Exercice n°1 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel

Exercice n°1
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre
est un multiple de 22.
Exercice n°2
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre
est un multiple de 11.
Exercice n°3
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre
est un multiple de 225.
Exercice n°4
Démontrer simplement que pour tout entier naturel n, le nombre (
) (
) est un multiple de 2.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre
est un multiple de 3.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre
est un multiple de 5.
Déduire de tout ce qui précède que le nombre
est un multiple de 30.
Terminale – 0797 – Suites –Récurrence et multiples – 30.05.12
http://www.soutienpedagogique.com
Exercice n°1
Initialisation
Démontrons que cette propriété est vraie au rang
.
La propriété est vraie au rang
Hérédité
Soit p un entier quelconque tel que
.
Faisons l’hypothèse que la propriété à démontrer est vraie au rang p.
Démontrons que cette propriété est vraie au rang p+1 en utilisant l’hypothèse de récurrence :
(
(
)
)
(
)
(
(
(
)
)
)
(
)
(
)
La propriété est vraie au rang
Conclusion
Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n entier naturel non nul
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Exercice n°2
Initialisation
Démontrons que cette propriété est vraie au rang
.
La propriété est vraie au rang
Hérédité
Soit p un entier quelconque tel que
.
Faisons l’hypothèse que la propriété à démontrer est vraie au rang p.
Démontrons que cette propriété est vraie au rang p+1 en utilisant l’hypothèse de récurrence :
(
)
(
)
Il faut ici remarquer l’égalité suivante:
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
La propriété est vraie au rang
Conclusion
Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n entier naturel non nul
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Exercice n°3
Initialisation
Démontrons que cette propriété est vraie au rang
.
La propriété est vraie au rang
Hérédité
Soit p un entier quelconque tel que
.
Faisons l’hypothèse que la propriété à démontrer est vraie au rang p.
Pour la suite de l’exercice, il sera intéressant de noter les équivalences suivantes :
Démontrons que cette propriété est vraie au rang p+1 en utilisant l’hypothèse de récurrence :
(
)
(
)
Il ne faut surtout pas additionner
mais déjà utiliser l’hypothèse de récurrence au rang p.
(
(
)
(
(
)
)
(
)
)
(
(
)
)
La propriété est vraie au rang
Conclusion
Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n entier naturel non nul
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Exercice n°4
Démontrons simplement que pour tout entier naturel n, le nombre (
) (
) est un multiple de 2.
Il faut raisonner avec la parité des nombres concernés : en effet, un nombre pair est évidemment divisible par 2.
Cas n°1 : n est pair. Alors forcément (
) (
) est pair et donc multiple de 2.
) est pair et forcément (
Cas n°2 : n est impair. Alors forcément (
de 2.
) (
) est pair et donc multiple
Démontrons succinctement par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre
3.
est un multiple de
Le rang 0 est trivial.
Hérédité :
(
)
(
)
Conclusion : vrai pour tout n.
Démontrons succinctement par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre
5.
est un multiple de
Le rang 0 est trivial.
Hérédité :
(
)
(
)
Conclusion : vrai pour tout n.
Déduisons de tout ce qui précède que le nombre
(
)
(
)(
)
Nous avons montré précédemment que (
(
) (
est un multiple de 30.
) (
(
) (
) (
)
)(
)
)est un multiple de 2 .
Nous avons également montré précédemment que
Donc (
)(
est un multiple de 3 .
est un multiple de 2 et de 3, soit un multiple de 6.
)
est donc un multiple de 6 (puisque (
) est entier), mais aussi de 5.
est donc un multiple de 30.
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