Etude énergétique des systèmes mécaniques

Cours physique
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Etude énergétique des systèmes mécaniques
A – Travail d’une force
Le travail d’une force est un transfert d’énergie entre deux systèmes lié à une force dont le
point d’application se déplace.
I – Travail d’une force constante
1) Notion de force constante
Une force constante est une force dont la direction, le sens, la valeur restent constants
au cours du mouvement.
2) Expression du travail
Le travail d’une force constante au cours d’un déplacement AB est donné par :
W ( F ) = F ⋅ AB = F . AB. cos( F , AB ) .
A→ B
3) Travail moteur et travail résistant
Travail moteur :
W ( F ) > 0 : 0 ≤ ( F , AB) <
A→ B
π
2
.
Travail résistant :
W (F ) < 0 :
A→ B
π
2
< ( F , AB) ≤ π .
Travail nul :
W ( F ) = 0 : ( F , AB ) =
A→ B
π
2
.
4) Travail du poids
Le travail du poids d’un solide lorsque son centre d’inertie passe de l’altitude zA à
l’altitude zB est donné par :
W ( P ) = mg ( z A − z B ) .
A→ B
1
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II – Travail élémentaire d’une force variable
1) Notion de travail élémentaire
La force F n’est pas constante sur AB, mais on suppose qu’elle reste constante sur un
trajet élémentaire d l aussi petit que l’on veut. Au cours du trajet d l , la force effectue
un travail élémentaire δW tels que δW = F ⋅ d l .
2) Expression générale du travail de la force
Le travail total effectué par F au cours du déplacement AB correspond à la somme
des travaux élémentaires :
B
B
A
A
W ( F ) = ∫ δW = ∫ F ⋅ d l .
A→ B
III – Application au travail de la force exercée sur l’extrémité d’un ressort
1) Force de rappel d’un ressort
2
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F est la force de rappel du ressort : F = − kxi .
Soit F ' la force exercée par l’expérimentateur pour étirer le ressort : F ' = − F = kxi .
2) Expression du
élémentaire
travail
élémentaire
au
cours
d’un
déplacement
Supposons que l’on écarte le centre d’inertie du solide d’un déplacement élémentaire
dx.
Le centre d’inertie se déplace du trajet élémentaire dx : δW = F '⋅d l , d l = dxi .
2
δW = kxi ⋅ dxi = kxdxi ⋅ i . Or i ⋅ i = i = 1 .
Donc le travail élémentaire effectué par l’expérimentateur au cours du déplacement
élémentaire dx est δW = kxdx .
3) Détermination du travail de la force au cours d’un déplacement
On peut alors déterminer l’expression du travail effectué par cette force pour passer de la
position x1 à la position x2 par deux méthodes différentes.
a. Par intégration
x2
x2
x2
x1
x1
x1
W ( F ' ) = ∫ δW = ∫ kxdx = k ∫
1→ 2
x
2
1
1
⎡ x² ⎤
xdx = k ⎢ ⎥ = kx 2 ² − kx1 ² .
2
⎣ 2 ⎦ x1 2
b. Par une méthode graphique
On trace la courbe représentant F’ en fonction de l’allongement x du ressort
(supposé positif).
Le travail élémentaire de la force au cours d’un déplacement dx représente
l’aire sous la courbe.
3
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On peut alors déterminer graphiquement le travail de la force au cours d’un
déplacement de x1 vers x2.
δW = kxdx : aire du rectangle de largeur dx et de longueur kx.
Le travail W ( F ' ) est l’aire sous la courbe comprise entre x1 et x2.
1→ 2
Ce travail est égal à l’aire A2 (du triangle de base x2) moins l’aire A1 (du
triangle de base x1).
1
1
A2 = x 2 .kx 2 = kx 2 ² .
2
2
1
1
A1 = x1 .kx1 = kx1 ² .
2
2
1
1
Donc W ( F ' ) = kx 2 ² − kx1 ² .
