Dynamique

Dynamique
CI 7 : comportement dynamique et énergétique des systèmes
1.
Principe fondamental de la dynamique



 F ext/S = m. A Résultante dynamique avec A accélération linéaire
G
G


..
 M ext/S = JA. 
A

..
Moment dynamique au point A avec  accélération angulaire
Si on a aucune accélération on est en statique et le P.F.D. devient P.F.S.
2.
Dynamique en translation


 F ext/S = m. A
G
Exemples
Exercice :
Une cabine d’ascenseur de 800kg passe en montant de 0m/s à 1m/s en 2s.
Calculer l’accélération de la cabine et la force nécessaire pour la mettre en mouvement
Solution : A=0.5m/s² F = 840daN
3.
Dynamique en rotation suivant un axe
..
Mext/S A =JA.
Calcul du moment d’inertie J:
Cylindre plein
masse m
Cylindre creux
masse m
Sphère pleine
masse m
Tige rectiligne
masse m
rayon R
Rayon extérieur R
Rayon intérieur r
m(R²+ r²)
JGz=
2
Rayon R
Longueur l
2mR²
JGz=
5
ml²
JGz=
12
JGz =
mR²
2
Exercice :
Un touret à meuler tourne à 3000tr/min
L’alimentation est coupée. Le rotor met 3min pour s’arrêter.
Une masse de 5 kg est lâchée.
Seul le poids P de 49.05N sens vers le bas
agit sur elle
Sur l’axe vertical on a P=m.a
Soit
-49.05 = 5 . a
a = -9.81 m/s²
le solide subit une accélération
verticale vers le bas de 9.81 m/s²
Si on exerce une force F de 100N pour
déplacer horizontalement une masse 50kg .
Celle-ci est en appui plan sur un sol et il n’y a
pas de frottement
F
On a F= m.a
Soit 100 = 50.a
a= 2m/s²
le solide variera en vitesse de 2m/s chaque
seconde
Si on exerce un couple Cm de 0.1N.m suivant
l’axe de rotation d’ un solide cylindrique de
masse 5kg et de rayon 5cm
mR²
= 5*0.05²/2
2
= 6.25.10-3kg.m²
..
Cm =JG
..
 = Cm /JG =0.1/6.25.10-3
..
 =16 rd/s²
JG =
C
La masse volumique des meules est de 2500 kg/m3
La masse volumique de l’arbre est de 7800 kg/m3
Déterminer la décélération angulaire
Déterminer le moment d’inertie de l’ensemble et le couple résistant arrêtant l’arbre
Solutions Volume 1 meule = 2.9 .10-3 m3
Masse 1 meule = 7.38 kg
Volume arbre = 1.3 .10-3 m3
Masse arbre = 10.11 kg
Jarbre=2,6.10-3 kg.m²
Jmeule=180.10-3 kg.m²
..
Solution :  =-1.74 rd/s² JG=182 .10-3 kg.m² Cr =0.318 N.m
Dynamique
1/3
Energétique
CI 7 : comportement dynamique et énergétique des systèmes
1.
LE TRAVAIL
1.1.
Définition générale
Le travail ou l'énergie représente ce qu'il faut fournir à un système pour l'amener d'un
état initial à un état final.
1.2.
Exemples
On veut monter 1 masse de 2 kg de 0 à 2 m
Calcul du Travail élémentaire lors de la translation rectiligne
F
 
W = F . d = F.d.cos (produit scalaire)
avec force F en N
 angle entre la force et le déplacement en rd
longueur d parcourue en m
travail W en J (joules)
1.2.1. Cas particuliers
Lorsque la force est perpendiculaire au déplacement le travail est nul cos = 0

Si la force F est dirigée suivant l'axe de la translation rectiligne, le travail
total est égal au produit de la force par la distance parcourue.
P
F
d
Calcul du Travail élémentaire lors de la rotation
avec couple C en N.m
W= C . 
travail W en J (joules)
angle  parcouru en rd
W=40 J
Si on exerce une force de 100N inclinée de
45° pour déplacer une masse sur d =3 m
le travail ne dépend pas du chemin
1.3.
 
