Chute verticale dans un fluide - e

PHYSIQUE TS : FICHE COURS 8
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CHUTE VERTICALE DANS UN FLUIDE
Ce qu'il faut retenir
Chute verticale dans un fluide
1. Les forces exercées sur un objet en mouvement de
chute dans un fluide
1.1. Poids d’un objet et champ de pesanteur
™ Le poids d’un objet au voisinage de la Terre
Le poids d’un objet de masse m, est la force attractive, à distance, notée P , exercée
par la Terre sur cet objet : elle est assimilée en première approximation à une force de
gravitation qui a les caractéristiques suivantes :
¾
son point d’application : le point M, centre de gravité de l’objet ;
¾
sa direction : la verticale passant par M ( = direction d’un fil à plomb contenant M )
¾
son sens : du haut vers le bas ;
¾
sa valeur : P = m.g où g est appelé intensité de la pesanteur terrestre au point M.
verticale de M
O
P
M
x
x
g (M)
Unités : P en N; m en kg et g en N.kg-1 ou en m.s-2 ( unité qui peut être trouvée à partir
de la conservation de l’énergie mécanique par analyse dimensionnelle ).
™ Le champ de pesanteur terrestre
Le champ de pesanteur terrestre en un point M est une grandeur vectorielle notée g (M), appelé vecteur champ
de pesanteur au point M, défini par l’une des deux relations équivalentes :
. g (M) = P
m
ou
P = m. g (M)
où P est le vecteur poids d’un objet de masse m quelconque dont le centre de gravité est situé au point M .
Le vecteur g (M) :
¾
est indépendant de la valeur de m ;
¾
est colinéaire et de même sens que P ( cf figure ci-avant ) (vertical et de haut en bas )
¾
a pour valeur g, intensité de la pesanteur au point M ;
¾
ne dépend que de la position de M ;
¾
existe, qu’il y ait ou non une masse au point M ( une masse m servant à détecter le champ de pesanteur ).
Le vecteur champ de pesanteur g (M) dépend de la position du point M par rapport à la Terre, c’est à dire du
lieu considéré.
9,83 m.s-2
x
-2
x 9,81 m.s
Quelques valeurs du champ de pesanteur en divers lieux
La valeur du champ de pesanteur terrestre a des variations relatives :
¾
¾
faibles à la surface de la Terre ( deux raisons essentielles : aplatissement de
la Terre et rotation propre de la Terre qui n’est pas tout à fait un
référentiel galiléen ).
RT
de façon importante avec l’altitude ( loi de la gravitation universelle ).
x
RT
2,5 m.s-2
x
9,78 m.s-2
9,83 m.s-2
™ Champ de pesanteur uniforme
Un champ de pesanteur est uniforme si g (M) = cst , c’est à dire est indépendant de la position de M.
En toute rigueur, le champ de pesanteur terrestre n’est pas uniforme : dès que l’on
se déplace, la direction et (ou ) la valeur de g (M) changent.
Cas d’un champ de pesanteur localement uniforme: dans un domaine de l’espace
à la surface de la Terre, dont les dimensions sont limitées à quelques kilomètres
( c’est à dire petites devant le rayon de la Terre ), on peut considérer que le
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champ de pesanteur est quasiment uniforme ( faible variations relatives de direction et de valeur ) : on dit qu’il est
localement uniforme ( cf figure ci-contre )
1.2. La poussée d’Archimède
Théorème d’Archimède
Tout corps immergé dans un fluide ( liquide ou gaz ) est soumis de la part de celui-ci à un
ensemble de forces de pression équivalentes à une force unique F A , appelée poussée
d’Archimède :
FA
¾
de direction verticale ;
¾
orientée vers le haut ;
¾
de valeur égale au poids du fluide déplacé :
F A = - mf . g = - ρf .V. g
où FA est exprimée en newton (N), mf , masse de fluide déplacé en kg, g, intensité de la
pesanteur en m.s-2 , ρf masse volumique du fluide en kg.m-3 et V, volume du fluide déplacé
( égal au volume du corps immergé ) en m3.
fluide
On ressent les effets de la poussée d’Archimède lorsque l’on se trouve dans l’eau, où l’on se sent plus léger, car la
poussée d’Archimède a une valeur voisine du poids de la partie du corps immergé, la densité du corps humain par
rapport à l’eau étant voisine de 1.
