Exercices MÉCANIQUE (I) Exercice MÉCA 1 – 1 On étudie le mouvement d’un point matériel M se déplaçant dans le référentiel R . Pour étudier ce mouvement, on veut utiliser les coordonnées sphériques. On définit pour cela un repère (O ,e x ,e y ,e z ). ° ° ° ° 1. La première coordonnées de M est r = °OM °. Comment définiton le vecteur unitaire associé e r ? 2. Imaginons que M se déplace sur une sphère de rayon r . L’axe Oz est pris comme axe des pôles. Pour repérer la position de M , on peut utiliser sa longitude comptée à partir du méridien passant par l’axe Ox , c’est la variable ϕ comprise entre 0 et 2π ; et sa latitude λ. Les physiciens préfèrent la colatitude, qui est le complémentaire de la latitude soit θ = π2 −λ, θ varie de 0 au pôle nord à π au pôle sud. Faire un schéma où figurent les coordonnées (r , θ , ϕ) de M 3. Définir les vecteurs unitaires e θ et e ϕ et vérifier que (e r ,e θ ,e ϕ ) forme une base orthonormée directe. 4. Trouver les expressions du vecteur déplacement d M = dOM et de la vitesse de M en coordonnées sphériques en fonction de ṙ , θ̇ et ϕ̇.1 Exercice MÉCA 1 – 2 Un point matériel M est animé du mouvement défini par les équations : x = a cos ωt ; y = a sin ωt ; z = bt dans un système d’axes orthonormés directs Ox y z ; a , b et ω sont des constantes positives. 1. (a) Ecrire les équations cartésiennes de la trajectoire sous la forme x = f (z) ; y = g (z) Ecrire également l’équation de la projection de cette trajectoire sur le plan xO y . 1 Exercice 2 Exercice MÉCA 1 – 1 : 4. v = ṙpe r + r θ̇e θ + r sin θϕ̇e ϕ MÉCA 1 – 2 : 2. s = a 2 ω2 + b 2 t ; 3. Rc = a sin2 α (b) Caractériser, en quelques mots, les mouvements projetés sur les axes et sur le plan xO y . 2. (a) Calculer les coordonnées du vecteur vitesse. (b) Déterminer l’hodographe relatif au point O et le représenter sur une figure. En déduire que le vecteur vitesse fait un angle α constant avec Oz ; calculer cos α et sin α. (c) On définit l’abscisse curviligne s comme étant la longueur parcourue le long de la trajectoire en prenant comme origine s = 0 à t = 0. Trouver l’expression de s en fonction de a , b , ω et t . En déduire la vitesse définie par v = dd ts . On définit le vecteur unitaire e T = vv . 3. (a) Calculer les coordonnées du vecteur accélération. On appelle accélération tangentielle aT la composante de l’accé2 lération suivant le vecteur e T . Montrer que aT = dd t 2s (b) La composante restante de l’accélération est appelée accélération normale a N . La direction et le sens du vecteur a N = a − aT e T définit le vecteur unitaire normal e N = aa NN . Donner l’expression de e N en coordonnées cylindriques (c) La base (e T ,e N ) est appelée base de F RENET. Dans cette 2 ³ ´2 base l’accélération est donnée par a = dd t 2s e T + R1c dd ts e N où R c désigne le rayon de courbure. Trouver l’expression de R c en fonction de a et α.2 Exercice MÉCA 1 – 3 Un automobiliste parcourt une distance d = 1, 25 km sur une route rectiligne. Son mouvement est uniformément accéléré, puis uniforme, Page 2 MÉCANIQUE (I) puis uniformément retardé. L’accélération a est égale en valeur absolue à 0 ou 2, 5 unité SI et la vitesse moyenne vaut 75 km/h. Déterminer la vitesse maximale de l’automobiliste.3 Exercice MÉCA 1 – 4 Une roue de bicyclette de rayon R , de centre C roule sans glisser sur l’axe Ox en restant dans le plan Oxz . On considère un point M de la circonférence confondu avec O à l’instant t = 0. C a une vitesse constante v. 1. Comment caractérise-t-on la condition de non-glissement de la roue ? 