mécanique

Exercices
MÉCANIQUE (I)
Exercice MÉCA 1 – 1
On étudie le mouvement d’un point matériel M se déplaçant dans le
référentiel R . Pour étudier ce mouvement, on veut utiliser les coordonnées sphériques. On définit pour cela un repère (O ,e x ,e y ,e z ).
°
°
°
°
1. La première coordonnées de M est r = °OM °. Comment définiton le vecteur unitaire associé e r ?
2. Imaginons que M se déplace sur une sphère de rayon r . L’axe
Oz est pris comme axe des pôles. Pour repérer la position de M ,
on peut utiliser sa longitude comptée à partir du méridien passant par l’axe Ox , c’est la variable ϕ comprise entre 0 et 2π ; et sa
latitude λ. Les physiciens préfèrent la colatitude, qui est le complémentaire de la latitude soit θ = π2 −λ, θ varie de 0 au pôle nord
à π au pôle sud. Faire un schéma où figurent les coordonnées (r ,
θ , ϕ) de M
3. Définir les vecteurs unitaires e θ et e ϕ et vérifier que (e r ,e θ ,e ϕ )
forme une base orthonormée directe.
4. Trouver les expressions du vecteur déplacement d M = dOM et
de la vitesse de M en coordonnées sphériques en fonction de ṙ , θ̇
et ϕ̇.1
Exercice MÉCA 1 – 2
Un point matériel M est animé du mouvement défini par les équations : x = a cos ωt ; y = a sin ωt ; z = bt dans un système d’axes orthonormés directs Ox y z ; a , b et ω sont des constantes positives.
1. (a) Ecrire les équations cartésiennes de la trajectoire sous la
forme x = f (z) ; y = g (z) Ecrire également l’équation de la
projection de cette trajectoire sur le plan xO y .
1 Exercice
2 Exercice
MÉCA 1 – 1 : 4. v = ṙpe r + r θ̇e θ + r sin θϕ̇e ϕ
MÉCA 1 – 2 : 2. s = a 2 ω2 + b 2 t ; 3. Rc =
a
sin2 α
(b) Caractériser, en quelques mots, les mouvements projetés
sur les axes et sur le plan xO y .
2. (a) Calculer les coordonnées du vecteur vitesse.
(b) Déterminer l’hodographe relatif au point O et le représenter sur une figure. En déduire que le vecteur vitesse fait un
angle α constant avec Oz ; calculer cos α et sin α.
(c) On définit l’abscisse curviligne s comme étant la longueur
parcourue le long de la trajectoire en prenant comme origine s = 0 à t = 0. Trouver l’expression de s en fonction de a ,
b , ω et t . En déduire la vitesse définie par v = dd ts . On définit
le vecteur unitaire e T = vv .
3. (a) Calculer les coordonnées du vecteur accélération. On appelle accélération tangentielle aT la composante de l’accé2
lération suivant le vecteur e T . Montrer que aT = dd t 2s
(b) La composante restante de l’accélération est appelée accélération normale a N . La direction et le sens du vecteur
a N = a − aT e T définit le vecteur unitaire normal e N = aa NN .
Donner l’expression de e N en coordonnées cylindriques
(c) La base (e T ,e N ) est appelée base de F RENET. Dans cette
2
³
´2
base l’accélération est donnée par a = dd t 2s e T + R1c dd ts e N où
R c désigne le rayon de courbure. Trouver l’expression de R c
en fonction de a et α.2
Exercice MÉCA 1 – 3
Un automobiliste parcourt une distance d = 1, 25 km sur une route
rectiligne. Son mouvement est uniformément accéléré, puis uniforme,
Page 2
MÉCANIQUE (I)
puis uniformément retardé. L’accélération a est égale en valeur absolue à 0 ou 2, 5 unité SI et la vitesse moyenne vaut 75 km/h. Déterminer
la vitesse maximale de l’automobiliste.3
Exercice MÉCA 1 – 4
Une roue de bicyclette de rayon R , de centre C roule sans glisser sur
l’axe Ox en restant dans le plan Oxz . On considère un point M de la circonférence confondu avec O à l’instant t = 0. C a une vitesse constante
v.