Remarque utile : on rappelle la relation existant entre la densité d d’un corps par rapport à l’eau et sa masse
ρ
volumique ρ : d =
. La densité d est sans unité.
ρ (eau)
1.3. La force de frottement fluide
Un corps en mouvement dans un fluide est soumis à un instant donné de date t, de la part de ce
fluide à un ensemble de forces de frottement équivalentes à une force unique f , appelée force
de frottement fluide :
¾
de même direction que le vecteur vitesse v du corps à la date t ;
¾
de sens opposé à v ;
f
v
fluide
¾ de valeur f fonction croissante de la valeur v du vecteur vitesse
Modélisation possible de f ( à ne pas retenir par cœur )
f = - K vn u
où K et n sont des coefficients empiriques, dépendant de nombreux paramètres, tels que la nature du fluide ( viscosité,
masse volumique), de la forme du solide, de ses dimensions, de l’état des surfaces de contact solide-fluide, de l’ordre
de grandeur de la valeur de la vitesse, u étant un vecteur unitaire orienté dans le sens de v .
pour des vitesses peu élevées, n = 1 est souvent en accord avec l’expérience : f = - K v
pour des vitesses plus élevées, on prend souvent n = 2 : f = - K v2 u
2. Etude expérimentale d’une chute verticale dans un fluide
L’expérience ( cf TP ) montre que la vitesse de chute v d’un objet lâché sans vitesse
initiale dans un fluide :
v
vitesse limite
vlim
augmente progressivement ( régime transitoire ) ;
tend au bout d’un certain temps vers une vitesse limite vlim qui dépend de
l’objet lâché et du fluide ( régime permanent ).
régime
transitoire
On a représenté ci-contre l’allure des variations de v en fonction du temps ainsi que
les deux régimes qui caractérisent établissement de la vitesse limite.
temps caractéristique
régime
permanent
τ
régime initial
t
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Exploitation de la courbe v = f(t)
La courbe v = f(t) :
fait apparaître un temps caractéristique τ qui est obtenu graphiquement par la méthode classique utilisant la
tangente à l’origine et l’asymptote ( attention, les variations v(t) ne sont pas en général en exponentielle croissante ) :
ce temps caractéristique donne un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire ;
permet de connaître les variations de l’accélération de l’objet au cours du temps : l’accélération a(t),
coefficient directeur de la tangente à la courbe v = f(t) au point d’abscisse t, est maximale à la date t = 0, puis
décroît progressivement jusqu’à s’annuler ( la vitesse limite est alors atteinte ) ;
permet de calculer l’accélération initiale a(0) ( régime initial ) : a(0) = vlim/τ
Interprétation qualitative des variations temporelles de la vitesse de chute v
Au départ ( régime initial ) seuls existent le poids et la poussée d’Archimède ( en
général de valeur plus petite que celle du poids ) car la vitesse initiale est nulle
( la force de frottement fluide initiale est nulle ): les forces ne se compensent
pas et l’objet se met en mouvement ( principe d’inertie ) vers le bas : en effet, F ≈ cste
A
d’après la deuxième loi de Newton, a (0) est vertical orienté vers le bas, et le
mouvement ne pouvant être qu’accéléré au départ ( la vitesse, nulle au départ ne
pouvant qu’augmenter ), le vecteur vitesse juste après l’instant t = 0 est de même
f
f augmente
P ≈ cste
sens que a , c’est à dire vers le bas.
v
v augmente
La vitesse augmentant, la valeur de la force de frottement fluide augmente,
venant ajouter à la poussée d’Archimède ( quasiment constante ) son effet
d’opposition au poids ( également quasiment constant ).
La somme des forces extérieures voit donc sa valeur diminuer progressivement et il en est de même de la valeur du
vecteur accélération. ( deuxième loi de Newton ).
Lorsque la force de frottement fluide et la poussée d’Archimède compensent le poids, le vecteur vitesse reste
constant ( vitesse limite atteinte ) d’après le principe d’inertie ( la deuxième loi de Newton permet également de
retrouver cette propriété, car le vecteur accélération est alors nul tout le temps ce qui implique que le vecteur vitesse
reste constant ).
3. Modélisation du mouvement de chute verticale dans un fluide
Hypothèse : la chute a lieu dans un champ de pesanteur uniforme g .
