mécanique

Exercices
MÉCANIQUE (I)
Exercice MÉCA 1 – 1
On étudie le mouvement d’un point matériel Mse déplaçant dans le
référentiel R. Pour étudier ce mouvement, on veut utiliser les coor-
données sphériques. On définit pour cela un repère (O,ex,ey,ez).
1. La première coordonnées de Mest r=°
°
°OM°
°
°. Comment définit-
on le vecteur unitaire associé er?
2. Imaginons que Mse déplace sur une sphère de rayon r. L’axe
Oz est pris comme axe des pôles. Pour repérer la position de M,
on peut utiliser sa longitude comptée à partir du méridien pas-
sant par l’axe Ox, c’est la variable ϕcomprise entre 0et 2π; et sa
latitude λ. Les physiciens préfèrent la colatitude, qui est le com-
plémentaire de la latitude soit θ=π
2−λ,θvarie de 0au pôle nord
àπau pôle sud. Faire un schéma où figurent les coordonnées (r,
θ,ϕ) de M
3. Définir les vecteurs unitaires eθet eϕet vérifier que (er,eθ,eϕ)
forme une base orthonormée directe.
4. Trouver les expressions du vecteur déplacement d M =dOM et
de la vitesse de Men coordonnées sphériques en fonction de ˙ r,˙ θ
et ˙ ϕ.1
Exercice MÉCA 1 – 2
Un point matériel M est animé du mouvement défini par les équa-
tions : x=acos ωt;y=asin ωt;z=bt dans un système d’axes ortho-
normés directs Ox y z ;a,bet ωsont des constantes positives.
1. (a) Ecrire les équations cartésiennes de la trajectoire sous la
forme x=f(z);y=g(z)Ecrire également l’équation de la
projection de cette trajectoire sur le plan xO y.
(b) Caractériser, en quelques mots, les mouvements projetés
sur les axes et sur le plan xOy.
2. (a) Calculer les coordonnées du vecteur vitesse.
(b) Déterminer l’hodographe relatif au point Oet le représen-
ter sur une figure. En déduire que le vecteur vitesse fait un
angle αconstant avec Oz ; calculer cosαet sinα.
(c) On définit l’abscisse curviligne scomme étant la longueur
parcourue le long de la trajectoire en prenant comme ori-
gine s=0àt=0. Trouver l’expression de sen fonction de a,
b,ωet t. En déduire la vitesse définie par v=ds
dt . On définit
le vecteur unitaire eT=v
v.
3. (a) Calculer les coordonnées du vecteur accélération. On ap-
pelle accélération tangentielle aTla composante de l’accé-
lération suivant le vecteur eT. Montrer que aT=d2s
dt2
(b) La composante restante de l’accélération est appelée ac-
célération normale aN. La direction et le sens du vecteur
aN=a−aTeTdéfinit le vecteur unitaire normal eN=aN
aN.
Donner l’expression de eNen coordonnées cylindriques
(c) La base (eT,eN) est appelée base de FRENET. Dans cette
base l’accélération est donnée par a=d2s
dt2eT+1
Rc³ds dt ´2eNoù
Rcdésigne le rayon de courbure. Trouver l’expression de Rc
en fonction de aet α.2
Exercice MÉCA 1 – 3
Un automobiliste parcourt une distance d=1, 25 km sur une route
rectiligne. Son mouvement est uniformément accéléré, puis uniforme,
1Exercice MÉCA 1 – 1 : 4. v=˙
r er+r˙ θeθ+rsinθ˙ ϕeϕ
2Exercice MÉCA 1 – 2 : 2. s=pa2ω2+b2t;3. Rc=a
sin2α

