Fiche 1 - Nombres complexes

Techniques math´ematiques de base Printemps 2014
Fiche 1 - Nombres complexes
Exercice 1. Simplifier l’´ecriture des nombres complexes suivants en les mettant
sous forme alg´ebrique a+ib.
1. (1 + 3i)(7 −i)
2. 1+2i
2+i
3. 2+5i
1−i
4. (2 + 3i)3
5. eiπ
3eiπ 4
6. 1+i√3
√3+i
7. 9+2i
3−2i
8. 2−5i
1+i
9. eiπ
6e−iπ 3
Exercice 2. Calculer la norme des nombres complexes de l’exercice 1.
Exercice 3. ´ Ecrire les nombres complexes suivants sous forme trigonom´etrique reiθ .
1. 2eiπ
3×3eiπ 4
2. (1 −i)eiπ
6
3. i(cos(π
5) + isin(π 5))
4. 7eiπ
4
5. −2e1+iπ
3
6. −1 + i
7. √3 + i
8. 1+i√3
√3+i
9. −√6 + i√2
Exercice 4. Soient xet y∈R, en utilisant les nombres complexes, d´emontrer les
formules trigonom´etriques suivantes.
1. cos(x+y) = cos(x) cos(y)−sin(x) sin(y)
2. sin(x+y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
3. 4 cos(x)3−3 cos(x) = cos(3x)
4. cos(x)2=1
2(cos(2x) + 1)
Exercice 5. Soient n∈Net θ∈R, on note A=Pn
k=0 cos(kθ) = cos(0) + cos(θ) +
··· + cos(nθ) et B=Pn
k=0 sin(kθ) = sin(0) + sin(θ) + ··· + sin(nθ). On se propose
de calculer Aet B`a l’aide des nombres complexes. On note Z=A+iB.
1. R´eexprimer Zsous la forme d’une somme d’exponentielles complexes.
2. Calculer Zet en d´eduire une expression plus simple de Aet B.
3. Calculer 1 + cos(π
6) + ··· + cos(5π 6).
Exercice 6. Placer les complexes suivants dans un rep`ere orthonorm´e.
1. 2i
2. 2 −i
3. e2iπ
3
4. 1 + eiπ
3
5. cos(π
6) + isin(π 6)
6. 1
1+i
Exercice 7. D´eterminer la nature g´eom´etriques des sous-ensembles de Csuivants,
et tracer ces sous-ensembles.
Indication : pour le 6, mettre l’´equation sous la forme |z−a|2=r2.
1. {z∈C|zz = 4}
2. {z∈C|z+z= 1}
3. {z∈C| |z−2|=|z+i|}
4. {z∈C|arg(z−i) = π
4}
5. {z∈C\ {1} | <(z+1
z−1) = 0}
6. {z∈C| |z|2−2<((1 −i)z) = −1}
Licence PCSI 1 Universit´e Claude Bernard - Lyon 1

Techniques math´ematiques de base Printemps 2014
Exercice 8. Soient Aet Bdes points du plan complexe d’affixes respectives aet
b∈C. Dans chacun des cas suivants, calculer l’affixe zdu milieu du segment [AB].
1. a= 0 et b= 1 + i2. a= 1 et b=i3. a=eiπ
6et b=eiπ 2
Exercice 9. Calculer l’isobarycentre des points du plan complexe A,B,Cet D
d’affixes respectives 1, i, 1 + iet −1 + i.
Exercice 10. Soient aet b∈C, montrer que : |a+b|2+|a−b|2= 2(|a|2+|b|2).
Interpr´eter g´eom´etriquement cette ´egalit´e, connue sous le nom d’identit´e du pa-
rall´elogramme.
Exercice 11. Soit α∈[0,π
2[.
1. ´ Ecrire sous forme trigonom´etrique le complexe e2iα + 1.
2. Calculer sa partie r´eelle et sa partie imaginaire.
3. Placer dans un rep`ere orthonorm´e les complexes d’affixes eiα,e2iα,−1, 0 et 1.
4. Identifier sur le sch´ema un vecteur d’affixe e2iα+1 et interpr´eter g´eom´etriquement
le r´esultat de la question 1. Remarquer qu’on a prouv´e le th´eor`eme de l’angle
au centre.
Exercice 12. Soient A, B, C et Dquatre points du plan complexe d’affixes respec-
tives a, b, c et d∈C. On suppose que a6=bet c6=d, et on note z=b−a
d−c.
1. Montrer que les vecteurs
# 
AB et
# 
CD sont orthogonaux si et seulement si z∈iR
(c’est-`a-dire zest imaginaire pur).
2. Montrer que
# 
AB et
# 
CD sont colin´eaires si et seulement si z∈R.
3. Dans ce cas, montrer que
# 
AB et
# 
CD sont de mˆeme sens si z > 0 et de sens
oppos´es si z < 0.
Exercice 13. Soit z∈C\ {1}tel que |z|= 1.
1. Montrer analytiquement que z+1
z−1est imaginaire pur.
2. Placer les complexes 0, 1, −1, zet le cercle unit´e dans un rep`ere orthonorm´e.
3. Interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat de la question 1 et retrouver un r´esultat
classique sur les triangles inscrits dans un cercle ayant un diam`etre pour cˆot´e.
Exercice 14. Soient A, B et Ctrois points distincts du plan complexe, d’affixes
respectives a, b et c∈C. Montrer que le triangle ABC est ´equilat´eral si et seulement
si c−a
b−aest ´egal `a eiπ
3ou `a e−iπ 3.
Licence PCSI 2 Universit´e Claude Bernard - Lyon 1