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Équations, inéquations, systèmes
Claudie Chabriac, Jean-Marc Couveignes, Francis Rigal

Table des matières
1 Résumé de cours 2
1.1 Calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Réduire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Supprimer les parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Développer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Factoriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.5 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Équations à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Généralités sur les équations à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Équations du premier degré à 1 inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Équations du second degré à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Inéquations à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Généralités sur les inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Généralités sur les systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Systèmes linéaires comportant autant d’équations que d’inconnues . . . . . . 15
2 Exercices 18
2.1 Développer une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Factoriser une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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Chapitre 1
Résumé de cours
Une équation est une relation d’égalité entre des nombres, dans laquelle apparaît une ou plusieurs
inconnues, qui sont des quantités que l’on cherche à déterminer. Une équation modélise donc un
problème : c’est la première étape pour déterminer la valeur de ces quantités inconnues.
Une inéquation est une relation d’inégalité, (le signe = de l’équation est remplacé par l’un des
signes <,6,>ou >), dans laquelle apparaissent aussi des inconnues.
Lorsque plusieurs quantités sont à déterminer dans un même problème, on a en général plusieurs
équations et on parle alors de système d’équations.
Résoudre une équation d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs de xvérifiant l’égalité. Les
valeurs trouvées sont appelées solutions de l’équation.
Un nombre est solution d’une équation si, en remplaçant l’inconnue par ce nombre, on obtient
une égalité VRAIE.
Prenons, par exemple, l’équation 6x+ 3 = 21.
•2 n’est pas une solution car, en remplaçant xpar 2, on a, dans le premier membre de l’équation,
6×2 + 3 qui est égal à 15.
L’égalité 6×2 + 3 = 21 est donc FAUSSE.
•En revanche, 3 est solution car 6×3 + 3 = 21.
On dispose de méthodes pour résoudre certaines équations, mais il n’est pas nécessaire de connaître
ces méthodes pour vérifier si un nombre est, ou n’est pas, solution d’une équation. Il suffit de rempla-
cer l’inconnue par ce nombre, d’effectuer le calcul, et de vérifier si l’égalité est exacte.
Exemple : On ne peut pas résoudre l’équation 2x3−7x2−7x+ 12 = 0 mais on peut vérifier
que 1 et 4 sont solutions de cette équation.
En effet : 2×13−7×12−7×1 + 12 = 2 −7−7 + 12 = 0 et
2×43−7×42−7×4 + 12 = 128 −112 −28 + 12 = 0.
Pour pouvoir résoudre des équations ou inéquations, il est indispensable de maîtriser le “calcul
littéral”. On va donc commencer par quelques rappels concernant ce type de calcul.
1.1 Calcul littéral
En algèbre, des lettres représentent des nombres. Pour commencer, on précise quelques conventions
d’écriture : le signe ×peut être sous-entendu entre :
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→un nombre et une lettre;
→deux lettres;
→un nombre (ou une lettre) et une parenthèse.
Le calcul littéral donne les règles de calcul et de transformation des expressions contenant des
lettres.
1.1.1 Réduire
Définition : Réduire une expression littérale, c’est l’écrire avec le moins de termes possible.
Propriété : On ne peut réduire une expression littérale qu’en additionnant des termes de même nature,
c’est-à-dire qui contiennent la même lettre affectée du même exposant.
Exemples :
•5x−2x+x2−2−5x2= 3x−4x2−2;
•8b3−2b+b3+ 5b= 9b3+ 3b;
•x2+ 2y2−5x2=−4x2+ 2y2.
1.1.2 Supprimer les parenthèses
Propriété :
•Quand les parenthèses sont précédées du signe “+” et qu’elles ne sont pas suivies de “×” ou de
“÷”, on peut supprimer ce signe +et les parenthèses.
•Quand les parenthèses sont précédées du signe “−” et qu’elles ne sont pas suivies de “×” ou de
“÷”, on peut supprimer ce signe −et les parenthèses, à condition de remplacer chaque terme de la
parenthèse par son opposé : −(a+b) = −a−b=−1×(a+b).
