Exercices de licence

Exercices de licence
Les exercices sont de :
Corn´elia Drutu (alg`ebre et th´eorie des nombres)
Volker Mayer (topologie, analyse r´eelle)
Leonid Potyagailo (alg`ebre et g´eom´etrie)
Martine Queff´elec (analyse r´eelle, analyse complexe)
Les sujets d’examens sont de :
Anne-Marie Chollet (variable complexe : VC)
Gijs Tuynman (analyse r´eelle et complexe : AR et ARC)

Table des mati`eres 2
Table des mati`eres
I Topologie 4
1 Notions de topologie I 4
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Topologie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Notions de topologie II 8
2.1 Topologie s´epar´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Topologie induite, topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Fonctions continues sur R................................................... 9
2.4 Continuit´e dans les espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Topologie des espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Comparaison de topologies et de m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Suites, limites et valeurs d’adh´erence, points d’accumulation et points isol´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Notions de topologie III 15
3.1 Hom´eomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Dualit´e, isom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Prolongement de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 M´etrique de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Connexit´e 18
4.1 Connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Compacit´e 21
5.1 Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Compacit´e dans les espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Analyse r´eelle 27
6 Applications lin´eaires born´ees 27
6.1 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2 Formes lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7 Espaces m´etriques complets, Banach 29
7.1 Espaces m´etriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Espaces norm´es, Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8 Th´eor`eme du point fixe 32
9 Applications uniform´ement continues 34
9.1 Applications uniform´ement continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.2 ´ Equicontinuit´e, th´eor`eme d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10 Applications diff´erentiables 37
10.1 Applications diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.2 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
11 Th´eor`eme d’inversion locale et des fonctions implicites 41
11.1 Th´eor`emes d’inversion ; diff´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.2 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11.3 Sous-vari´et´es de Rn....................................................... 45
12 Diff´erentielles d’ordre sup´erieur, formule de Taylor, extremums 46
12.1 Diff´erentielles d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
12.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
12.3 Formule de Taylor, extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13 Equations diff´erentielles 48
13.1 Equations diff´erentielles : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.2 Solutions maximales d’´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
13.3 Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
13.4 Syst`emes `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
13.5 R´esolvantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III Alg`ebre et g´eom´etrie 57

Table des mati`eres 3
14 G´en´eralit´es sur les groupes 57
15 Groupes et actions 59
16 Isom´etries euclidiennes 60
17 G´eom´etrie diff´erentielle ´el´ementaire de Rn62
18 G´eom´etrie et trigonom´etrie sph´erique 62
19 Le groupe orthogonal et les quaternions 63
20 G´eom´etrie projective I 64
21 G´eom´etrie projective II : homographies de CP164
21.1 Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
21.2 Propri´et´es des homographies de CP1............................................. 65
22 G´eom´etrie et trigonom´etrie hyperbolique 66
IV Analyse complexe 67
23 S´eries enti`eres 67
24 Fonctions holomorphes 69
25 Fonctions logarithmes et fonctions puissances 71
26 Formule de Cauchy 73
27 Cons´equences de la formule de Cauchy 76
28 Singularit´es 80
29 Int´egrales curvilignes 82
30 Th´eor`eme des r´esidus 84
31 Fonctions Zeta et autres... 86
31.1 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
31.2 Transformations de C..................................................... 89
V Alg`ebre et th´eorie des nombres 89
32 Groupes 89
33 Sous-groupes, morphismes 91
34 Groupes finis 93
35 Anneaux, corps 95
36 Polynˆomes 97
37 Extension de corps 99
38 Extension d’anneau 100
VI Sujets d’examens 101
39 Examen AR janvier 1994 101
40 Examen AR juin 1994 102
41 Examen AR septembre 1994 103
42 Examen AR janvier 1995 104
43 Examen AR juin 1995 105
44 Examen AR septembre 1995 106
45 Examen AR juin 1996 107
46 Examen ARC d´ecembre 1998 108

1 Notions de topologie I 4
47 Examen ARC janvier 1999 110
48 Examen ARC septembre 1999 111
49 Examen ARC novembre 1999 112
50 Examen ARC janvier 2000 114
51 Examen ARC septembre 2000 115
52 Examen ARC d´ecembre 2000 116
53 Examen ARC janvier 2001 117
54 Examen ARC septembre 2001 118
55 Examen VC janvier 96 119
56 Examen VC avril 96 120
57 Examen VC juin 96 121
58 Examen VC septembre 96 123
59 Examen VC janvier 98 125
VII Corrections 127
Premi`ere partie
Topologie
1 Notions de topologie I
1.1 Rappels
Exercice 1 1. Rappeler les d´efinitions d’une borne sup´erieure (inf´erieure) d’un ensemble de nombres r´eels.
Si Aet Bsont deux ensembles born´es de R, comparer avec sup A, inf A, sup Bet inf Bles nombres
suivants :
(i) sup(A+B), (ii) sup(A∪B), (iii) sup(A∩B), (iv) inf(A∪B), (v) inf(A∩B).
2. Pour x∈Rnet A⊂Rnon d´efinit d(x, A) = infa∈A||x−a||. Trouver d(0,R−Q), d(√2,Q), d(M, D) o`u
M= (x, y, z)∈R3et Dest la droite de vecteur unitaire (a, b, c).
3. Pour A, B ⊂Rnon d´efinit d(A, B) = infa∈A,b∈B||a−b||. Trouver d(A, B) lorsque Aest une branche de
l’hyperbole {(x, y)∈R2;xy = 1}et Bune asymptote.
4. On d´efinit diamA= supa,b∈A||a−b||. Quel est diam([0,1] ∩Q) ? diam([0,1] ∩R−Q) ?
Exercice 2 Montrer que tout ouvert de Rest union d´enombrable d’intervalles ouverts deux `a deux disjoints.
(Indication : si x∈Oouvert, consid´erer Jx=∪des intervalles ouverts, ⊂Oet 3x). D´ecrire de mˆeme les
ouverts de Rn.
Exercice 3 On va montrer que l’ensemble Ddes r´eels de la forme p+q√2 o`u pet qd´ecrivent Z, est dense
dans R.
1. Remarquer que Dest stable par addition et multiplication.
2. Posons u=√2−1 ; montrer que pour tous a < b, on peut trouver n>1 tel que 0 < un< b −a, puis m
v´erifiant a < mun< b.
En d´eduire le r´esultat.
1.2 Topologie g´en´erale
Exercice 4 1. Soit X={0,1}muni de la famille d’ouverts {∅,{0}, X}. Cette topologie est-elle s´epar´ee ?
2. Soit Xun ensemble non vide. D´ecrire la topologie dont les singletons forment une base d’ouverts.

