Chapitre 4 : ANNEAUX ET CORPS

Chapitre 4 : ANNEAUX
ET CORPS
Dans les classes antérieures, on a étudié les ensembles Z, Q, K et C munis
de l'addition et de la multiplication ordinaires. On a montré que Z possédait une
structure d'anneau et que Q, F et C possédaient une structure de corps.
Dans ce chapitre, nous nous proposons de décrire les structures d'anneau et de
corps d'une manière générale mais nous ne donnons ici que quelques définitions
et quelques résultats élémentaires de la théorie des anneaux et des corps.
4.1. Structure d'anneaux
4.1.1. DÉFINITIONS. EXEMPLES
4.1.1.1. Définition
On appelle anneau un ensemble A muni de deux lois de composition internes :
une addition (x, y) i—> x + y et une multiplication (x, y) \—> xy, satisfaisant
aux axiomes suivants :
(Ai) Laddition est une loi de groupe abélien.
(A%) La multiplication est associative et admet un élément neutre, noté \A
oui, et appelé élément unité.
(A3) La multiplication est distributive par rapport à V addition.
Si de plus la multiplication est commutative, c'est-à-dire si on a xy = yx
quels que soient x, y e A, on dit que l'anneau est commutatif.
Si A est un anneau quelconque, on dit que deux éléments x et y de A
commutent ou sont permutables si l'on a xy = yx.
On appelle pseudo-anneau, un ensemble A muni d'une addition et d'une
multiplication satisfaisant aux axiomes des anneaux mais tel que la multiplication
n'ait pas d'élément neutre.
L'élément neutre pour l'addition dans un anneau A est noté 0 et est appelé
l'élément nul de A.
4.1.1.2. Remarque
Certains auteurs appellent anneaux les objets que nous avons appelés pseudo-
anneaux ; ils appellent anneaux unitaires, ou unifères, les triplets que nous ap-
pelons anneaux. Notre point de vue est justifié par le fait que tout pseudo-anneau
peut être plongé dans un anneau avec élément unité.

ANNEAUX ET CORPS
4.1.1.3. Exemples
a) Munis de l'addition et de la multiplication ordinaires, Z, Q, E et C sont des
anneaux commutatifs.
b) Soit A un ensemble réduit à un seul élément, que l'on peut toujours noter 0 :
A = {0}. Muni de l'addition 0 + 0 = 0 et de la multiplication 0 x 0 = 0, A est
un anneau qu'on appelle l'anneau nul. Dans cet anneau, on a : 1 = 0.
Un anneau est dit non nul s'il n'est pas réduit à {0}.
Si A est un anneau non nul on note A* = A — {0}.
4.1.1.4. Exemple
Soient A un anneau et E un ensemble non vide; soit F{E, A) l'ensemble
des applications de E dans A.
Pour /, g e T{E, A), définissons la somme / + g et le produit fg par les
équations(/
+ «)(«) = /(*) + </(*)
(fg)(x) = f(x)g{x)
quel que soit x e E.
Alors l'ensemble T{E, A), muni des deux lois de composition
(f,g)*—*f + g et (/,</)•—* fg
est un anneau (commutatif si et seulement si A est commutatif). L'élément unité
de T(E, A) est l'application constante égale à 1.
4.1.1.5. Exemple
Soit G un groupe abélien non réduit à {0} (noté additivement). L'ensemble
End(G) des endomorphismes de G, muni des deux lois de composition
définies par
(fog)(x)=f(g(x))
pour tout x e G, est un anneau en général non commutatif. L'élément unité de
End(G) est l'application identique de G.
4.1.1.6. Exemple
Soient A et B deux anneaux. L'ensemble produit A x B, muni des lois
définies par :
(b) + ('b') ( + 'b + b')
quels que soient a, a' e A et 6, b' e B, est un anneau appelé anneau produit
des anneaux A et B.
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COURS D'ALGÈBRE
On vérifiera, à titre d'exercice, qu'on définit bien ainsi une structure d'anneau
sur A x B, l'élément unité étant (1,1).
De plus, l'anneau produit A x B est commutatif si et seulement si A et B le
sont.
4.1.1.7. Exemple
Soit n un entier naturel > 0. Nous savons déjà, d'après l'Exemple 3.4.3.2,
que Z/nZ est un groupe abélien pour l'addition (x, y) i—> x + y = x + y.
Montrons que Z/nZest un anneau commutatif. Pour cela, remarquons d'abord
que la congruence modulo n est compatible avec la multiplication de Z
En effet, si x, y, x' et y1 sont des nombres entiers relatifs tels que
x = x' (mod n) et y = y1 (mod n),
il existe des éléments k et k' de Z tels que
x — x' = kn et y — y1 = k'n.