2. Calculer à la date t la position, la vitesse et l’accélération de M . 3. Dessiner la trajectoire de M . Comment s’appelle cette courbe ?4 Exercice MÉCA 2 – 1 Un projectile assimilé à un point matériel M de masse m est lancé avec une vitesse v 0 faisant l’angle α avec l’horizontale. On supposera g = 10 m.s−2 constante. 1. Trouver l’équation de la trajectoire, la portée et l’altitude maximale atteinte. 2. Comment choisir l’angle α pour que la trajectoire passe par un point A de coordonnées fixées (x A , z A ) ? AN : v 0 = 1 km/s ; x A = 73, 2 km et z A = 19, 6 km. 3. On appelle parabole de sureté la parabole limite des points atteints par le projectile à v 0 fixée en tenant compte de toutes les valeurs de α possible. Trouver son équation.5 3 Exercice MÉCA 1 – 3 : 90 km/h ¡ ¢ ¡ ¢ 2 2 MÉCA 1 – 4 : 2. ẍ = vR sin vRt s et z̈ = vR cos vRt 5 Exercice MÉCA 2 – 1 : 2. α = 45° ou α = 60° 6 Exercice MÉCA 2 – 2 : 2. t = 0, 173 s ; z = 7, 4 mm r 4 Exercice 7 Exercice ³ ´ b MÉCA 2 – 3 : 2. r = y 0 exp − 2m t et ω = ± a m − ³ b 2m ´2 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3 Exercice MÉCA 2 – 2 Une particule de masse m , de vitesse initiale v 0 ,se déplace verticalemnt de haut en bas. La résistance de l’air opposée à la vitesse, est proportionnelle à la vitesse instantanée : f = −bmv avec b constante positive. On demande de déterminer : 1. la vitesse v de la particule à la date t ; 2. la vitesse limite v ℓ atteinte par la particule ; 3. le chemin parcouru z en fonction du temps ; 4. à quel instant la particule atteint-elle sa vitesse limite à 1% près ? Quelle est alors la distance parcourue ? AN : g = 10 m.s−2 ; b = 25 s−1 ; v 0 = 10 cm.s−1 ; m = 1, 5 kg.6 Exercice MÉCA 2 – 3 Un point matériel M de masse m se déplace sur un plan horizontal (on suppose la réaction du plan normale au plan). M est lancé à partir de M0 de coordonnées cartésiennes ( 0, y 0 ) et est soumis à la force F = −aOM et à une force résistante F ′ = −bv où a et b sont des constantes positives. 1. Établir en coordonnées polaires les équations différentielles du mouvement de M . 2. Dans le cas où θ̇ = ω = constante, déterminer ω et l’expression de r en fonction du temps.7 Exercice MÉCA 2 – 4 On considère un point matériel M de masse m et de charge q placé à l’origine O d’un repère Ox y z à la date t = 0 avec une vitesse v 0 = v 0 e z . qB On posera ω0 = m . M est soumis aux forces exercées par un champ électrique E et un champ magnétique B . Etudier le mouvement de M dans les cas suivants : Page 3 MÉCANIQUE (I) 1. E = E e y et B = Be y 2. E = E e y et B = Be z . Dans ce cas déterminer la distance à l’origine du point A où la trajectoire aboutit pour la première fois sur l’axe Ox lorsque v 0 = 0.8 Exercice MÉCA 3 – 1 1. Un gardien de but envoie un ballon de masse m à la verticale avec une vitesse v 0 . Quelle est la hauteur h atteinte par le ballon en négligeant les frottements de l’air ? Quelle est sa vitesse lorsqu’il retombe au sol ? 