Contrôle final – durée 3h Exercice 1 Exercice 2

Universit´e Lyon 1 Topologie G´en´erale
Licence Sciences, Technologies, Sant´e Simon Masnou
Mention Math´ematiques Vendredi 10 janvier 2014
Contrˆole final – dur´ee 3h
Les appareils ´electroniques (notamment les portables !) et les documents sont interdits
L’´enonc´e comporte deux exercices et un probl`eme, r´epartis sur trois pages
Exercice 1
1. Soit Xun espace m´etrique et (fn) une suite d’applications continues `a valeurs dans un
espace m´etrique Y, convergeant vers funiform´ement sur X. Montrer que si (xn) est
une suite de points de Xconvergeant vers x∈X, alors fn(xn) tend vers f(x).
2. Application : soit Xun espace m´etrique compact, et soit (fn) une suite d’applications
continues de Xdans X, ayant chacune un point fixe ; on suppose que la suite (fn)
converge vers une fonction funiform´ement sur X. Montrer que fa aussi un point fixe.
Exercice 2
Soit Iun intervalle ouvert de Ret soit f:I→Rune application d´erivable. Notons
A={(x, y)∈I×I;x<y}.
1. Montrer que Aest une partie connexe de R2.
2. Pour (x, y)∈A, posons g(x, y) = f(y)−f(x)
y−x. Montrer que g(A)⊂f0(I)⊂g(A).
3. En d´eduire que f0(I) est un intervalle.
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Probl`eme
Un espace de Baire est un espace topologique dans lequel toute suite d’ouverts denses
a une intersection dense. En d’autres termes, Xest un espace de Baire si pour toute suite
d’ouverts (On) tels que On=Xon a
\
n
On=X
Partie I
1. Nous allons d´emontrer le r´esultat suivant (th´eor`eme de Baire) :
Tout espace m´etrique complet est un espace de Baire
Soit (E, d) un espace m´etrique complet. On consid`ere une suite (On)n≥1d’ouverts
denses dans E, on d´efinit A=TnOnet on se donne un ouvert Onon vide.
(a) Construire par r´ecurrence une suite de boules ferm´ees Bnnon vides telles que
¯
B1⊂O1∩O,
∀n≥2,¯ Bn⊂On∩¯ Bn−1,
∀n≥1,diam ¯ Bn≤1
n
(b) Citer le r´esultat de cours permettant d’affirmer que l’intersection des ¯ Bnest non
vide.
(c) En d´eduire que A∩Oest non vide.
(d) En d´eduire que Aest dense dans E.
2. On va en d´eduire le corollaire suivant :
Soit (E, d)un espace m´etrique complet qui est r´eunion d´enombrable de ferm´es Fn
(E=SnFn). Alors la r´eunion des int´erieurs des Fnest un ouvert dense de E.
On note Ω la r´eunion des int´erieurs des Fn, i.e. Ω = Sn
◦
Fn, et F0
n=Fn∩(E\Ω).
(a) Montrer que chaque F0
nest un ferm´e d’int´erieur vide.
(b) Montrer, `a l’aide du th´eor`eme de Baire, que SnF0
nne peut contenir aucun ouvert
(c) En d´eduire que SnF0
n=E\Ω et conclure.
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Partie II
Le th´eor`eme de Baire a des cons´equences importantes. Nous allons en voir une, le
th´eor`eme de Banach-Steinhaus :
Soit Xun espace de Banach, Yun espace norm´e et (un)une suite d’applications lin´eaires
et continues un:X→Y. Alors
(i) Si la suite (un)est ”simplement born´ee” alors elle est uniform´ement born´ee sur la boule
unit´e, autrement dit kunkL(X,Y )≤M. En d’autres termes, si
∀x∈X, ∃Mx,∀n, kun(x)kY≤Mx
alors
∃M, ∀x∈X, ∀n, kun(x)kY≤MkxkX
(ii) Si pour chaque x∈X,un(x)converge vers une limite qu’on note u(x), alors l’applica-
tion u:X→Yest lin´eaire et continue.
1. Prouvons d’abord le point (i). On consid`ere pour tout k∈N,
Fk={x∈X, ∀n, kun(x)kY≤k}
(a) Montrer que chaque Fkest ferm´e dans X
(b) Montrer que Xest la r´eunion croissante de tous les Fk.
(c) En d´eduire, `a l’aide du th´eor`eme de Baire, qu’il existe au moins un Fkqui contient
une boule ferm´ee ¯ B(a, r) avec r > 0. Que peut-on dire de kun(x)kYpour x∈
¯
B(a, r) ?
(d) Que peut-on en d´eduire pour kun(x)kYlorsque xappartient `a la boule unit´e
ferm´ee ¯ B(0,1) ? Conclure.
2. Preuve du point (ii) :
(a) Montrer que l’application limite uest lin´eaire.
(b) Montrer que pour tout x∈Xla suite (un(x)) est born´ee.
(c) Conclure en utilisant (i) et en passant `a la limite quand n→ ∞.
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