Exercice n°1 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel

Terminale – 0797 – Suites –Récurrence et multiples – 30.05.12 http://www.soutienpedagogique.com
Exercice n°1
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre    est un multiple de 22.
Exercice n°2
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre    est un multiple de 11.
Exercice n°3
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre     est un multiple de 225.
Exercice n°4
Démontrer simplement que pour tout entier naturel n, le nombre      est un multiple de 2.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre   est un multiple de 3.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre   est un multiple de 5.
Déduire de tout ce qui précède que le nombre   est un multiple de 30.

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Exercice n°1
Initialisation
Démontrons que cette propriété est vraie au rang   .
La propriété est vraie au rang   
Hérédité
Soit p un entier quelconque tel que   .
Faisons l’hypothèse que la propriété à démontrer est vraie au rang p.
Démontrons que cette propriété est vraie au rang p+1 en utilisant l’hypothèse de récurrence :
La propriété est vraie au rang   
Conclusion
Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n entier naturel non nul

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Exercice n°2
Initialisation
Démontrons que cette propriété est vraie au rang   .
La propriété est vraie au rang   
Hérédité
Soit p un entier quelconque tel que   .
Faisons l’hypothèse que la propriété à démontrer est vraie au rang p.
Démontrons que cette propriété est vraie au rang p+1 en utilisant l’hypothèse de récurrence :
Il faut ici remarquer l’égalité suivante:    
La propriété est vraie au rang   
Conclusion
Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n entier naturel non nul

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Exercice n°3
Initialisation
Démontrons que cette propriété est vraie au rang   .
La propriété est vraie au rang   
Hérédité
Soit p un entier quelconque tel que   .
Faisons l’hypothèse que la propriété à démontrer est vraie au rang p.
Pour la suite de l’exercice, il sera intéressant de noter les équivalences suivantes :
Démontrons que cette propriété est vraie au rang p+1 en utilisant l’hypothèse de récurrence :
Il ne faut surtout pas additionner   mais déjà utiliser l’hypothèse de récurrence au rang p.
La propriété est vraie au rang   
Conclusion
Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n entier naturel non nul

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Exercice n°4
Démontrons simplement que pour tout entier naturel n, le nombre      est un multiple de 2.
Il faut raisonner avec la parité des nombres concernés : en effet, un nombre pair est évidemment divisible par 2.
Cas n°1 : n est pair. Alors forcément      est pair et donc multiple de 2.
Cas n°2 : n est impair. Alors forcément    est pair et forcément      est pair et donc multiple
de 2.
Démontrons succinctement par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre   est un multiple de
3.
Le rang 0 est trivial.
Hérédité :    
Conclusion : vrai pour tout n.
Démontrons succinctement par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre   est un multiple de
5.
Le rang 0 est trivial.
Hérédité :    
Conclusion : vrai pour tout n.
Déduisons de tout ce qui précède que le nombre   est un multiple de 30.
Nous avons montré précédemment que     est un multiple de 2 .
Nous avons également montré précédemment que  est un multiple de 3 .
Donc        est un multiple de 2 et de 3, soit un multiple de 6.
         est donc un multiple de 6 (puisque  est entier), mais aussi de 5.
  est donc un multiple de 30.