2. On suppose maintenant que le ballon part avec la vitesse v 0 en faisant un angle α avec l’horizontale. Quelle est la hauteur h atteinte par le ballon en négligeant les frottements de l’air ? Quelle est sa vitesse lorsqu’il retombe au sol ? Exercice MÉCA 3 – 2 Un jeu d’enfant comporte un chariot de masse m = 200 g, de dimension négligeable, mobile sans frottement sur la piste dessinée ci-dessous avec r = 50 cm et θ = 60°.( AB et DE sont des portions de cercles et il n’y a pas de piste entre E et E ′) Θθ Θθ 1. Le chariot a une vitesse nulle en A . Calculer ses vitesses en C , D et E ainsi que l’intensité de la réaction de la piste en ces points. 2. Montrer que le chariot quitte la piste entre A et B à partir d’un angle θ0 à préciser. 8 Exercice 9 Exercice Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3 3. Calculer la hauteur h atteinte en S . 4. Calculer la valeur minimale de d pour que le chariot retombe sur la piste en E ′ .9 Exercice MÉCA 3 – 3 Un cyclotron est formé de deux enceintes demi-cylindriques (les dees) dans lesquels règne un champ magnétique uniforme (B = 1, 5 T). Dans l’espace vide entre les dees, les particules sont soumises à un champ électrostatique de façon à être accélérées à chaque passage. L’expérience présente porte sur des protons (q = +e = 1, 6.10−19 C, m = 1, 67.10−27 kg) 1. Comment doit être le champ B ? Quel est le temps mis pour effectuer un passage dans un dee ? 2. Quelle doit être la fréquence de la tension accélératrice alternative ? 3. Quelle est l’énergie maximale des protons sachant que le rayon des dees est R = 0, 8 m. Par quelle tension aurait-il fallu accélérer le proton pour obtenir la même vitesse ?10 Exercice MÉCA 3 – 4 Une particule de masse m décrit la trajectoire elliptique de demi-axe a et b , de centre O et d’équation OM = r = a cos ωt e x + b sin ωt e y 1. Montrer que la force F agissant sur M dérive d’une énergie potentielle E p à déterminer en fonction de m , ω et r . Quel est le travail de F entre deux points M1 (OM1 = r 1 ) et M1 (OM2 = r 2 ) ? (A) 2. En ωt = 0, M est en A ; en ωt = π2 , M est en B . Calculer EE cc (B) en fonction de a et b . Vérifier le théorème de l’énergie cinétique entre A et B . 3. Vérifier que l’énergie mécanique se conserve. Indiquer les positions de M où E p = E c .11 MÉCA 2 – 4 : 1. mouvement accéléré suivant O y et circulaire dans Oxz ; 2. mouvement rectiligne suivant Oz et cycloïdal dans xO y ; O A = 2πmE qB 2 MÉCA 3 – 2 : 1. v E = 3, 51 m.s−2 ; RE = 3, 46 N ; 2. θ0 = 48° ; 3. h = 46 cm ; 4. d = 106 cm 10 Exercice MÉCA 3 – 3 : 1. 2, 2.10−8 s ; 2. 2, 9.107 Hz ; 3. 1, 1.10−11 J ; ≈ 69000 kV ¡ ¢ 11 Exercice MÉCA 3 – 4 : 1. E = 1 mω2 r 2 ; 2. E c (A) = b 2 ; 3. E = 1 mω2 a 2 + b 2 m p 2 E c (B ) 2 a2 Page 4 MÉCANIQUE (I) Exercice MÉCA 4 – 1 On dispose de deux ressorts R 1 et R 2 de raideurs k 1 et k 2 , de même longueur à vide ℓ0 et de masse négligeable. Déterminer la période des oscillations dans les deux cas suivants : 1. la masse m est reliée à l’extrémité libre des deux ressorts placés verticalemnt en série et m ne se déplace que verticalement. 