Exercice 1 - FormationsNatures.fr

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La probabilité mathématique et les distributions théoriques
Exercice 1
La roulette
Jouons à la roulette. À l’aide d’un jeton on indique son pari
et sa mise. On peut parier sur l’un des numéros de 0 à 36. Le
croupier lance la boule, fait tourner la roulette. La boule s’ar-
rête sur un numéro allant de 0 à 36.
1. Combien y-a-t-il d’issues à cette expérience aléatoire ?
2. L’ensemble Ωdes issues de cette expérience aléatoire est
l’ensemble des entiers compris entre 0 et 36. Combien y-a-
t-il d’événements liés à cette expérience ?
3. À la roulette 0 est considéré comme n’étant ni pair, ni im-
pair, ni rouge, ni noir. Soit A l’événement « le numéro sorti
est pair » et B l’événement « le numéro sorti est rouge ».
(a) Ces événements sont-ils incompatibles ?
(b) Combien y-a-t-il d’issues à l’événement A et B ?
4. On a obtenu « manque » si le numéro qui sort est compris
entre 1 et 18 et « passe » si le numéro qui sort est compris
entre 19 et 36.
(a) Les événements C : « obtenir manque » et D : « obtenir
passe » sont-ils incompatibles ?
(b) Combien y-a-t-il d’issues à l’événement A et C ?
(c) Combien y-a-t-il d’issues à l’événement B ou D ? Citer
les tous.
5. Combien y-a-t-il d’issues à l’événement B, contraire de B ?
6. Soit E l’événement « le numéro sorti est noir ». Combien y-
a-t-il d’issues à l’événement D ∪E ?
7. Quel est l’événement contraire de C ∪D ?
8. Soit F l’événement : « le numéro sorti est impair ». Combien
y-a-t-il d’issues à l’événement B ∪F (contraire de B ou F) ?
Citer les tous.
Exercice 2
L’alcool-test
Dans un certain pays, on estime que 1% des conducteurs
conduisent en état d’ébriété. Le gouvernement décide d’insti-
tuer un permis à points.
Lors de contrôles, les conducteurs sont soumis à des alcool-
tests. Si l’alcool-test est positif, on leur retire trois points.
Mais cet alcool-test n’est pas parfait. La probabilité que
l’alcool-test soit positif lorsque la personne a dépassé le seuil
d’alcoolémie autorisé est 0,99.
La probabilité que l’alcool-test soit positif bien que la per-
sonne n’ait pas dépassé le seuil d’alcoolémie autorisé est de
0.05.
Soit A l’événement « le conducteur a dépassé le degré d’al-
coolémie limite ».
Soit B l’événement « le test est positif ».
1. Calculer P(A), PA(B), PA(B).
2. Quelle est la probabilité αde retirer des points au conduc-
teur à tort ?
3. Quelle est la probabilité de se voir retirer des points que l’on
soit en tort ou pas ?
4. Quelle est la probabilité βqu’un ivrogne au volant, ayant
subi le test, ne soit pas pénalisé ?
5. Ce test risque-t-il d’engendrer des injustices ? Calculer
PB(A).
Exercice 3
Les tricheurs
Dans une communauté de joueurs, on estime qu’il y a 20 %
de tricheurs. On joue au jeu qui consiste à tirer une carte d’un
jeu de 52 cartes. Les tricheurs parviennent toujours à tirer un
as.
Soit A l’événement « La carte tirée est un as ».
Soit T l’événement « Le joueur est un tricheur ».
1. Construire l’arbre pondéré de cette expérience.
2. Une personne prise dans la communauté tire une carte ;
quelle est la probabilité pour que ce soit un as ?
3. On a tiré un as du paquet. Quelle est la probabilité pour que
la carte ait été tirée par un tricheur ?
Exercice 4
Les familles à deux enfants
On considère les familles à 2 enfants. On suppose que la
probabilité qu’un enfant soit un garçon est égale à 1
2à chaque
naissance. On suppose que le sexe d’un enfant ne dépend pas
du sexe de l’enfant né précédemment dans la même famille.
1. Quelle est la probabilité pour qu’une telle famille ait au
moins une fille ?
2. Quelle est la probabilité pour qu’une telle famille ait deux
filles ?
3. Quelle est la probabilité pour qu’une telle famille ait deux
garçons sachant qu’elle en a au moins un ?
4. Quelle est la probabilité que le second enfant soit un garçon
sachant que le premier est un garçon ?