1. Comment caractérise-t-on la condition de non-glissement de la
roue ?
2. Calculer à la date t la position, la vitesse et l’accélération de M .
3. Dessiner la trajectoire de M . Comment s’appelle cette courbe ?4
Exercice MÉCA 2 – 1
Un projectile assimilé à un point matériel M de masse m est lancé
avec une vitesse v 0 faisant l’angle α avec l’horizontale. On supposera
g = 10 m.s−2 constante.
1. Trouver l’équation de la trajectoire, la portée et l’altitude maximale atteinte.
2. Comment choisir l’angle α pour que la trajectoire passe par un
point A de coordonnées fixées (x A , z A ) ? AN : v 0 = 1 km/s ; x A = 73, 2
km et z A = 19, 6 km.
3. On appelle parabole de sureté la parabole limite des points atteints par le projectile à v 0 fixée en tenant compte de toutes les
valeurs de α possible. Trouver son équation.5
3 Exercice
MÉCA 1 – 3 : 90 km/h
¡ ¢
¡ ¢
2
2
MÉCA 1 – 4 : 2. ẍ = vR sin vRt s et z̈ = vR cos vRt
5 Exercice MÉCA 2 – 1 : 2. α = 45° ou α = 60°
6 Exercice MÉCA 2 – 2 : 2. t = 0, 173 s ; z = 7, 4 mm
r
4 Exercice
7 Exercice
³
´
b
MÉCA 2 – 3 : 2. r = y 0 exp − 2m
t et ω = ±
a
m
−
³
b
2m
´2
Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3
Exercice MÉCA 2 – 2
Une particule de masse m , de vitesse initiale v 0 ,se déplace verticalemnt de haut en bas. La résistance de l’air opposée à la vitesse, est
proportionnelle à la vitesse instantanée : f = −bmv avec b constante
positive. On demande de déterminer :
1. la vitesse v de la particule à la date t ;
2. la vitesse limite v ℓ atteinte par la particule ;
3. le chemin parcouru z en fonction du temps ;
4. à quel instant la particule atteint-elle sa vitesse limite à 1%
près ? Quelle est alors la distance parcourue ? AN : g = 10 m.s−2 ;
b = 25 s−1 ; v 0 = 10 cm.s−1 ; m = 1, 5 kg.6
Exercice MÉCA 2 – 3
Un point matériel M de masse m se déplace sur un plan horizontal (on suppose la réaction du plan normale au plan). M est lancé à
partir de M0 de coordonnées cartésiennes ( 0, y 0 ) et est soumis à la
force F = −aOM et à une force résistante F ′ = −bv où a et b sont des
constantes positives.
1. Établir en coordonnées polaires les équations différentielles du
mouvement de M .
2. Dans le cas où θ̇ = ω = constante, déterminer ω et l’expression de
r en fonction du temps.7
Exercice MÉCA 2 – 4
On considère un point matériel M de masse m et de charge q placé à
l’origine O d’un repère Ox y z à la date t = 0 avec une vitesse v 0 = v 0 e z .
qB
On posera ω0 = m . M est soumis aux forces exercées par un champ
électrique E et un champ magnétique B . Etudier le mouvement de M
dans les cas suivants :
Page 3
MÉCANIQUE (I)
1. E = E e y et B = Be y
2. E = E e y et B = Be z . Dans ce cas déterminer la distance à l’origine
du point A où la trajectoire aboutit pour la première fois sur l’axe
Ox lorsque v 0 = 0.8
Exercice MÉCA 3 – 1
1. Un gardien de but envoie un ballon de masse m à la verticale
avec une vitesse v 0 . Quelle est la hauteur h atteinte par le ballon en négligeant les frottements de l’air ? Quelle est sa vitesse
lorsqu’il retombe au sol ?