2. la masse m est reliée aux deux ressorts placés verticalement en opposition, les extrémités fixées des ressorts étant distantes de a > 2ℓ0 .12 Exercice MÉCA 4 – 2 Une particule de masse m = 100 g se déplace sous l’action d’une force conservative qui dérive de l’énergie potentielle E p = 2aa 2 où a est une r+ r constante (a = 0, 5 m). La particule est lachée à partir de la position r = a2 avec une vitesse nulle. 1. Déterminer la position d’équilibre stable de la particule, on la notera r 0 . 2. Quelle est sa vitesse v 0 lorsqu’elle atteint cet état ? 3. Déterminer la période des oscillations autour de cette position d’équilibre stable ?13 Exercice MÉCA 4 – 3 La suspension d’une voiture de masse à vide M = 600 kg est schématisée par un ressort de raideur k = 2.104 N.m−1 . L’amortisseur crée une force de frottement proportionnelle à la vitesse verticale f = −hv . On prendra g = 10 m.s−2 1. A vide le régime d’amortissement est critique. Ecrire l’équation de mouvement vertical. Déterminer la valeur de h . 12 Exercice q 2 MÉCA 4 – 1 : 1. T = 2π m kk11+k k 2 ; 2. T = 2π q m k 1 +k 2 q p 2 13 Exercice MÉCA 4 – 2 : 1. r = −a ; 2. v = 3 ; 3. T = 2πa m 0 0 5m p 14 Exercice MÉCA 4 – 3 : 1. h = 2 kM ; 2. T = 2π M+m p km 2 ¢ ¡ 15 Exercice MÉCA 4 – 4 : 3. 〈E 〉 = 1 k x 0 exp − t ; 4. Q = 1 2 1−α2 τ 2α Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3 2. La voiture contient des passagers de masse totale m = 300 kg. Indiquer alors l’équation du mouvement vertical. En déduire la pseudo-période du mouvement. Comparer avec la valeur obtenue sans amortisseur.14 Exercice MÉCA 4 – 4 Une petite bille de masse m est suspendue à l’extrémité verticale d’un ressort de raideur k dont l’autre extrémité est fixée. Elle plonge dans un liquide qui introduit une force de frottement visqueux : f = −hv . 1. Ecrire q l’équation différentielle du mouvement de la bille. On pose ω0 = k m et 1 τ h =m . 2. Montrer que lorsque h est inférieur à une valeur limite h 0 , on obtient des oscillations. Déterminer la solution de l’équation du mouvement, la pseudo–période T , le décrément logarithmique δ et fonction de α = hh0 et ω0 . On prendra t = 0 lorsque l’élongation est maximum (x = x0 ). 3. Exprimer l’énergie moyenne de l’oscillateur en fonction de x0 , α et τ (on supposera α ≪ 1) et en déduire la perte relative d’énergie au cours d’une période en fonction de α seul. 4. Comment définit–on le facteur de qualité Q en fonction de la perte relative d’énergie ? Que vaut alors Q en fonction de α ?15 Page 5 MÉCANIQUE (I) Exercice MÉCA 4 – 5 On considère un point matériel M, de masse m suspendu à un fil inextensible de longueur ℓ attaché au point O, origine de l’axe Ox confondu avec le fil à l’équilibre. À l’instant t = 0, le point M est lancé du point A, pour lequel θ0 = 0 et O A = ℓ, avec une vitesse angulaire θ˙0 suffisamment faible pour que les oscillations soient q de faible amplitude. g On pose ω0 = ℓ et on néglige les frottements. L’énergie potentielle est supposée nulle en A. 1. Établir l’équation ³ ´de la trajectoire de phase da ce pendule simple θ̇ en variables θ, ω0 . 2. Représenter l’allure de cette trajectoire de phase en précisant le point initial et le sens de parcours. Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3 3. Quelle est la condition sur θ˙0 et ω0 pour obtenir de petites oscillations ? θ