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puis uniformément retardé. L’accélération aest égale en valeur abso-
lue à 0ou 2,5 unité SI et la vitesse moyenne vaut 75 km/h. Déterminer
la vitesse maximale de l’automobiliste.3
Exercice MÉCA 1 – 4
Une roue de bicyclette de rayon R, de centre Croule sans glisser sur
l’axe Ox en restant dans le plan Oxz. On considère un point M de la cir-
conférence confondu avec Oà l’instant t=0.Ca une vitesse constante
v.
1. Comment caractérise-t-on la condition de non-glissement de la
roue ?
2. Calculer à la date tla position, la vitesse et l’accélération de M.
3. Dessiner la trajectoire de M. Comment s’appelle cette courbe ?4
Exercice MÉCA 2 – 1
Un projectile assimilé à un point matériel Mde masse mest lancé
avec une vitesse v0faisant l’angle αavec l’horizontale. On supposera
g=10 m.s−2constante.
1. Trouver l’équation de la trajectoire, la portée et l’altitude maxi-
male atteinte.
2. Comment choisir l’angle αpour que la trajectoire passe par un
point Ade coordonnées fixées (xA,zA) ? AN : v0=1km/s ; xA=73,2
km et zA=19, 6 km.
3. On appelle parabole de sureté la parabole limite des points at-
teints par le projectile à v0fixée en tenant compte de toutes les
valeurs de αpossible. Trouver son équation.5
Exercice MÉCA 2 – 2
Une particule de masse m, de vitesse initiale v0,se déplace vertica-
lemnt de haut en bas. La résistance de l’air opposée à la vitesse, est
proportionnelle à la vitesse instantanée : f= −bmv avec bconstante
positive. On demande de déterminer :
1. la vitesse vde la particule à la date t;
2. la vitesse limite vℓatteinte par la particule ;
3. le chemin parcouru zen fonction du temps ;
4. à quel instant la particule atteint-elle sa vitesse limite à 1%
près ? Quelle est alors la distance parcourue ? AN : g=10 m.s−2;
b=25 s−1;v0=10 cm.s−1;m=1,5 kg.6
Exercice MÉCA 2 – 3
Un point matériel Mde masse mse déplace sur un plan horizon-
tal (on suppose la réaction du plan normale au plan). Mest lancé à
partir de M0de coordonnées cartésiennes ( 0,y0) et est soumis à la
force F= −aOM et à une force résistante F′= −bv où aet bsont des
constantes positives.
1. Établir en coordonnées polaires les équations différentielles du
mouvement de M.
2. Dans le cas où ˙ θ=ω=constante, déterminer ωet l’expression de
ren fonction du temps.7
Exercice MÉCA 2 – 4
On considère un point matériel Mde masse met de charge qplacé à
l’origine Od’un repère Ox y z à la date t=0avec une vitesse v0=v0ez.
On posera ω0=qB
m.Mest soumis aux forces exercées par un champ
électrique Eet un champ magnétique B. Etudier le mouvement de M
dans les cas suivants :
3Exercice MÉCA 1 – 3 : 90 km/h
4Exercice MÉCA 1 – 4 : 2. ¨
x=v2
Rsin¡v t R¢set ¨
z=v2
Rcos¡vt R¢
5Exercice MÉCA 2 – 1 : 2. α=45° ou α=60°
6Exercice MÉCA 2 – 2 : 2. t=0,173 s ; z=7, 4 mm
7Exercice MÉCA 2 – 3 : 2. r=y0exp³−b
2mt´et ω=±ra m−³b 2m´2

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1. E=Eeyet B=Be y
2. E=Eeyet B=Bez. Dans ce cas déterminer la distance à l’origine
du point Aoù la trajectoire aboutit pour la première fois sur l’axe
Ox lorsque v0=0.8
Exercice MÉCA 3 – 1
1. Un gardien de but envoie un ballon de masse mà la verticale
avec une vitesse v0. Quelle est la hauteur hatteinte par le bal-
lon en négligeant les frottements de l’air ? Quelle est sa vitesse
lorsqu’il retombe au sol ?
2. On suppose maintenant que le ballon part avec la vitesse v0en
faisant un angle αavec l’horizontale. Quelle est la hauteur hat-
teinte par le ballon en négligeant les frottements de l’air ? Quelle
est sa vitesse lorsqu’il retombe au sol ?
Exercice MÉCA 3 – 2
Un jeu d’enfant comporte un chariot de masse m=200 g, de dimension
négligeable, mobile sans frottement sur la piste dessinée ci-dessous
avec r=50 cm et θ=60°.(AB et DE sont des portions de cercles et il n’y
a pas de piste entre Eet E′)
ΘΘθθ ΘΘθθ
1. Le chariot a une vitesse nulle en A. Calculer ses vitesses en C,D
et Eainsi que l’intensité de la réaction de la piste en ces points.
2. Montrer que le chariot quitte la piste entre Aet Bà partir d’un
angle θ0à préciser.
3. Calculer la hauteur hatteinte en S.
4. Calculer la valeur minimale de dpour que le chariot retombe sur
la piste en E′.9
Exercice MÉCA 3 – 3
Un cyclotron est formé de deux enceintes demi-cylindriques (les dees)
dans lesquels règne un champ magnétique uniforme (B=1, 5 T). Dans
l’espace vide entre les dees, les particules sont soumises à un champ
électrostatique de façon à être accélérées à chaque passage. L’ex-
périence présente porte sur des protons (q= +e=1,6.10−19 C, m=
1,67.10−27 kg)
1. Comment doit être le champ B? Quel est le temps mis pour ef-
fectuer un passage dans un dee ?
2. Quelle doit être la fréquence de la tension accélératrice alterna-
tive ?
3. Quelle est l’énergie maximale des protons sachant que le rayon
des dees est R=0,8 m. Par quelle tension aurait-il fallu accélérer
le proton pour obtenir la même vitesse ?10
Exercice MÉCA 3 – 4
Une particule de masse mdécrit la trajectoire elliptique de demi-axe
aet b, de centre Oet d’équation OM =r=acos ωtex+bsinωtey
1. Montrer que la force Fagissant sur Mdérive d’une énergie po-
tentielle Epà déterminer en fonction de m,ωet r. Quel est le
travail de Fentre deux points M1(OM1=r1) et M1(OM2=r2) ?
2. En ωt=0,Mest en A; en ωt=π
2,Mest en B. Calculer Ec(A) Ec(B)
en fonction de aet b. Vérifier le théorème de l’énergie cinétique
entre Aet B.
3. Vérifier que l’énergie mécanique se conserve. Indiquer les posi-
tions de Moù Ep=Ec.11
8Exercice MÉCA 2 – 4 : 1. mouvement accéléré suivant O y et circulaire dans Oxz ;2. mouvement rectiligne suivant Oz et cycloïdal dans xO y ;O A =2πmE
qB 2
9Exercice MÉCA 3 – 2 : 1. vE=3,51 m.s−2;RE=3,46 N ; 2. θ0=48° ; 3. h=46 cm ; 4. d=106 cm
10Exercice MÉCA 3 – 3 : 1. 2,2.10−8s ; 2. 2,9.107Hz ; 3. 1,1.10−11 J ; ≈69000 kV
11Exercice MÉCA 3 – 4 : 1. Ep=1
2mω2r2;2. Ec(A) Ec(B)=b2
a2;3. Em=1
2mω2¡a2+b2¢

