Exercice 1 - FormationsNatures.fr
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3 La probabilité mathématique et les distributions théoriques Exercice 1 La roulette Jouons à la roulette. À l’aide d’un jeton on indique son pari et sa mise. On peut parier sur l’un des numéros de 0 à 36. Le croupier lance la boule, fait tourner la roulette. La boule s’arrête sur un numéro allant de 0 à 36. 1. Combien y-a-t-il d’issues à cette expérience aléatoire ? 2. L’ensemble Ω des issues de cette expérience aléatoire est l’ensemble des entiers compris entre 0 et 36. Combien y-at-il d’événements liés à cette expérience ? 3. À la roulette 0 est considéré comme n’étant ni pair, ni impair, ni rouge, ni noir. Soit A l’événement « le numéro sorti est pair » et B l’événement « le numéro sorti est rouge ». Soit A l’événement « le conducteur a dépassé le degré d’alcoolémie limite ». Soit B l’événement « le test est positif ». 1. Calculer P(A), PA (B), PA (B). 2. Quelle est la probabilité α de retirer des points au conducteur à tort ? 3. Quelle est la probabilité de se voir retirer des points que l’on soit en tort ou pas ? 4. Quelle est la probabilité β qu’un ivrogne au volant, ayant subi le test, ne soit pas pénalisé ? 5. Ce test risque-t-il d’engendrer des injustices ? Calculer PB (A). (a) Ces événements sont-ils incompatibles ? (b) Combien y-a-t-il d’issues à l’événement A et B ? 4. On a obtenu « manque » si le numéro qui sort est compris entre 1 et 18 et « passe » si le numéro qui sort est compris entre 19 et 36. (a) Les événements C : « obtenir manque » et D : « obtenir passe » sont-ils incompatibles ? (b) Combien y-a-t-il d’issues à l’événement A et C ? (c) Combien y-a-t-il d’issues à l’événement B ou D ? Citer les tous. 5. Combien y-a-t-il d’issues à l’événement B, contraire de B ? 6. Soit E l’événement « le numéro sorti est noir ». Combien ya-t-il d’issues à l’événement D ∪ E ? 7. Quel est l’événement contraire de C ∪ D ? 8. Soit F l’événement : « le numéro sorti est impair ». Combien y-a-t-il d’issues à l’événement B ∪ F (contraire de B ou F) ? Citer les tous. Exercice 2 L’alcool-test Dans un certain pays, on estime que 1% des conducteurs conduisent en état d’ébriété. Le gouvernement décide d’instituer un permis à points. Lors de contrôles, les conducteurs sont soumis à des alcooltests. Si l’alcool-test est positif, on leur retire trois points. Mais cet alcool-test n’est pas parfait. La probabilité que l’alcool-test soit positif lorsque la personne a dépassé le seuil d’alcoolémie autorisé est 0,99. La probabilité que l’alcool-test soit positif bien que la personne n’ait pas dépassé le seuil d’alcoolémie autorisé est de 0.05. Exercice 3 Les tricheurs Dans une communauté de joueurs, on estime qu’il y a 20 % de tricheurs. On joue au jeu qui consiste à tirer une carte d’un jeu de 52 cartes. Les tricheurs parviennent toujours à tirer un as. Soit A l’événement « La carte tirée est un as ». Soit T l’événement « Le joueur est un tricheur ». 1. Construire l’arbre pondéré de cette expérience. 2. Une personne prise dans la communauté tire une carte ; quelle est la probabilité pour que ce soit un as ? 3. On a tiré un as du paquet. Quelle est la probabilité pour que la carte ait été tirée par un tricheur ? Exercice 4 Les familles à deux enfants On considère les familles à 2 enfants. On suppose que la probabilité qu’un enfant soit un garçon est égale à 12 à chaque naissance. On suppose que le sexe d’un enfant ne dépend pas du sexe de l’enfant né précédemment dans la même famille. 1. Quelle est la probabilité pour qu’une telle famille ait au moins une fille ? 2. Quelle est la probabilité pour qu’une telle famille ait deux filles ? 3. Quelle est la probabilité pour qu’une telle famille ait deux garçons sachant qu’elle en a au moins un ? 4. Quelle est la probabilité que le second enfant soit un garçon sachant que le premier est un garçon ? Exercices 10 BTS ACSE/GPN/TV Exercice 5 3. Pour un entier quelconque, k > 1, calculer P(X = k). Interprétation graphique d’une fonction de répartition 4. La table ci-dessous donne les valeurs de la fonction de répartition de X. k 1 2 3 4 5 Compléter le tableau : 6 7 8 9 10 11 12 1 0,7 b 0,6 0,45 b 0,3 0,1 -2 -1 0,2 1 2 3 3,5 4 La variable aléatoire X a pour fonction de répartition F représentée ci-dessus. 1. En exploitant les informations fournies par le graphique, donner les valeurs des probabilités suivantes : P(X ¶ −1) P(X = 0, 2) P(X = 0, 3) P(X ¾ 0, 2) P(X > 2) P(X ∈ [1; 1, 5]) P(X ∈ [1; 2]) 2. La variable aléatoire est-elle à densité ? 