1→ 2
2
2
B – Energies des systèmes mécaniques
I – Les formes d’énergies
1) Energie cinétique
Un solide en mouvement de translation (tous les points sont animés du même vecteur
vitesse V ) possède l'énergie cinétique :
1
E c = m.V ² .
2
Unités : Ec est en joule (J), m est en kilogramme (kg), V est en mètre par seconde
(m/s).
2) Energie potentielle
L’énergie potentielle est une forme d’énergie que possède un système du fait de son
interaction avec un autre système. Cette énergie peut être transférée sous forme
d’énergie ou sous forme de travail.
II – Etude énergétique d’un projectile dans le champ de pesanteur
1) Définition et expression de l’énergie potentielle de pesanteur
L’énergie potentielle de pesanteur d’un système traduit son interaction avec la Terre.
La variation d’énergie potentielle de pesanteur entre A et B est égale au travail effectué
par un expérimentateur pour ramener le système de la position A à la position B.
∆ E pp = W ( F ) . Or W ( F ) = − W ( P) . Donc ∆ E pp = − W ( P) = − mg ( z A − z B ) ,
A→ B
A→ B
A→ B
A→ B
A→ B
∆ E pp = mgz B − mgz A . Or ∆ E pp = E ppB − E pp A .
A→ B
A→ B
Donc E ppB − E pp A = mgz B − mgz A .
D’où par identification : E pp = mgz .
4
A→ B
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2) Variation d’énergie mécanique
Un projectile en mouvement possède de l’énergie cinétique, et, comme il se déplace
dans un champ de pesanteur, il possède aussi de l’énergie potentielle de pesanteur.
Etudions son énergie mécanique.
1
L’énergie mécanique du projectile est : E M = E c + E pp , soit E M = m.V ² + m.g.z .
2
Exprimons la variation de l’énergie mécanique entre deux positions :
1
1
∆E M = E M ( z 2 ) − E M ( z1 ) = m.V2 ² + m.g.z 2 − m.V1 ² − m.g.z1
2
2
∆E M = ∆E c + m.g ( z 2 − z1 ) .
Or, d’après le théorème de l’énergie cinétique, la variation d’énergie cinétique d’un
solide dans un référentiel galiléen est égale à la somme des travaux des forces
appliquées au solide, soit :
∆E c = ∑ W (F ) .
Ainsi, pour un projectile se déplaçant entre deux positions z1 et z2, la variation
d’énergie mécanique vaut :
∆E M = ∑ W ( F ) + m.g ( z1 − z 2 ) .
Explicitons cette relation.
a. En absence de frottements (chute libre)
La seule force qui agit sur le projectile est le poids. Son travail est :
W ( P ) = m.g ( z1 − z 2 ) .
Or,
∆E c = W (P ) ,
d’après
le
théorème
de
l’énergie
cinétique,
et
∆E M = W ( P ) + m.g ( z1 − z 2 ) = 0 , d’où EM est constante.
En absence de frottement, l’énergie mécanique d’un projectile dans un champ
de pesanteur uniforme est constante :
1
E M = m.g.z + m.V ² = cte .
2
5
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b. En présence de frottements
Il faut prendre en compte les forces de frottements qui effectuent un travail
W (F f ) :
∑ W ( F ) = W ( P) + W ( F ) .
D’où, d’après ∆E = ∑ W ( F ) + m.g ( z
f
M
1
− z2 ) :
∆E M = W ( P ) + W ( F f ) + m.g ( z1 − z 2 ) , soit : ∆E M = W ( F f ) .
∆E M est négatif car W ( F f ) est un travail résistant.
En présence de frottements, l’énergie mécanique d’un projectile dans un
champ de pesanteur uniforme diminue, car sa variation est égale au travail
résistant des forces de frottement : ∆E M = W ( F f ) .
Dans ce cas, la perte d’énergie mécanique se trouve généralement convertie en
chaleur transférée à l’air ambiant et à la surface du projectile.
