VECTEUR VITESSE – VECTEUR ACCÉLÉRATION ( )

Q Vecteur vitesse – vecteur accélération (33-104) Page 1 sur 4 JN Beury
O
P
P’
sens du mouvement
T
u
G
PP’
sens du mouvement
M
0
VECTEUR VITESSE – VECTEUR ACCÉLÉRATION
I. VECTEUR VITESSE
I.1 Définition
Le système étudié est le point matériel M. Soit
(
)
,,,Oi jkℜ=
G
G
G un référentiel. La base
()
,,ijk
G
GG est une base
orthonormée directe.
() () ()
OM x t i y t j z t k=++
G
JJJJGGG
Définition du vecteur vitesse :
()
d
d
OM
vvM xiyjzk
t
ℜ
===++
J
JJJG
G
G
G
GG 
Unités : m.s-1
I.2 Projection sur le vecteur tangent à la trajectoire
Soit T
u
G le vecteur tangent à la trajectoire au point M orienté dans le sens du mouvement. On pose vv=G.
v est la norme de la vitesse ou la valeur de la vitesse.
Un mouvement tel que v est indépendant du temps est dit uniforme.
À l’instant t, le point M se situe au point P.
À l’instant t+dt, le point M se situe au point P’.
0
lim
t
OM
vt
∆→
∆
=
∆
JJJJG
G. On n’écrit plus par la suite 0
lim
t
∆
→.
() ()
''
OM t t OM t
OM OP OP PP
vtt tt
+∆ −
∆−
≈≈ ≈ ≈
∆∆ ∆∆
JJJJGJJJJG
JJJJG JJJJGJJJG JJJJG
G.
'PP
JJJJG est aussi noté dl JJG ou dr JJG : c’est le petit déplacement du point M pendant t
∆
(on peut remplacer t∆ par dt).
On a donc : d''
dT
lPP PP
vu
tt t
=≈ ≈
∆∆
JJG JJJJG
GG
On utilise ce résultat pour une détermination expérimentale de la vitesse (voir mobile autoporteur en terminale).
I.3 Abscisse curviligne
À t = 0, le point M se situe en M0.
À t le point M se situe en P.
À t + dt, le point M se situe en P’.
Définition de l’abscisse curviligne : s
()
00
d
d
st
sv
t
==
=
L’abscisse curviligne s est donc définie à partir d’une dérivée. s est donc la primitive de la vitesse.
Interprétation : d'
d
s
sPP
vtt t
∆
=≈≈
∆∆
On a donc '
s
PP∆≈ = longueur du déplacement sur la courbe pendant t
∆
= longueur de l’arc PP’ =
q
'PP .
Si on sépare les variables, on a dd
s
vt=. On intègre entre M0 et M :
() ( )
q
0
0
0d
M
M
s
tst sMP−== =
∫ = longueur de l’arc de courbe M0P.
Application : les bornes kilométriques sur l’autoroute correspondent à l’abscisse curviligne.
dd
dd
TT
ls
vvuu
tt
== =
JJG
GGG

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m
H
•
m
I.4 Expression de la vitesse dans différentes bases de projection
a) Coordonnées cartésiennes
x
yz
OM xu yu zu=++
JJJJGGGG
dd ddd
dd d d d
x
yz x y z
OM l x y z
vxuyuzuuuu
tt t t t
= ==++=++
JJJJGG
GGGGGGG
b) Coordonnées cylindriques
rz
OM ru zu=+
JJJJGGG
ddd
ddd
rz
rz
vuru u
ttt
θ
θ
=+ +
GG G G
c) Coordonnées sphériques
r
OM ru=
JJJJGG
sin
r
vru ru r u
θ
ϕ
θ
θϕ =+ +
GG G G
I.5 Hodographe du mouvement
L’hodographe du mouvement d’un point matériel est la trajectoire du point associé dans l’espace des vitesses.
Considérons un mouvement à 2 dimensions avec les coordonnées cartésiennes :
x
yxxyy
vxu yu vu vu
=
+= +
G
GG G G
À un instant t, le vecteur vitesse a pour composante vx et vy. On représente un point Q d’abscisse vx et d’ordonnée vy.
À un autre instant t, on a un autre point Q dans cet espace des vitesses.
La courbe ainsi obtenue s’appelle l’hodographe du mouvement.
II. VECTEUR ACCÉLÉRATION
II.1 Définition
() () ()
OM x t i y t j z t k=++
G
JJJJGGG et
()
,,,Oi jkℜ=
G
GG un référentiel.
()
d
d
OM
vvM xiyjzk
t
ℜ
===++
JJJJGG
GG
GG 
Le vecteur accélération est
()
2
2
ddd
ddd
vM vOM
axiyjzk
ttt
ℜ
ℜ
====++
J
JJJG
G
G
G
GG
G  
Unités : m.s-2
II.2 Mouvement accéléré, retardé, uniforme
On calcule la dérivée de v2 par rapport au temps :
22
dd d
22
dd d
vv v
vva
tt t
=
==⋅
G
G
G
GG
Le mouvement est accéléré, si la norme de la vitesse augmente, c'est-à-dire v2 augmente, soit 0va⋅>
GG .
Le mouvement est retardé, si la norme de la vitesse diminue, c'est-à-dire 0va
⋅
<
G
G.
Le mouvement est uniforme si la norme de la vitesse est constante, c'est-à-dire 0va
⋅
=
G
G.
Le mouvement est uniformément accéléré si acte=
G
.

