Première STI 2D - Dérivées des fonctions usuelles

Dérivées des fonctions usuelles
I) Définition
Une fonction est dérivable sur un intervalle (ou une réunion
d’intervalles) D si, et seulement si elle est dérivable pour tout réel
Si est dérivable sur D, on appelle fonction dérivée de
→ ′
fonction notée ’ définie sur D par :
D
sur D la
II) Dérivées des fonctions usuelles :
∶

é
∶
é
’
’
’
 
’
] - ∞ ; 0 [∪ ] 0 ; + ∞ [
’
’
’
’
’
é
’∶
III) Dérivées et opérations
1) Somme de deux fonctions
définie par La fonction
=
sa dérivée est définie par ’
est dérivable sur D et
’
=
’
.
Exemples :
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)
=
+
sur
On obtient ’
2°)
3°)
=1+
=
– 3 pour
On obtient
’
= cos
On obtient
+ sin
’
=
=
réel,
≠0
–
sur
sin + cos
2) Produit d’une fonction par un réel
La fonction
définie par sa dérivée est définie par
=
’
=
Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)
2°)
=7
sur
On obtient
’
=
pour
On obtient
’
=7
réel,
=
= 21
≠0
est dérivable sur D et
’
.
3°)
= 3 cos
On obtient ’
5 sin
sur
= 3 sin
5 cos
3) Produit de deux fonctions
La fonction
=
définie par sa dérivée est définie par est dérivable sur D et
= ’
’
’
Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
=
cos
En posant =
1°)
sur
et
On obtient
’
=
2°)
on a
(
+
=2
’
et ’
=
sin
et ’
=
sin
sin )
sin
cos
En posant =
sur
et
On obtient
=
= 2 cos
’
cos
=
’
= cos
= cos
= 2 cos
’
cos
on a
(
+
=2
’
sin )
sin
4 Inverse d’une fonction
La fonction
définie par des réels où
( ) =
’
= 0 ( D  {
=
l
est dérivable sur l’ensemble D privé
≠ 0 }) et sa dérivée est définie par:
Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)
=
En posant sur
=
On obtient ’
7 on a
=
’
=2
2°)
=
En posant sur
∖
=sin
,∈ on a
On obtient ’
= cos
’
=
²
5) Quotient de deux fonctions
définie par La fonction
des réels où
=
est dérivable sur l’ensemble D privé
= 0 ( D  {
=
’
≠ 0 }) et sa dérivée est définie par :
Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1°)
sur ] -∞ ;
=
En posant =3
1 et
On obtient ’
2°)
=
=sin
On obtient ’
=
=5
on a
= 3 et ’
’
=5
=
∖
2
et ,∈ =cos
² ²
′
;+∞[
3
=
sur
En posant []
=
²
=
on a
’
² ²
= cos
=
et ’
²
=
sin
6) Tableau récapitulatif
Si et sont deux fonctions dérivables sur l’ensemble D
réunion d’intervalles) et λ est un nombre réel on a :
Fonction
Dérivable sur
(D étant un intervalle ou une
Dérivée
D
’
D
’
’
D
’
D{ ≠ 0 }
D{ ≠ 0 }
’
′
′