On cherche le plus souvent à limiter ces pertes en donnant aux projectiles des
formes aérodynamiques.
En revanche, on exploite ces forces de frottements pour ralentir le retour sur
Terre des capsules spatiales ; on doit alors les munir de boucliers spéciaux en
matériaux réfractaires.
III – Etude énergétique d’un système {solide ; ressort}
1) Définition et expression de l’énergie potentielle élastique
Lors du travail effectué par l’expérimentateur pour amener le système {solide ;
ressort} de la position x1 à la position x2, il y a transfert d’énergie :
1
1
∆ E pe = W ( F ' ) = kx 2 ² − kx1 ² . Or ∆ E pe = E pe2 − E pe1 .
1→ 2
1→ 2
1→ 2
2
2
1
1
Donc E pe2 − E pe1 = kx 2 ² − kx1 ² .
2
2
1
D’où par identification E pe = kx ²
2
2) Variation d’énergie mécanique
a. Le système {solide ; ressort} non amorti
Dispositif expérimental :
On considère le dispositif schématisé sur la figure ci-dessous. Le solide a été
écarté de sa position d’équilibre. Il peut se déplacer sans frottement sur l’axe
Ox.
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Etablissement de l’équation différentielle du mouvement du solide :
D’après la deuxième loi de Newton : ∑ F ext = m.a G , P + R + F = m.a G .
Par projection suivant l’axe Ox : 0 + 0 − F = m.a x donc − k .x = m.a x .
dvG
dt
Or
aG =
ax =
d ²x
= &x& .
dt ²
donc
ax =
On a donc − k .x = m.&x& = m.
dv x
dt
et
vG =
d OG
dt
donc
vx =
dx
; donc
dt
d ²x
, m.&x& + k .x = 0 .
dt ²
D’où l’équation différentielle du mouvement : &x& +
k
d ²x k
.x = 0 ou
+ .x = 0 .
m
dt ² m
Solution générale :
⎞
⎛ 2π
La solution générale est de la forme : x(t ) = X m . cos⎜⎜
.t + ϕ ⎟⎟ .
⎠
⎝ T0
Avec :
• Xm : amplitude maximale des oscillations : abscisse maximale atteinte
par le système.
• T0 : période propre de l’oscillateur.
• ϕ : phase à l’origine des dates (constante qui dépend des conditions
initiales.
Détermination de l’expression de la période propre de l’oscillateur :
k
On injecte x(t ) dans l’équation différentielle &x& + .x = 0 .
m
⎛ 2π
⎞
x(t ) = X m . cos⎜⎜
.t + ϕ ⎟⎟ .
⎝ T0
⎠
x& (t ) = v x (t ) = − X m .
⎞
⎛ 2π
2π
. sin ⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟ .
T0
⎠
⎝ T0
&x&(t ) = a x (t ) = − X m .
⎛ 2π
⎞
4π ²
. cos⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟ .
T0 ²
⎝ T0
⎠
Donc − X m .
⎛ 2π
⎞ k
⎛ 2π
⎞
4π ²
t + ϕ ⎟⎟ + . X m . cos⎜⎜
. cos⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟ = 0 .
T0
⎝ T0
⎠ m
⎝ T0
⎠
⎛ 2π
⎞ ⎡ 4π ²
X m . cos⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟ ⎢−
+
⎝ T0
⎠ ⎣ T0 ²
Cette
équation
est
⎛ 2π
⎞
x = X m . cos⎜⎜
.t + ϕ ⎟⎟ ≠ 0 .
⎝ T0
⎠
T0 ² = 4π ²
k⎤
⎥ = 0.
m⎦
vérifiée
Donc
m
.
k
7
à
toutes
les
dates,
comme
4π ² k
4π ² k
−
+ = 0 , d’où
d’où
=
T0 ² m
T0 ² m
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Donc T0 = 2π
m
.
k
Energie potentielle du système {solide ; ressort} :
Le mouvement étant horizontal, il n’y a pas de variation d’énergie potentielle
de pesanteur. On choisit alors E pp = 0J au centre d’inertie du système.
