Première STI 2D - Dérivées des fonctions usuelles

Dérivées des fonctions usuelles
I) Définition
Une fonction est dérivable sur un intervalle (ou une réunion
d’intervalles) D si, et seulement si elle est dérivable pour tout réel   D
Si  est dérivable sur D, on appelle fonction dérivée de  sur D la
fonction notée
’ définie sur D par : → ′
II) Dérivées des fonctions usuelles :
 ∶ é  ∶ éé ’ ∶
’  
’  
’  
’  
] - ∞ ; 0 [∪ ] 0 ; + ∞ [
’ 
’
’
’
’    

III) Dérivées et opérations
1) Somme de deux fonctions
La fonction  définie par    =    est dérivable sur D et
sa dérivée est définie par    ’  = ’  ’ .
Exemples :
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)  =  +  sur 
On obtient ’ = 1 + 
2°)  = 
   – 3 pour  réel,  ≠0
On obtient ’ =  
 – 
3°)  = cos  + sin  sur 
On obtient ’ =  sin + cos 
2) Produit d’une fonction par un réel
La fonction  définie par  =  est dérivable sur D et
sa dérivée est définie par  ’  = ’.
Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)  =7 sur 
On obtient ’ = 7   = 21
2°)  = 
 pour  réel,  ≠0
On obtient ’ =  

3°)  = 3 cos  5 sin  sur 
On obtient ’ =  3 sin 5 cos 
3) Produit de deux fonctions
La fonction  définie par  =  est dérivable sur D et
sa dérivée est définie par  ’  = ’   ’
Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)  =  cos  sur 
En posant  =  et = cos  on a ’ = 2 et ’ =  sin
On obtient ’ = 2 cos  +  ( sin )
’ =  cos    sin
2°)  =  cos  sur 
En posant  =  et = cos  on a ’ = 2 et ’ =  sin
On obtient ’ = 2 cos  +  ( sin )
’ =  cos    sin
4 Inverse d’une fonction
La fonction 
 définie par 
 = 
 est dérivable sur l’ensemble D privé
des réels où = 0 ( D  {  l ≠ 0 }) et sa dérivée est définie par:
() = ’
Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)  = 
 sur 
En posant  = 7 on a ’ = 2
On obtient ’ = 

2°)  = 
 sur ∖,∈ 
En posant  =sin on a ’ = cos
On obtient ’ = 
²
5) Quotient de deux fonctions
La fonction 
 définie par 
 = 
 est dérivable sur l’ensemble D privé
des réels où = 0 ( D  {   ≠ 0 }) et sa dérivée est définie par :
 = ’
Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)  = 
 sur ] -∞ ; 
 [  ]   ; + ∞ [
En posant  = 3  1 et = 5  3 on a ’ = 3 et ’ = 5
On obtient ’ =
 = 
2°)  = 
 sur ∖
2,∈ 
En posant  =sin et  =cos on a ’ = cos et ’ = sin
On obtient ’ = ²
² = ² ² = 
²
′= 
²

6) Tableau récapitulatif
Si et  sont deux fonctions dérivables sur l’ensemble D (D étant un intervalle ou une
réunion d’intervalles) et λ est un nombre réel on a :
Fonction Dérivable sur Dérivée
   D ’  ’
 D ’
 D ’  ’
D  {  ≠ 0 } ′
D  {  ≠ 0 } ′