On en tire x = x' + kn, y = y1 + k'n.
D'OÙ xy = x'y' + n(ky'+ k'x' + kk'n).
On en déduit que xy = x'y1 (mod n).
On peut donc définir une loi de composition interne dans Z/nZ, appelée
multiplication, en posant : xxy = x xy.
Alors le groupe Z/nZ, muni de l'addition (x, y) i—• x + y et de la multipli-
cation_(x, y) i—* xxy ainsi définies, est un anneau commutatif, l'élément unité
étant 1 (à vérifier).
L'anneau ainsi défini s'appelle l'anneau des entiers modulo n.
Nous avons déjà dressé la table d'addition de Z/4Z Dressons sa table de
multiplication (la classe de n étant notée n).
ó
i
2
3
0
Ó
Ó
Ó
Ó
1
Ó
i
2
3
2
Ö
to-
ó
2
3
Ó
3
2
i
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ANNEAUX ET CORPS
4.1.2. RÈGLES DE CALCULS DANS UN ANNEAU
Soit A un anneau. Toutes les règles de calcul valables dans un groupe abélien
s'appliquent évidemment au groupe additif de A qui est l'ensemble A considéré
comme groupe abélien. Par exemple, l'opposé d'un élément x £ Ase note —x
et on note x + (—y) = x - y.
Io Pour tout élément x d'un anneau A, on a :
(4.1.2.1) x-0 = 0x=0.
En effet, on a :
x • 0 = x(0 + 0) = x • 0 + x • 0,
d'où puisque tout élément de A est régulier pour l'addition, x • 0 = 0.
On montre de même que 0 • x = 0.
2° Pour tout x e A et tout y G A, on a :
(4.1.2.2) x{-y) = (-x)y = -(xy).
En effet, pour tout y G A, on a y + (—y) = 0 ; donc
x (y + (-y)) =xy+ x(-y) = x • 0 = 0.
Par suite x{-y) est l'opposé de xy.
On démontrerait de même que (—x)y est l'opposé de xy.
On en déduit;
(4.1.2.3) (-x) (-y) = - ((-x)y) = - (-(xy)) = xy.
Notons que si A n'est pas l'anneau nul, alors 1 ^ 0. En effet, la relation
(4.1.2.1) montre que s'il existe x 6 A tel que x ^ 0, alors x • 0 = 0 / x, donc 0
ne peut être l'élément neutre de la multiplication. L'anneau nul est donc le seul
anneau dans lequel on a : 1 = 0.
3° Pour tout élément x e A, on définit par récurrence sur l'entier n G H les
éléments xn et n • x, en posant :
x° = 1, xn=xn~l-x
0x=0, nx = (n- l)x + x.
On a alors les propriétés suivantes que l'on vérifie aisément par récurrence :
(4.1.2.4) xm.xn = xm+n
(4.1.2.5) (m + n)x = m-x + n-x
quels que soient m, n G Net x G A.
4° Pour tout x G A et pour tout n GÎSlona:
(4.1.2.6) nx = (nl)x = x(nl).
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COURS D'ALGÈBRE
Pour n = 0, les égalités sont vraies d'après (4.1.2.1) et la définition de 0 • x.
Supposons (4.1.2.6) vraie pour l'entier n. On a
(n+l)-x = nx + x = (n- l)a; + 1 -x = (n • 1 + l)x
On montrerait de même que
Ces règles de calcul nous permettent de développer les produits de sommes
d'éléments d'un anneau A en tenant compte de l'ordre des termes. Si A est
commutatif, on peut procéder à des simplifications.
5° Formule du binôme
4.1.2.1. Théorème
Soit A un anneau et soient a et h deux éléments permutables de A. Pour tout
entier n>l,ona la formule dite du binôme :
(4.1.2.7) (a + 6)" = k=0
Démonstration. Raisonnons par récurrence sur n. Pour n = 1, le résultat est
trivial car la formule se réduit alors à (a + 6)1 = 1 • a + 1 • 6.
Supposons (4.1.2.7) vraie pour l'entier n > 1, et montrons qu'elle est vraie
pour n + 1. On a donc d'après l'hypothèse de récurrence
*=o
En multipliant cette relation par a + b, il vient :
( (Cìa-W) b.
\*=o / \*=o /
Or, on montre facilement que, puisque a et 6 sont permutables, il en est de
même de a? et bq quels que soient p, q G H.
Donc:
(a + b)n+1 =¿ C*an+1-fc6fc + ¿ Cknan
fc=0 Jb=O
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