de masse ou
de la résultante cinétique) .......................... 77
6.2.3 Théorème du moment cinétique ....................... 78
6.2.4 Étude énergétique ............................... 79155
6.2.4.1 puissance des forces intérieurs .................. 79
6.2.4.2 Théorème de l’énergie cinétique ................. 80
6.2.4.3 Énergie mécanique ......................... 80
6.3 Système isolé de deux points matériels(problème à deux corps) ........ 80
6.3.1 Lois de conservation .............................. 81160
6.3.1.1 Conservation de la quantité de mouvement .......... 81
6.3.1.2 Conservation du moment cinétique ............... 82
6.3.1.3 Conservation de l’énergie mécanique .............. 82
6.3.2 Réduction du problème à deux corps à un problème à un corps . . . . 83
6.3.2.1 Mobile fictif - Masse réduite .................... 83165
6.3.2.2 Éléments cinétiques ........................ 83
6.3.2.3 remarques .............................. 84
7 Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives 90
7.1 Forces centrales conservatives ............................ 90
7.1.1 Exemple de la force de gravitation ..................... 90170
7.1.2 Exemple de la force électrostatique ..................... 91
7.1.3 Généralisation ................................. 91
7.2 Lois générales de conservation ............................ 92
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