L’énergie potentielle est sous forme élastique : E pe =
E pe =
1
kx ² .
2
⎛ 2π
⎞
1
k . X m ². cos ²⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟ .
2
⎝ T0
⎠
Energie cinétique du système {solide ; ressort} :
⎛ 2π
⎞
1
1
dx
2π
E c = m.v x ² = m.( x& )² car v x =
= x& or x& (t ) = − X m . . sin ⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟ .
2
2
dt
T0
⎝ T0
⎠
D’où l’énergie cinétique : E c =
Ec =
⎛ 2π
⎞
4π ²
1
m. X m ².
t + ϕ ⎟⎟ .
. sin ²⎜⎜
T0 ²
2
⎝ T0
⎠
⎛ 2π
⎛ 2π
⎞
⎞
k
1
1
m. X m ². . sin ²⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟ donc E c = X m ².k . sin ²⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟ .
m
2
2
⎝ T0
⎝ T0
⎠
⎠
Expression de l’énergie mécanique :
Par définition : E M = E c + E p .
⎛ 2π
⎞ 1
⎛ 2π
⎞
1
E M = . X m ².k . sin ²⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟ + .k . X m ². cos ²⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟ .
2
⎝ T0
⎠ 2
⎝ T0
⎠
⎡
⎞⎤
⎛ 2π
⎞
⎛ 2π
1
E M = .k . X m ².⎢sin ²⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟ + cos ²⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟⎥ .
2
⎠⎦⎥
⎝ T0
⎠
⎝ T0
⎣⎢
1
.k . X m ² .
2
EM est donc indépendante du temps, elle est conservée : ∆E M = 0J .
EM =
Interprétation : conversion d’énergie :
∆E M = ∆E c + ∆E p or ∆E M = 0 alors ∆E c = −∆E p .
Détermination de l’amplitude maximale des oscillations et de la phase à
l’origine des dates :
Expérience : x(0) = X 0 , x& (0) = 0 .
2π
Théorie : x(0) = X m . cos ϕ , x& (0) = − X m . . sin ϕ .
T0
2π
On a donc : X m . cos ϕ = X 0 et − X m . . sin ϕ = 0 . Donc sin ϕ = 0 car
T0
2π
≠ 0 . Donc ϕ = 0 ou ϕ = π .
X m ≠ 0 et
T0
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Or X 0 > 0 et X m > 0 donc cos ϕ > 0 donc ϕ = 0 et donc X m = X 0 .
Expression de l’énergie mécanique à la date t = 0 s :
E M 0 = E c0 + E p0 . Or v(0) = 0 donc E c (0) = 0 donc E M 0 = E p0 =
1
k.X 0 ² .
2
Expression de la vitesse du solide à la position d’équilibre :
Par conservation de l’énergie mécanique : E M 0 = E M E or E M E = E cE + E pE et
1
k .x ² .
2
Dans la position d’équilibre x E = 0 donc E pE = 0 . Donc E M E = E c E . Donc
Ep =
E M 0 = E M E . Donc
k
1
1
.
k . X 0 ² = m.v E ² . D’où v E = X 0
m
2
2
Evolution temporelle des énergies :
b. Le système {solide ; ressort} amorti
On renouvelle l’expérience, mais avec des frottements. On enregistre la
position du centre d’inertie du mobile au cours du temps. Puis à l’aide d’un
logiciel de traitement de données on trace l’évolution des énergies cinétique,
potentielle élastique, et mécanique.
A cause du travail résistant des forces de frottement, l’énergie mécanique de
l’oscillateur amorti diminue en permanence au cours des oscillations.
La diminution d’énergie mécanique est égale à la valeur absolue du travail des
forces résistantes :
E M1 − E M 2 = W ( F f ) .
1→ 2
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Evolution temporelle des énergies :
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