2. On suppose maintenant que le ballon part avec la vitesse v 0 en
faisant un angle α avec l’horizontale. Quelle est la hauteur h atteinte par le ballon en négligeant les frottements de l’air ? Quelle
est sa vitesse lorsqu’il retombe au sol ?
Exercice MÉCA 3 – 2
Un jeu d’enfant comporte un chariot de masse m = 200 g, de dimension
négligeable, mobile sans frottement sur la piste dessinée ci-dessous
avec r = 50 cm et θ = 60°.( AB et DE sont des portions de cercles et il n’y
a pas de piste entre E et E ′)
Θθ
Θθ
1. Le chariot a une vitesse nulle en A . Calculer ses vitesses en C , D
et E ainsi que l’intensité de la réaction de la piste en ces points.
2. Montrer que le chariot quitte la piste entre A et B à partir d’un
angle θ0 à préciser.
8 Exercice
9 Exercice
Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3
3. Calculer la hauteur h atteinte en S .
4. Calculer la valeur minimale de d pour que le chariot retombe sur
la piste en E ′ .9
Exercice MÉCA 3 – 3
Un cyclotron est formé de deux enceintes demi-cylindriques (les dees)
dans lesquels règne un champ magnétique uniforme (B = 1, 5 T). Dans
l’espace vide entre les dees, les particules sont soumises à un champ
électrostatique de façon à être accélérées à chaque passage. L’expérience présente porte sur des protons (q = +e = 1, 6.10−19 C, m =
1, 67.10−27 kg)
1. Comment doit être le champ B ? Quel est le temps mis pour effectuer un passage dans un dee ?
2. Quelle doit être la fréquence de la tension accélératrice alternative ?
3. Quelle est l’énergie maximale des protons sachant que le rayon
des dees est R = 0, 8 m. Par quelle tension aurait-il fallu accélérer
le proton pour obtenir la même vitesse ?10
Exercice MÉCA 3 – 4
Une particule de masse m décrit la trajectoire elliptique de demi-axe
a et b , de centre O et d’équation OM = r = a cos ωt e x + b sin ωt e y
1. Montrer que la force F agissant sur M dérive d’une énergie potentielle E p à déterminer en fonction de m , ω et r . Quel est le
travail de F entre deux points M1 (OM1 = r 1 ) et M1 (OM2 = r 2 ) ?
(A)
2. En ωt = 0, M est en A ; en ωt = π2 , M est en B . Calculer EE cc (B)
en fonction de a et b . Vérifier le théorème de l’énergie cinétique
entre A et B .
3. Vérifier que l’énergie mécanique se conserve. Indiquer les positions de M où E p = E c .11
MÉCA 2 – 4 : 1. mouvement accéléré suivant O y et circulaire dans Oxz ; 2. mouvement rectiligne suivant Oz et cycloïdal dans xO y ; O A = 2πmE
qB 2
MÉCA 3 – 2 : 1. v E = 3, 51 m.s−2 ; RE = 3, 46 N ; 2. θ0 = 48° ; 3. h = 46 cm ; 4. d = 106 cm
10 Exercice MÉCA 3 – 3 : 1. 2, 2.10−8 s ; 2. 2, 9.107 Hz ; 3. 1, 1.10−11 J ; ≈ 69000 kV
¡
¢
11 Exercice MÉCA 3 – 4 : 1. E = 1 mω2 r 2 ; 2. E c (A) = b 2 ; 3. E = 1 mω2 a 2 + b 2
m
p
2
E c (B )
2
a2
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MÉCANIQUE (I)
Exercice MÉCA 4 – 1
On dispose de deux ressorts R 1 et R 2 de raideurs k 1 et k 2 , de même
longueur à vide ℓ0 et de masse négligeable. Déterminer la période des
oscillations dans les deux cas suivants :
1. la masse m est reliée à l’extrémité libre des deux ressorts placés
verticalemnt en série et m ne se déplace que verticalement.