Equation différentielle du mouvement
C’est l’occasion de préciser les étapes à suivre pour la résolution d’un problème de Mécanique utilisant la
deuxième loi de Newton.
Choix du système d’étude : ici l’objet en état de chute.
x
Choix du référentiel galilée
O
u
n d’étude : ici le référentiel terrestre.
Inventaire et schématisation des forces extérieures : le poids P = m g , la poussée
d’Archimède F A = - mf g , ( poids et poussée d’Archimède sont constants pendant la
chute car le champ de pesanteur est uniforme ) et force de frottement fluide
f
FA
P
f = - K vn u où u est un vecteur unitaire vertical orienté vers le bas.
Application de la deuxième loi de Newton : m a = m g - mf g - K. vn u
y
Choix d’un repère d’espace pour projeter la deuxième loi de Newton : ici les forces étant colinéaires, un
repère de dimension 1 ( O, u ) suffit, qui nous donne un axe Oy vertical orienté vers le bas. On obtient alors
l’équation différentielle du mouvement: m
dv y
= (m - m f ) g - K.vYn que l’on peut alors écrire sous la forme :
dt
dv y
= B - A.vYn
dt
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avec B = (1 – mf /m ).g et A = K/m.
L’équation différentielle du mouvement de chute n’est pas apprendre par cœur : les coefficient B et A peuvent
s’exprimer, suivant le problème posé, en fonction d’autres grandeurs physiques, masses volumiques, densité, volume de
l’objet par exemple.
Obtention de la vitesse limite
Il suffit d’écrire que
dv y
= 0 ( qui traduit vY = vlim = cste ). On obtient alors la relation : B – A.vlimn = 0
dt
Résolution numérique de l’équation différentielle par la méthode d’Euler
² Méthode d’Euler
La méthode d’Euler est une méthode itérative qui consiste à calculer pas à pas, de façon approchée, les valeurs
successives de vY(t) à des instants séparés par des intervalles de temps égaux Δt, appelé pas de la résolution :
¾
ΔvY
de la fonction vY(t) est approximativement égal à aY.(t)
Δt
( approximation d’autant mieux vérifiée que le pas Δt est plus petit ), ce qui nous donne alors la relation
d’itération :
en supposant que le taux d’accroissement
vY ( t + Δt ) = vY ( t) + aY.(t). Δt
¾
en tenant compte de l’équation différentielle de chute vérifiée par vY(t) qui s’écrit sous la forme
aY.(t) = B – A.vYn(t)
² Réalisation pratique du calcul des valeurs successives
La méthode de calcul est résumée dans le tableau ci-après, les flèches indiquant l’ordre des calculs à réaliser.
Date
Vitesse
Accélération
to = 0
vY(to ) connu
aY.( to ) = B – A.vY (to)
t1 = to + Δt
vY (t1) = vY (to) + aY.( to ). Δt
aY.( t1 ) = B – A.vY (t1)
t2 = t1 + Δt
vY (t2) = vY (t1) + aY.( t1 ). Δt
aY.( t2 ) = B – A.vY (t2)
...........
............
.............
tn-1 = tn-2 + Δt
vY (tn-1) = vY (tn-2) + aY.( tn-2 ). Δt
aY.( tn-1 ) = B – A.vY (tn-1)
tn = tn-1 + Δt
vY (tn) = vY (tn-1) + aY.( tn-1 ). Δt
aY.( tn ) = B – A.vY (tn)
² Pertinence des courbes obtenues par rapport aux résultats expérimentaux
La résolution numérique est acceptable à condition que la courbe obtenue par itération soit la plus proche
possible de la courbe expérimentale ( cf TP ). Il faut pour cela deux conditions :
Un choix pertinent du pas de la résolution
Un pas trop grand donne des résultats aberrants ( la relation d’itération n’est plus valable )
Un pas trop petit donne une meilleure précision sur les valeurs de vY(t), mais augmente considérablement le nombre
de calculs.
Un pas raisonnable est environ le vingtième de la durée du régime transitoire.
Un choix pertinent de la valeur de n
La valeur de n doit être choisie par tâtonnement de façon à ce que la courbe obtenue par itération épouse au mieux
la courbe expérimentale : on a alors modélisé la force de frottement fluide pour la chute étudiée.