W = F . d = F.d.cos0 = 20*2
 
W = F d = F.d.cos (45°)
= 100*3* cos (45°)
W= 212 J
Si on exerce un couple de 0.5N.m pour faire
tourner un solide pendant 100tr
Exercice 1:
Calculer l'énergie à fournir à une masse m pour la déplacer d'une hauteur h, la force
exercée sur la corde étant parallèle à celle-ci
Données: m = 10 kg h = 5 m
C
W=C.
= 0.5 * 100 * 2
W=314 J
F
m
F
Exercice 2
Soit un véhicule de masse 800 kg qui gravit une côte à 20% longue de 100 m
Calculer l'énergie à fournir par la voiture pour que le véhicule gravisse cette côte
Solution : 500J
20m
20m
100m
100m
Solution : le calcul du travail ne dépend pas du chemin et revient au produit du poids par la hauteur 160 KJ
Exemple
Un moteur électrique exerce un couple C de 100 mN.m à la vitesse de 1500 tr/mn pendant 10 mn.
Calculer le travail développé par ce moteur.
Solution : 9.4 KJ
ENERGETIQUE
2/3
Energétique
CI 7 : comportement dynamique et énergétique des systèmes
2.
LES ENERGIES
Un ensemble matériel possède de l'énergie lorsqu'il a la capacité de produire un travail
L’énergie potentielle et l'énergie cinétique sont les deux formes de l'énergie mécanique.
L'énergie potentielle est l'énergie en réserve que possède un corps du fait de sa position
(eau d'un barrage, marteau pilon), soit de sa forme (ressort).
L'énergie cinétique correspond aux mouvements des corps
2.1.
2.1.1.
Exemples
Une masse de 2kg située à 2 m du sol
2kg
L'énergie potentielle
Energie potentielle de pesanteur
Ep = mgz = 2*10*2
2m
Ep=40 J
Ep = mgz
z représentant l'altitude d'un corps par rapport au sol ou un repère donné
2.1.2. Energie potentielle d'un ressort
Un ressort de raideur K= 2N/mm comprimé
de 5 mm possèdera une énergie potentielle
1
1
Ep = K(lo - l)²= 2000(0.005)²= 25.10-3J
2
2
1
Ep = K(lo - l)²
2
K étant la raideur du ressort
lo la longueur initiale du ressort et l la longueur du ressort en travail
2.2.
L'énergie cinétique
L'énergie cinétique représente l’énergie emmagasinée par un corps en mouvement
2.2.1. Cas d'un solide 1 en mouvement de translation par rapport à 0
1
Ec = m vG1/0²
2
2.2.2.
Ec =
Cas d'un solide 1 en mouvement de rotation par rapport à
0
1
J w1/0² avec J moment d’inertie (mR²/2 pour un cylindre)
2
2.3.
Théorème de l'énergie cinétique
Pour un système Ec = Wextérieur + Wintérieur
Pour un solide le Wi est nul soit:
Ec = We
2.4.
Théorème: conservation de l'énergie totale
Aucune énergie ne se perd ni ne se crée. Donc si on observe un système en mouvement on
peut dire qu'il conserve son énergie totale autrement dit la variation de cette énergie est
nulle au cours du temps.
2.4.1. Expression de l'énergie totale d'un système:
ET= Ec + Ep + Ecalorifique
Si le système est parfait son rendement est égal à 1. Il ne dégagera donc aucune chaleur
soit (Ecal f - Ecal i) sera égale à 0
La variation de l'énergie totale est nulle soit:
ET = 0
(Ecf - Eci) + (Epf - Epi) = 0
d'ou Ec + Ep = 0
avec Ecf et Epf : énergies finales Eci et Epi : énergies initiales
3.
Puissance
C'est le travail fourni pendant un laps de temps ( plus le travail demandé doit être fort
pendant un temps donné, plus le système doit être puissant
dW
P=
d'ou
dt
3.1 Translation
 
P = F . V = F.V. cos
3.2 Rotation
P =C.w
Une voiture de 800kg lancée à 60km/h
possède une énergie cinétique de
1
1
Ec = m v²= * 800 * 16.67²=111 .1KJ
2
2
Un cylindre de masse 500g et de rayon 4cm
lancé à 1000tr/min possède une énergie
cinétique de
1
1
Ec = J w1/0² = (0.5*0.04²/2)*104.7²
2
2
Ec = 2J
Pour lancer une voiture de 800kg arrêtée à
60km/h il a fallu dépenser un travail de
111.1KJ
A quelle hauteur monte une masse de 2 kg
lancée à 2m/s ?
1
Ec = m v²= 4 J
2
L’énergie cinétique se transforme en énergie
potentielle car ET = 0
D’ou Ep = 4J = mgz soit z = 0.2m
La puissance nécessaire pour monter une
cage d’ascenseur de 800kg à la vitesse de
1.2m/s est
P=F.V=8000*1.2=9.6 kW
Si un moteur exerce un couple Cm=0.1N.m à
la vitesse de 100rd/s la puissance
consommée est P=
Pour lancer une voiture de 0 à 60km/h il a
fallu dépenser un travail de 111.1KJ si ce
démarrage est effectué en 2s la puissance
nécessaire est de
W
P = = 55 KW
t
4.
Rendement
A l'intérieur d'une machine qui transforme de l'énergie il y a des pertes: frottement, effet joule
Le rapport entre ce qui rentre et ce qui sort est le rendement
Ps
=
Pe
ENERGETIQUE
C.w=10W
Pe
Ps
SYSTEME
h<1
3/3