2. la masse m est reliée aux deux ressorts placés verticalement en
opposition, les extrémités fixées des ressorts étant distantes de
a > 2ℓ0 .12
Exercice MÉCA 4 – 2
Une particule de masse m = 100 g se déplace sous l’action d’une force
conservative qui dérive de l’énergie potentielle E p = 2aa 2 où a est une
r+
r
constante (a = 0, 5 m). La particule est lachée à partir de la position
r = a2 avec une vitesse nulle.
1. Déterminer la position d’équilibre stable de la particule, on la
notera r 0 .
2. Quelle est sa vitesse v 0 lorsqu’elle atteint cet état ?
3. Déterminer la période des oscillations autour de cette position
d’équilibre stable ?13
Exercice MÉCA 4 – 3
La suspension d’une voiture de masse à vide M = 600 kg est schématisée par un ressort de raideur k = 2.104 N.m−1 . L’amortisseur crée une
force de frottement proportionnelle à la vitesse verticale f = −hv . On
prendra g = 10 m.s−2
1. A vide le régime d’amortissement est critique. Ecrire l’équation
de mouvement vertical. Déterminer la valeur de h .
12 Exercice
q
2
MÉCA 4 – 1 : 1. T = 2π m kk11+k
k 2 ; 2. T = 2π
q
m
k 1 +k 2
q
p
2
13 Exercice MÉCA 4 – 2 : 1. r = −a ; 2. v = 3
; 3. T = 2πa m
0
0
5m
p
14 Exercice MÉCA 4 – 3 : 1. h = 2 kM ; 2. T = 2π M+m
p
km
2
¢
¡
15 Exercice MÉCA 4 – 4 : 3. ⟨E ⟩ = 1 k x 0 exp − t ; 4. Q = 1
2 1−α2
τ
2α
Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3
2. La voiture contient des passagers de masse totale m = 300 kg.
Indiquer alors l’équation du mouvement vertical. En déduire la
pseudo-période du mouvement. Comparer avec la valeur obtenue
sans amortisseur.14
Exercice MÉCA 4 – 4
Une petite bille de masse m est suspendue à l’extrémité verticale d’un
ressort de raideur k dont l’autre extrémité est fixée. Elle plonge dans
un liquide qui introduit une force de frottement visqueux : f = −hv .
1. Ecrire
q l’équation différentielle du mouvement de la bille. On pose
ω0 =
k
m
et
1
τ
h
=m
.
2. Montrer que lorsque h est inférieur à une valeur limite h 0 , on
obtient des oscillations. Déterminer la solution de l’équation du
mouvement, la pseudo–période T , le décrément logarithmique δ
et fonction de α = hh0 et ω0 . On prendra t = 0 lorsque l’élongation
est maximum (x = x0 ).
3. Exprimer l’énergie moyenne de l’oscillateur en fonction de x0 , α
et τ (on supposera α ≪ 1) et en déduire la perte relative d’énergie
au cours d’une période en fonction de α seul.
4. Comment définit–on le facteur de qualité Q en fonction de la
perte relative d’énergie ? Que vaut alors Q en fonction de α ?15
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MÉCANIQUE (I)
Exercice MÉCA 4 – 5
On considère un point matériel M, de masse m suspendu à un fil inextensible de longueur ℓ attaché au point O, origine de l’axe Ox confondu
avec le fil à l’équilibre.
À l’instant t = 0, le point M est lancé du point A, pour lequel θ0 = 0 et
O A = ℓ, avec une vitesse angulaire θ˙0 suffisamment faible pour que les
oscillations soient
q de faible amplitude.
g
On pose ω0 = ℓ et on néglige les frottements. L’énergie potentielle
est supposée nulle en A.
1. Établir l’équation
³
´de la trajectoire de phase da ce pendule simple
θ̇
en variables θ, ω0 .
2. Représenter l’allure de cette trajectoire de phase en précisant le
point initial et le sens de parcours.
Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3
3. Quelle est la condition sur θ˙0 et ω0 pour obtenir de petites oscillations ?
θ