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Exercice MÉCA 4 – 1
On dispose de deux ressorts R1et R2de raideurs k1et k2, de même
longueur à vide ℓ0et de masse négligeable. Déterminer la période des
oscillations dans les deux cas suivants :
1. la masse mest reliée à l’extrémité libre des deux ressorts placés
verticalemnt en série et mne se déplace que verticalement.
2. la masse mest reliée aux deux ressorts placés verticalement en
opposition, les extrémités fixées des ressorts étant distantes de
a>2ℓ0.12
Exercice MÉCA 4 – 2
Une particule de masse m=100 g se déplace sous l’action d’une force
conservative qui dérive de l’énergie potentielle Ep=2a
r+a2
r
où aest une
constante (a=0,5 m). La particule est lachée à partir de la position
r=a
2avec une vitesse nulle.
1. Déterminer la position d’équilibre stable de la particule, on la
notera r0.
2. Quelle est sa vitesse v0lorsqu’elle atteint cet état ?
3. Déterminer la période des oscillations autour de cette position
d’équilibre stable ?13
Exercice MÉCA 4 – 3
La suspension d’une voiture de masse à vide M=600 kg est schémati-
sée par un ressort de raideur k=2.104N.m−1. L’amortisseur crée une
force de frottement proportionnelle à la vitesse verticale f= −hv. On
prendra g=10 m.s−2
1. A vide le régime d’amortissement est critique. Ecrire l’équation
de mouvement vertical. Déterminer la valeur de h.
2. La voiture contient des passagers de masse totale m=300 kg.
Indiquer alors l’équation du mouvement vertical. En déduire la
pseudo-période du mouvement. Comparer avec la valeur obtenue
sans amortisseur.14
Exercice MÉCA 4 – 4
Une petite bille de masse mest suspendue à l’extrémité verticale d’un
ressort de raideur kdont l’autre extrémité est fixée. Elle plonge dans
un liquide qui introduit une force de frottement visqueux : f=−hv.
1. Ecrire l’équation différentielle du mouvement de la bille. On pose
ω0=qk
met 1 τ=h m.
2. Montrer que lorsque hest inférieur à une valeur limite h0, on
obtient des oscillations. Déterminer la solution de l’équation du
mouvement, la pseudo–période T, le décrément logarithmique δ
et fonction de α=h
h0et ω0. On prendra t=0lorsque l’élongation
est maximum (x=x0).
3. Exprimer l’énergie moyenne de l’oscillateur en fonction de x0,α
et τ(on supposera α≪1) et en déduire la perte relative d’énergie
au cours d’une période en fonction de αseul.
4. Comment définit–on le facteur de qualité Qen fonction de la
perte relative d’énergie ? Que vaut alors Qen fonction de α?15
12Exercice MÉCA 4 – 1 : 1. T=2πqmk1+k2
k1k2;2. T=2πqm k1+k2
13Exercice MÉCA 4 – 2 : 1. r0=−a;2. v0=3q2
5m;3. T=2πapm
14Exercice MÉCA 4 – 3 : 1. h=2pkM ;2. T=2πM+m
pkm
15Exercice MÉCA 4 – 4 : 3. 〈E〉=1
2
kx2
0
1−α2exp¡−t
τ¢;4. Q=1 2α

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Exercice MÉCA 4 – 5
On considère un point matériel M, de masse msuspendu à un fil inex-
tensible de longueur ℓattaché au point O, origine de l’axe Ox confondu
avec le fil à l’équilibre.
À l’instant t=0, le point M est lancé du point A, pour lequel θ0=0et
OA =ℓ, avec une vitesse angulaire ˙ θ0suffisamment faible pour que les
oscillations soient de faible amplitude.
On pose ω0=qg
ℓet on néglige les frottements. L’énergie potentielle
est supposée nulle en A.
1. Établir l’équation de la trajectoire de phase da ce pendule simple
en variables ³θ,˙
θ
ω0´.
2. Représenter l’allure de cette trajectoire de phase en précisant le
point initial et le sens de parcours.
3. Quelle est la condition sur ˙ θ0et ω0pour obtenir de petites oscil-
lations ?
θθ