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O
M
θ
R
x
y
r
u
G
u
θ
G
II.3 Accélération en coordonnées cylindriques
On a vu que rz OM ru zu=+
JJJJGGG
et que rz vru ru zu
θ
θ =+ +
GG G G
Dans le chapitre précédent, on a démontré que d
d
r
uu
t
θ
θ
ℜ
=
G
G
 ; d
dr
uu
t
θ
θ
ℜ
=−
G
G
On peut donc en déduire l’accélération en coordonnées cylindriques :
()( )
2
d
d
dd
r
rzrrz
u
u
a rur rurur zu ruru rururu zu
tt
θ
θθ θ θθ
θθθ θ θθθ
=+ + ++ +=+ + +− +
G
G
GG G G G G G G G G G
Formule à connaître par cœur de l’accélération en coordonnées cylindriques
(
)
(
)
22
rz
arru rruzu
θ
θθθ =− + + +
GG GG
Remarque :
()
2
2
d2
d
r
rr r
t
θ
θ
θ =+
. On peut écrire :
()
(
)
2
2d
1
d
rz
r
arru uzu
rt
θ
θ
θ
=− + +
G
GGG
On retrouvera ce résultat dans les mouvements à forces centrales.
III. EXEMPLES DE MOUVEMENTS SIMPLES
III.1 Mouvement rectiligne
Exemple de mouvement sur l’axe Ox.
On a alors : OM x i=
JJJJGG ; vxi=G
G et axi=G G
v
G et a G sont portés par la droite sur laquelle s’effectue le mouvement.
III.2 Mouvement rectiligne uniforme
On choisit comme vecteur unitaire i
G tel que OM x i=
J
JJJG
G
.
On a vxi=G
G avec
x
cte=
 et 0a=G
G.
Un mouvement est rectiligne uniforme si et seulement si 0a
=
G
G
III.3 Mouvement circulaire
On utilise les coordonnées cylindriques avec z = 0 et r = cte = R.
On a alors : On a vu que r
OM R u=
JJJJGG ; vR=
G
r
uRu
θ
θ
+
G
G
et aR=
G
()
22
r
Ru R θθ −+
G
()
Ru
θ
θ +G
On définit la vitesse angulaire (dérivée de l’angle par rapport au temps) : d
dt
θ
ω =
r
OM R u=
JJJJG
G
; vRu
θ
θ
=
G
G
 et 2
r
aRuRu
θ
θ
θ =− +
G
GG
Cette formule se retrouve à partir de la formule générale de l’accélération en coordonnées cylindriques.

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III.4 Mouvement circulaire uniforme
Le mouvement est circulaire est z = 0 et r = R.
Le mouvement est uniforme, donc la norme de la vitesse est constante, c’est-à-dire
θ
 = cte.
On a donc r
OM R u=
JJJJGG ; vRu
θ
θ
=
GG
 et 2
r
aRuRu
θ
θθ =− +
GGG
La norme de la vitesse vaut : vR
θ
=.
• Pour simplifier les expressions, on suppose que 0 θ >
. On a alors : vR R
θ
ω ==
 et
2
2
2
v
R
θ =
, soit
2
2v
RR
θ =
.
On a donc :
2
2
rr
v
aRu u
R
θ =− =−
GGG
.
• Comme r Ru OM=JJJJG
G, on a également : 22
r
aRu OM θω =− =−
J
JJJG
GG
On retient par cœur les trois formules pour l’accélération avec un mouvement circulaire uniforme
r
OM R u=
JJJJGG ; vRu
θ
θ
=
GG
 et
2
22
rr
v
aRu OM u
R
θω =− =− =−
J
JJJG
G
GG
Interprétation physique :
• L’accélération est toujours dirigée vers le centre de rotation. On dit que l’accélération est centripète.
• Le vecteur vitesse est colinéaire au mouvement et donc dirigé suivant u
θ
G
.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/circ_unif.html
Erreurs à ne pas commettre : mouvement uniforme accélération nulle
⇒. C’est complètement faux.
On a vu qu’une accélération nulle correspondait à un mouvement rectiligne uniforme.
Ici le mouvement est circulaire uniforme, l’accélération ne peut pas être nulle.
Par contre comme le mouvement est uniforme, on a vu que 0va
⋅
=
G
G.