TS. Évaluation 5 -Correction 1 ( 10 points ) Le plan complexe est

TS. Évaluation 5 -Correction ♣
1( 10 points ) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère l’équation :
(E) : z2−2zp3+4=0.
1. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.
On résout l’équation (E) : z2−2zp3+4=0; ∆=¡−2p3¢2−4×1×4=12−16 =−4=4i2=(2i)2.
L’équation admet donc deux solutions complexes conjuguées :
z1=−¡−2p3¢−2i
2=2p3−2i 2=p3−i ou z2=z1=p3+i. S=np3−i ; p3+io
2. On considère la suite (Mn)des points d’affixes zn=2n׳cos¡(−1)n×π
6¢+isin¡(−1)n×π 6¢´, définie pour n >1.
a. Vérifier que z1est une solution de (E).
z1=2׳cos¡(−1)1×π
6¢+isin¡(−1)1×π 6¢´=2³cos¡−π 6¢+isin¡−π 6¢´=2³p3 2+i¡−1 2¢´=p3−i
Donc z1est solution de l’équation (E).
b. Écrire z2et z3sous forme algébrique.
z2=22׳cos¡(−1)2×π
6¢+isin¡(−1)2×π 6¢´=4³cos π 6+isin π 6´=4³p3 2+i1 2´=2p3+2i
z3=23׳cos¡(−1)3×π
6¢+isin¡(−1)3×π 6¢´=8³cos −π 6+isin −π 6´=8³p3 2+i¡−1 2¢´=4p3−4i
c. Placer les points M1, M2, M3et M4sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les
segments [M1,M2],[M2,M3]et [M3,M4].
Annexe
NOM :
−2 2 4 6 8 10 12 14 16
O
M1
M2
M3
M4
2i
4i
6i
8i
−i
−2i
−4i
−6i
−8i
−→
u
−→
v

|z1|=2 donc le point M1d’affixe z1est situé sur le cercle de centre O et de rayon 2 ;
de plus, la partie imaginaire de z1est −1 donc le point M1est situé sur la droite d’équation y=−1.
Pour placer le point M2, on utilise le fait que |z2|=4 et que Im(z2)=2.
Pour placer le point M3, on utilise le fait que |z3|=8 et que Im(z3)=−4.
z4=24³cos¡(−1)4×π
6¢+isin¡(−1)4×π 6¢´=16³cos¡π 6¢+isin¡π 6¢´; pour placer le point M4, on utilise le fait que |z4|=16 ;
de plus arg(z4)=π
6=arg(z2)donc les points O, M2et M4sont alignés donc M4∈(OM2). Voir la figure en annexe.
3. Montrer que, pour tout entier n >1, zn=2nÃp3
2+(−1)ni 2!.
zn=2n׳cos¡(−1)n×π
6¢+isin¡(−1)n×π 6¢´
•Si n>1 et npair,(−1)n=+1,
donc ³cos¡(−1)n×π
6¢+isin¡(−1)n×π 6¢´=³cos¡π 6¢+isin¡π 6¢´=p3
2+i 2=p3 2+(−1)ni 2.
•Si n>1 et nimpair,(−1)n=−1,
donc ³cos¡(−1)n×π
6¢+isin¡(−1)n×π 6¢´=³cos¡−π 6¢+isin¡−π 6¢´=p3
2−i 2=p3 2+(−1)ni 2.
Finalement Pour tout entier n>1, zn=2n³p3
2+(−1)ni 2´
4. Calculer les longueurs M1M2et M2M3.
M1M2=|z2−z1|=¯¯¯2p3+2i−³p3−i´¯¯¯=¯¯¯p3+3i¯¯¯=r³p3´2+32=p3+9=p12 =2p3
M2M3=|z3−z2|=¯¯¯4p3−4i−³2p3+2i´¯¯¯=¯¯¯2p3−6i¯¯¯=r³2p3´2+(−6)2=p48 =4p3=22p3
Pour la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entier n >1,MnMn+1=2np3.
5. On note `n=M1M2+M2M3+···+MnMn+1.
a. Montrer que, pour tout entier n >1, `n=2p3(2n−1).
D’après la question 4.,
`n=2p3+22p3+···+2np3=¡2+22+···+2n¢p3
La suite (2n)définie pour n>1 est géométrique de raison q=2 et de premier terme 21=2 ;
La somme S de ses premiers termes consécutifs est donnée par la formule :
S=premier terme×1−raisonnombre de termes
1−raison
donc
2+22+···2n=2×1−2n
1−2=2×2n−1 2−1=2¡2n−1¢
`n=¡2+22+···+2n¢p3=2p3¡2n−1¢
b. Déterminer le plus petit entier n tel que `n>1 000.
`n>1 000 ⇐⇒ 2p3(2n−1)>1 000 ⇐⇒ 2n−1>1 000
2p3⇐⇒ 2n>1 000 2p3+1'289,7
À l’aide de la calculatrice, je trouve que le plus petit entier ntel que `n>1 000 est 9 (28=256 et 29=512)
On peut vérifier que `8=510p3≈883 <1 000 et `9=1 022p3≈1 770 >1 000