Chapitre. Multiplication des nombres relatifs. I.Multiplication 1) Multiplication par 0. Théorème admis: Pour tout nombre relatif a, on a: a×0=0×a=0 Démonstration: Si a est un nombre positif, on le sait déjà. Si a est négatif, on note b l'opposé de a qui est un nombre positif, et de plus a + b = 0. (a + b) × 0 = 0 = a × 0 + b × 0 Or b × 0 = 0. Donc a × 0 = 0. 2) Conséquence: multiplication par ( − 1 ) multiplier un nombre relatif par ( - 1 ) , c'est calculer son opposé. Démonstration: Soit a un nombre quelconque. a ((−1 ) + 1) = a × 0 = 0 a ((−1 ) + 1) = a × (− 1) + a × 1 = a × (−1) + a Donc a × (−1) + a = 0 soit a × (−1) + a − a = 0 − a soit a × (−1) = − a. 3) Produit de deux nombres relatifs. dans le socle La démonstration est compliquée mais peut se faire sur des exemples exemple 1: 3×2=6 exemple 2: A = (− 3) × (−2) A = (−1) × 3 × (−1) × 2 A = (−1) × (−1) × 3 × 2 A=1×6 A=6 exemple 3: B = 3 × (− 2) B = 3 × (−1) × 2 B=−6 Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif. C'est-à-dire: • Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif; • Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif • Le produit de deux nombres relatifs de signes contraire est un nombre négatif. • Dans tous les cas, la distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro, Si un produit comporte un nombre impair de facteurs négatifs, alors le produit est négatif. Si un produit comporte un nombre pair de facteurs négatifs, alors le produit est positif. exemple 4: C = (− 2) × 3 × (− 9) × (− 5) × ( − 8) Ce produit comporte 4 facteurs négatifs, donc un nombre pair de facteur négatifs. Donc le produit est positif. II. Parenthèses et priorité des opérations. hors socle 1) Conventions d'écriture. On peut supprimer le signe " × " • entre deux lettres: x × y = x y • entre un nombre et une lettre si le nombre est écrit à gauche de la lettre: 2 × x = 2 x. • devant une parenthèse: 2 × (3 + 5 ) = 2 (3 + 5 ) a × ( b + c ) = a ( b + c ). On n'écrit pas x 2, ni 2 3 qui pourrait être confondu avec le nombre 23(vingt-trois). On enlève le signe × lorsqu'il n'y a pas de confusion possible. 2) utilisation des parenthèses. Dans un calcul avec parenthèses, on calcule en priorité le résultat des opérations entre parenthèses, puis on termine le calcul. exemple 1: ( 23 + 5 ) × (26 − 6 ) = 28 × 20 ( 23 + 5 ) × (26 − 6 ) = 560 3) Priorité des opérations. En l'absence de parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions. exemple 1: 2 × 5 + 17 = ( 2 × 5 ) + 17 2 × 5 + 17 = 10 + 17 2 × 5 + 17 = 27 toutes les calculatrices ne respectent pas les règles de priorité. Une calculatrice non scientifique réalise les calculs au fur et à mesure. Il ne faut pas enlever les parenthèses si elles sont précédées du signe négatif ("−") et elles contiennent des additions et des soustractions. 4) Suppression des parenthèses dans un somme algébrique. hors socle Problème: que se passe-t-il quand un signe négatif précède des parenthèses dans un calcul ? − (a + b) = − 1 × ( a + b ) − (a − b) = − 1 × ( a − b ) =(−1)×a+(−1)×b =(−1)×a−(−1)×b = − a + ( − b) = − a − ( − b) =−a−b =−a+b Règle 1: lorsqu'un signe positif précède des parenthèses, on peut enlever ce signe et les parenthèses sans rien changer. Règle 2: lorsqu'un signe négatif précède des parenthèses, on peut enlever ce signe et les parenthèses à condition de changer tous les signes entre parenthèses. A = 7 + ( − 12 + 9 − 2) − ( 6 − 5 + 4) A = 7 − 12 + 9 − 2 − 6 + 5 − 4. B = 7 + (a + b − 5 ) − ( 4 − c + d) B = 7 + a + b − 5 − 4 + c − d.