Exercices 10 BTS ACSE/GPN/TV
Exercice 5
Interprétation graphique d’une fonction de répartition
0,1
0,3
0,45
0,6
0,7
0,2 3,5
1
1 2 3 4-1-2
La variable aléatoire X a pour fonction de répartition F re-
présentée ci-dessus.
1. En exploitant les informations fournies par le gra-
phique, donner les valeurs des probabilités suivantes :
P(X¶−1)P(X=0,2)P(X=0,3)
P(X¾0,2)P(X>2)
P(X∈[1;1,5]) P(X∈[1; 2])
2. La variable aléatoire est-elle à densité ?
3. Calculer la somme des sauts de F. La variable aléatoire X
est-elle discrète ?
Exercice 6
Pucerons de rosiers
On étudie le nombre de pucerons sur des feuilles de rosiers.
Sur 100 feuilles examinées :
– 70 avaient au moins 1 puceron,
– 65 en avaient au moins 2,
– 55 en avaient au moins 3.
Soit X le nombre de pucerons sur une feuille de rosier prise
au hasard parmi les 100.
1. X est-elle une variable aléatoire numérique ?
2. X est une variable aléatoire discrète ou continue ?
3. Compléter, (en utilisant « =,>,<» et une valeur entière) :
0,7 =P(...), 0,65 =P(...)et 0,55 =P(...).
4. Écrire les probabilités précédentes à l’aide de la fonction de
répartition F de X.
5. Quelle est la probabilité pour qu’une feuille prise au hasard
parmi les 100 ait 1 ou 2 pucerons ?
Exercice 7
Pile ou face
Une pièce de monnaie n’est pas bien équilibrée. À chaque
lancer de la pièce, la probabilité d’avoir "pile" est de 0,8.
Un joueur parie qu’il obtiendra « face » en moins de 10 lan-
cers, mais en plus de 5.
Soit X le nombre de lancers nécessaires pour obtenir « face »
pour la première fois.
1. Quel est l’ensemble des valeurs que peut prendre X ?
2. Calculer P(X=5).
3. Pour un entier quelconque, k>1, calculer P(X=k).
4. La table ci-dessous donne les valeurs de la fonction de ré-
partition de X.
Compléter le tableau :
kP(X=k)F(k)
1 0,2 0,2
2 0,16 0,36
3 0,128 0,488
4 0,1024
5 0,08192
6 0,06554
7 0,05243
8 0,04194
9 0,03355
10 0,02684
11 0,02147
12 0,01718 0,93128
5. Quelle est la probabilité que le joueur gagne son pari ?
(c’est-à-dire qu’il obtienne « face » en moins de 10 lancers,
mais en plus de 5). On utilisera la fonction de répartition.
Exercice 8
Diamètre d’une pièce mécanique
La courbe ci-dessous représente la fonction de densité de
D : « diamètre d’une pièce fabriquée par une machine (en
mm) ».
0
0.1
0.2
0123456
1. D est une variable aléatoire discrète ou continue ?
2. Quel est l’événement le plus probable : le diamètre d’une
pièce est inférieur à 3mm ou le diamètre d’une pièce est
supérieur à 3mm ?
3. À l’aide d’une table on connaît les valeurs de la fonction de
répartition de D :
Par exemple : F(4) = 0, 5 et F(4, 8) = 0,8413.
Quelle est la probabilité d’avoir une pièce de diamètre :
(a) supérieur à 4,8 mm ?
(b) compris entre 4 et 4,8 mm ?
(c) compris entre 5,2 et 4,8 mm?
4. Pour chacun des cas précédents, représenter graphiquement
cette probabilité.
(a)
0
0.1
0.2
0123456
(b)
0
0.1
0.2
0123456
(c)
0
0.1
0.2
0123456

BTS ACSE/GPN/TV 11 Exercices
Exercice 9
Interprétation du graphique d’une densité
La variable aléatoire X a pour densité la fonction frepré-
sentée ci-dessous.
0,5
1
3
0 1 2 3-1-2-3
1. En exploitant les informations fournies par ce graphique,
donner les valeurs des probabilités suivantes et les repré-
senter :
P(X¶−2)
0,5
1
3
0 1 2 3-1-2-3
P(X=−1)
0,5
1
3
0 1 2 3-1-2-3
P(X∈[−2;0])
0,5
1
3
0 1 2 3-1-2-3
P(X>1)
0,5
1
3
0 1 2 3-1-2-3
P(X¾1)
0,5
1
3
0 1 2 3-1-2-3
2. Déterminer la fonction de répartition de X.
Exercice 10
Le démarcheur
Un démarcheur vend à domicile des collections complètes
de livres. Sa longue expérience lui permet de connaître la pro-
babilité du nombre des exemplaires vendues par jour d’activité.
nb. vendues 0 1 2 3 4 plus de 4
probabilités 0,2 0,3 0,2 0,15 0,1
1. Compléter ce tableau.
2. Le démarcheur gagne 75 €par collection vendue, et
chaque jour il a 120 €de frais. Compléter le tableau.
Perte ou gain −120 −45 30
Probabilité
Perte ou gain 105 180 plus de 180
Probabilité
3. Quelle est la probabilité pour que le démarcheur perde de
l’argent ?
4. Quelle est la probabilité pour qu’il gagne au moins 105 €?
5. Quelle est son espérance de gain ainsi que l’écart type cor-
respondant ?
Exercice 11
Location de planches à voile
Un loueur de planches à voile veut s’installer sur une petite
plage. Des études préalables lui permettent de penser que la
demande par 1
2journée est, en période estivale, une variable X
dont la loi de probabilité est :
xi012345
pi0,2 0,3 0,2 0,1 0,1 0,1
1. S’il dispose de 3 planches à louer pour la 1
2journée, quelle
est la loi de probabilité de Y : « nombre de planches
louées » ?
yi
P(Y=yi)
2. Si le prix de location est de 25 €la demi-journée, et que
chaque planche (louée ou non) lui occasionne 3 €par jour
de frais, et chaque planche louée 2 €supplémentaires, com-
ment peut-on écrire la variable Z =« bénéfice par demi-
journée », en fonction de Y ?
3. Quelle est la loi de probabilité de Z ? (un bénéfice peut être
négatif ici).
zi
P(Z=zi)
4. Calculer E(Y)et en déduire E(Z).
5. Calculer V(Y)et en déduire V(Z).