3. Calculer la somme des sauts de F. La variable aléatoire X est-elle discrète ? P(X = k) 0,2 0,16 0,128 0,1024 0,08192 0,06554 0,05243 0,04194 0,03355 0,02684 0,02147 0,01718 F(k) 0,2 0,36 0,488 0,93128 5. Quelle est la probabilité que le joueur gagne son pari ? (c’est-à-dire qu’il obtienne « face » en moins de 10 lancers, mais en plus de 5). On utilisera la fonction de répartition. Exercice 8 Diamètre d’une pièce mécanique La courbe ci-dessous représente la fonction de densité de D : « diamètre d’une pièce fabriquée par une machine (en mm) ». 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 1. D est une variable aléatoire discrète ou continue ? Exercice 6 Pucerons de rosiers On étudie le nombre de pucerons sur des feuilles de rosiers. Sur 100 feuilles examinées : – 70 avaient au moins 1 puceron, – 65 en avaient au moins 2, – 55 en avaient au moins 3. Soit X le nombre de pucerons sur une feuille de rosier prise au hasard parmi les 100. 2. Quel est l’événement le plus probable : le diamètre d’une pièce est inférieur à 3mm ou le diamètre d’une pièce est supérieur à 3mm ? 3. À l’aide d’une table on connaît les valeurs de la fonction de répartition de D : Par exemple : F(4) = 0, 5 et F(4, 8) = 0, 8413. Quelle est la probabilité d’avoir une pièce de diamètre : (a) supérieur à 4,8 mm ? 1. X est-elle une variable aléatoire numérique ? (b) compris entre 4 et 4,8 mm ? 2. X est une variable aléatoire discrète ou continue ? (c) compris entre 5,2 et 4,8 mm ? 3. Compléter, (en utilisant « =, >, < » et une valeur entière) : 0, 7 = P(...), 0, 65 = P(...) et 0, 55 = P(...). 4. Pour chacun des cas précédents, représenter graphiquement cette probabilité. 4. Écrire les probabilités précédentes à l’aide de la fonction de répartition F de X. 0.2 5. Quelle est la probabilité pour qu’une feuille prise au hasard parmi les 100 ait 1 ou 2 pucerons ? 0.1 0 (a) 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Exercice 7 Pile ou face Une pièce de monnaie n’est pas bien équilibrée. À chaque lancer de la pièce, la probabilité d’avoir "pile" est de 0,8. Un joueur parie qu’il obtiendra « face » en moins de 10 lancers, mais en plus de 5. Soit X le nombre de lancers nécessaires pour obtenir « face » pour la première fois. 0.2 0.1 0 (b) 0.2 0.1 1. Quel est l’ensemble des valeurs que peut prendre X ? 2. Calculer P(X = 5). 0 (c) BTS ACSE/GPN/TV 11 Exercices Exercice 9 Exercice 10 Interprétation du graphique d’une densité La variable aléatoire X a pour densité la fonction f représentée ci-dessous. Le démarcheur Un démarcheur vend à domicile des collections complètes de livres. Sa longue expérience lui permet de connaître la probabilité du nombre des exemplaires vendues par jour d’activité. nb. vendues 0 1 2 3 4 plus de 4 probabilités 0,2 0,3 0,2 0,15 0,1 0,5 1. Compléter ce tableau. 1 3 -3 -2 2. Le démarcheur gagne 75 € par collection vendue, et chaque jour il a 120 € de frais. Compléter le tableau. Perte ou gain −120 −45 30 Probabilité Perte ou gain 105 180 plus de 180 Probabilité -1 0 1 2 3 1. En exploitant les informations fournies par ce graphique, donner les valeurs des probabilités suivantes et les représenter : 0,5 3. Quelle est la probabilité pour que le démarcheur perde de l’argent ? 4. Quelle est la probabilité pour qu’il gagne au moins 105 € ? 5. Quelle est son espérance de gain ainsi que l’écart type correspondant ? 1 3 Exercice 11 P(X ¶ −2) -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 Location de planches à voile Un loueur de planches à voile veut s’installer sur une petite plage. Des études préalables lui permettent de penser que la demande par 12 journée est, en période estivale, une variable X dont la loi de probabilité est : xi 0 1 2 3 4 5 pi 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1 0,1 0,5 1 3 P(X = −1) -3 -2 -1 0,5 1 3 P(X ∈ [−2; 0]) -3 -2 -1 0 1 2 3 0,5 1 3 P(X > 1) -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 0,5 1 3 P(X ¾ 1) -3 -2 -1 2. Déterminer la fonction de répartition de X. 1. S’il dispose de 3 planches à louer pour la 21 journée, quelle est la loi de probabilité de Y : « nombre de planches louées » ? yi P(Y = yi ) 2. Si le prix de location est de 25 € la demi-journée, et que chaque planche (louée ou non) lui occasionne 3 € par jour de frais, et chaque planche louée 2 € supplémentaires, comment peut-on écrire la variable Z = « bénéfice par demijournée », en fonction de Y ? 3. Quelle est la loi de probabilité de Z ? (un bénéfice peut être négatif ici). zi P(Z = zi ) 4. Calculer E(Y) et en déduire E(Z). 5. Calculer V(Y) et en déduire V(Z).