1 Notions de topologie I 5
3. D´ecrire la topologie sur Rdont la famille des intervalles ferm´es forme une base d’ouverts ; mˆeme question
avec les intervalles ouverts sym´etriques.
4. Soit Xun ensemble infini. Montrer que la famille d’ensembles constitu´ee de l’ensemble vide et des parties
de Xde compl´ementaire fini d´efinit une topologie sur X.
Exercice 5 Soit Xun espace topologique, et fune application quelconque de Xdans un ensemble Y. On dit
qu’une partie Ade Yest ouverte, si f−1(A) est un ouvert de X. V´erifier qu’on a d´efini ainsi une topologie sur
Y.
Exercice 6 Montrer qu’on peut construire sur R∪ {∞} une topologie s´epar´ee en prenant comme ouverts, les
ouverts de Ret les ensembles de la forme {x/|x|> a} ∪ {∞} o`u aest r´eel. Comment construire une topologie
s´epar´ee sur R∪ {+∞} ∪ {−∞}?
Exercice 7 Soit Xun ensemble non vide et Σ une famille de parties de Xstable par intersection finie et
contenant X. Montrer que la plus petite topologie Tcontenant Σ (la topologie engendr´ee par Σ) est constitu´ee
des unions d’ensembles de Σ, ou, de fa¸con ´equivalente,
A∈ T ⇐⇒ ∀x∈A∃S∈Σ ; x∈S⊂A.
Montrer que l’on peut affaiblir l’hypoth`ese de stabilit´e par intersection finie en :
(∗)∀S1, S2∈Σ,∀x∈S1∩S2,∃S3∈Σ ; x∈S3⊂S1∩S2.
Exercice 8 Soit Cl’ensemble des fonctions continues r´eelles sur [0,1]. Pour toute f∈Cet ε > 0 on d´efinit
M(f, ε) = {g/ Z1
0|f−g|< ε}.
Montrer que la famille M des ensembles M(f, ε) lorsque f∈Cet ε > 0 est une base de topologie. Mˆeme
question avec la famille
U(f, ε) = {g/ sup
x|f(x)−g(x)|< ε}.
Exercice 9 Udans Nest dit ouvert s’il est stable par divisibilit´e, c.a.d. tout diviseur de n∈Uest encore dans
U. Montrer qu’on a d´efini ainsi une topologie sur Nqui n’est pas la topologie discr`ete.
Exercice 10 On consid`ere dans N∗, la famille de progressions arithm´etiques
Pa,b ={a+bn/n ∈N∗},
o`u aet bsont deux entiers premiers entre eux.
1. Montrer que l’intersection de deux telles progressions est soit vide, soit une progression arithm´etique de
mˆeme nature, plus pr´ecis´ement,
Pa,b ∩Pa0,b0=Pα,β
o`u αest le minimum de l’ensemble Pa,b ∩Pa0,b0, et β= ppcm (b, b0).
2. En d´eduire que cette famille d’ensembles (en y adjoignant ∅) forme une base de topologie sur N∗dont on
d´ecrira les ouverts.
3. Montrer que cette topologie est s´epar´ee.
1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere
Exercice 11 1. Montrer que si Best un ouvert de l’espace topologique Xet A∩B=∅, alors A∩B=∅,
mais que A∩Bn’est pas n´ecessairement vide.
2. Montrer `a l’aide d’exemples que l’´egalit´e ∪iAi=∪iAin’a pas lieu en g´en´eral pour une infinit´e d’indices.
Exercice 12 D´eterminer l’adh´erence et l’int´erieur des ensembles suivants :
Q;R\Q;{(x, y)∈R2/0< x < 1, y = 0};{(x, y, z)∈R3/ x = 0} {1
n, n >1}; le cercle unit´e de R2.
Exercice 13 Si Aest une partie de l’espace topologique X, on pose α(A) = ◦ Aet β(A) = ◦
A.
1. Montrer que αet βsont des applications croissantes pour l’inclusion de P(X) dans P(X).
2. Montrer que si Aest ouvert, A⊂α(A) et si Aest ferm´e, β(A)⊂A. En d´eduire que α2=αet β2=β.