La multiplication des relatifs

Chapitre. Multiplication des nombres relatifs.
I.Multiplication
1) Multiplication par 0.
Théorème admis: Pour tout nombre relatif a, on a: a ×
××
× 0 = 0 ×
××
× a = 0
Démonstration: Si a est un nombre positif, on le sait déjà.
Si a est négatif, on note b l'opposé de a qui est un nombre positif, et de plus a + b = 0.
(a + b) × 0 = 0 = a × 0 + b × 0 Or b × 0 = 0. Donc a × 0 = 0.
2) Conséquence: multiplication par ( −
−−
− 1 )
multiplier un nombre relatif par ( - 1 ) , c'est calculer son opposé.
Démonstration: Soit a un nombre quelconque.
a ((−1 ) + 1) = a × 0 = 0 a ((−1 ) + 1) = a × (− 1) + a × 1 = a × (−1) + a
Donc a × (−1) + a = 0 soit a × (−1) + a − a = 0 − a soit a × (−1) = − a.
3) Produit de deux nombres relatifs.
La démonstration est compliquée mais peut se faire sur des exemples
exemple 1:
3 × 2 = 6 exemple 2: A = (− 3) × (−2)
A = (−1) × 3 × (−1) × 2
A = (−1) × (−1) × 3 × 2
A = 1 × 6
A = 6
exemple 3:
B = 3 × (− 2)
B = 3 × (−1) × 2
B = − 6
Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif. C'est-à-dire:
• Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif;
• Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif
• Le produit de deux nombres relatifs de signes contraire est un nombre négatif.
• Dans tous les cas, la distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro,
Si un produit comporte un nombre impair de facteurs négatifs, alors le produit est négatif.
Si un produit comporte un nombre pair de facteurs négatifs, alors le produit est positif.
exemple 4: C = (− 2) × 3 × (− 9) × (− 5) × ( − 8)
Ce produit comporte 4 facteurs négatifs, donc un nombre pair de facteur négatifs.
Donc le produit est positif.
II. Parenthèses et priorité des opérations.
1) Conventions d'écriture.
On peut supprimer le signe " ×
××
× "
• entre deux lettres: x ×
××
× y = x y
• entre un nombre et une lettre si le nombre est écrit à gauche de la lettre: 2 ×
××
× x = 2 x.
• devant une parenthèse: 2 ×
××
× (3 + 5 ) = 2 (3 + 5 ) a ×
××
× ( b + c ) = a ( b + c ).
On n'écrit pas x 2, ni 2 3 qui pourrait être confondu avec le nombre 23(vingt-trois).
On enlève le signe ×
××
× lorsqu'il n'y a pas de confusion possible.
2) utilisation des parenthèses.
Dans un calcul avec parenthèses, on calcule en priorité le résultat des opérations entre parenthèses,
puis on termine le calcul.
exemple 1: ( 23 + 5 ) × (26 − 6 ) = 28 × 20
( 23 + 5 ) × (26 − 6 ) = 560

3) Priorité des opérations.
Convention 1:dans une expression sans parenthèses contenant uniquement des additions et des
soustractions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.
exemple 1:
A = 13 + 6 − 9 + 7
A = 19 − 9 + 7
A = 10 + 7
A = 17
Convention 2: dans une expression sans parenthèses contenant uniquement des multiplications et des
divisions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.
B = 78 : 6 × 3
B = 13 × 3
B = 39 Convention3: en l'absence de parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions avant les
additions et les soustractions.
exemple 2: 2 × 5 + 17 = ( 2 × 5 ) + 17
2 × 5 + 17 = 10 + 17
2 × 5 + 17 = 27
toutes les calculatrices ne respectent pas les règles de priorité. Une calculatrice non scientifique réalise les
calculs au fur et à mesure.
Il ne faut pas enlever les parenthèses si elles sont précédées du signe négatif (" − ") et elles contiennent des
additions et des soustractions.
4) Suppression des parenthèses dans une somme algébrique.
Problème: que se passe-t-il quand un signe négatif précède des parenthèses dans un calcul ?
− (a + b) = − 1 × ( a + b )
= ( − 1 ) × a + ( − 1 ) × b
= − a + ( − b)
= − a − b
− (a − b) = − 1 × ( a − b )
= ( − 1 ) × a − ( − 1 ) × b
= − a − ( − b)
= − a + b
Théorème 1: lorsqu'un signe positif précède des parenthèses, on peut enlever ce signe et les
parenthèses sans rien changer.
Théorème 2: lorsqu'un signe négatif précède des parenthèses, on peut enlever ce signe et les
parenthèses à condition de changer tous les signes entre parenthèses.
A = 7 + ( − 12 + 9 − 2) − ( 6 − 5 + 4)
A = 7 − 12 + 9 − 2 − 6 + 5 − 4.
B = 7 + (a + b − 5 ) − ( 4 − c + d)
B = 7 + a + b − 5 − 4 + c − d.