Exemples :
•(8 −2x) + (−6x+ 1) + (5 −x) = 8 −2x−6x+ 1 + 5 −x= 14 −9x;
•(7 −a)−(3a−1) −(−5a+ 4) = 7 −a−3a+ 1 + 5a−4 = 4 + a.
1.1.3 Développer
Définition : Développer une expression, c’est la transformer en une somme et/ou différence de
termes.
On utilise la distributivité : a,b,kétant 3 nombres réels,
k×(a+b) = k×a+k×b
(a+b)×(c+d) = ac +ad +bc +bd
Exemple : 3(5x+ 4) = 3 ×(5x+ 4) = 3 ×5x+ 3 ×4 = 15x+ 12.
Plus généralement, développer, c’est effectuer dans une expression toutes les multiplications pos-
sibles, en tenant compte des ordres de priorité des opérations, puis “enlever” toutes les parenthèses
(Attention aux signes!). Après avoir développé une expression, il faut la “réduire”, c’est-à-dire effec-
tuer toutes les additions possibles (voir 1.1).
Exemples
(2x+ 1)(3x−5) = 2x×3x+ 2x×(−5) + 1 ×(3x) + 1 ×(−5)
= 6x2−10x+ 3x−5 = 6x2−7x−5
3

(x−2)2−(x−3)(2x+ 5) = x2−4x+ 4 −(2x2+ 5x−6x−15)
=x2−4x+ 4 −2x2−5x+ 6x+ 15
=−x2−3x+ 19
1.1.4 Factoriser
Définition :Factoriser, c’est l’opération inverse de développer : on transforme une expression
en un produit de facteurs.
On utilise la distributivité dans le sens inverse : a,b,kétant 3 nombres relatifs,
k×a+k×b=k×(a+b) = (a+b)×k
Exemple : 10x+ 15 = 5 ×(2x+ 3).
À la différence du développement où il suffit d’appliquer les règles de calcul, la factorisation
nécessite un petit travail de réflexion.
→Dans un premier temps, il faut regarder s’il existe un facteur commun. Par exemple, dans l’ex-
pression
(x+ 2)(x−5) −4(x+ 2)
(x+ 2) est multiplié par (x−5) et par −4(attention au signe!). Que faire alors? On écrit le facteur
commun d’abord, puis on ouvre une grande parenthèse (ou même un crochet), où l’on enfourne les
éléments qui étaient multipliés par le facteur commun (c’est la distributivité!). Concrètement, cela
donne :
(x+ 2)(x−5) −4(x+ 2) = (x+ 2) [(x−5) −4]
Il n’y a plus ensuite qu’à simplifier l’intérieur du crochet, en faisant très attention aux problèmes
de signes qui peuvent se poser quand on retire les éventuelles parenthèses. Finalement, on obtient
l’expression factorisée :
(x+ 2)(x−9)
Malheureusement, les choses ne sont pas toujours aussi simples!
→Il arrive que le facteur commun soit caché, parce qu’il est multiplié par une constante. Par
exemple, dans l’expression
(x+ 2)(x−5) −4x−8
le facteur commun (x+ 2) se cache, et cette expression donne en fait la même chose que précédem-
ment.
→Il peut arriver (mais pas dans les exercices que nous traiterons cette année) que le facteur commun se cache
Essayons, par exemple, de factoriser
A=x2−16 + (x−3)(x−4).
Il n’y a pas de facteur commun évident. En revanche, la première partie de l’expression fait intervenir
l’identité remarquable :
x2−16 = (x+ 4)(x−4)
On peut donc terminer la factorisation :
A= (x+ 4)(x−4) + (x−3)(x−4) = (x−4) [(x+ 4) + (x−3)]
= (x−4)(x+ 4 + x−3) = (x−4)(2x+ 1)
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