Chapitre. Multiplication des nombres relatifs.

Chapitre.
Multiplication des nombres relatifs.
I.Multiplication
1)
Multiplication par 0.
Théorème admis: Pour tout nombre relatif a, on a:
a×0=0×a=0
Démonstration:
Si a est un nombre positif, on le sait déjà.
Si a est négatif, on note b l'opposé de a qui est un nombre positif, et de plus a + b = 0.
(a + b) × 0 = 0 = a × 0 + b × 0
Or b × 0 = 0.
Donc a × 0 = 0.
2)
Conséquence: multiplication par ( − 1 )
multiplier un nombre relatif par ( - 1 ) , c'est calculer son opposé.
Démonstration:
Soit a un nombre quelconque.
a ((−1 ) + 1) = a × 0 = 0
a ((−1 ) + 1) = a × (− 1) + a × 1 = a × (−1) + a
Donc a × (−1) + a = 0
soit
a × (−1) + a − a = 0 − a
soit a × (−1) = − a.
3)
Produit de deux nombres relatifs. dans le socle
La démonstration est compliquée mais peut se faire sur des exemples
exemple 1:
3×2=6
exemple 2:
A = (− 3) × (−2)
A = (−1) × 3 × (−1) × 2
A = (−1) × (−1) × 3 × 2
A=1×6
A=6
exemple 3:
B = 3 × (− 2)
B = 3 × (−1) × 2
B=−6
Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif. C'est-à-dire:
• Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif;
• Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif
• Le produit de deux nombres relatifs de signes contraire est un nombre négatif.
• Dans tous les cas, la distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro,
Si un produit comporte un nombre impair de facteurs négatifs, alors le produit est négatif.
Si un produit comporte un nombre pair de facteurs négatifs, alors le produit est positif.
exemple 4:
C = (− 2) × 3 × (− 9) × (− 5) × ( − 8)
Ce produit comporte 4 facteurs négatifs, donc un nombre pair de facteur négatifs.
Donc le produit est positif.
II.
Parenthèses et priorité des opérations.
hors socle
1)
Conventions d'écriture.
On peut supprimer le signe " × "
• entre deux lettres: x × y = x y
• entre un nombre et une lettre si le nombre est écrit à gauche de la lettre: 2 × x = 2 x.
• devant une parenthèse:
2 × (3 + 5 ) = 2 (3 + 5 )
a × ( b + c ) = a ( b + c ).
On n'écrit pas x 2, ni 2 3 qui pourrait être confondu avec le nombre 23(vingt-trois).
On enlève le signe × lorsqu'il n'y a pas de confusion possible.
2)
utilisation des parenthèses.
Dans un calcul avec parenthèses, on calcule en priorité le résultat des opérations entre parenthèses,
puis on termine le calcul.
exemple 1:
( 23 + 5 ) × (26 − 6 ) = 28 × 20
( 23 + 5 ) × (26 − 6 ) = 560
3) Priorité des opérations.
En l'absence de parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions avant les additions et les
soustractions.
exemple 1:
2 × 5 + 17 = ( 2 × 5 ) + 17
2 × 5 + 17 = 10 + 17
2 × 5 + 17 = 27
toutes les calculatrices ne respectent pas les règles de priorité. Une calculatrice non scientifique réalise les
calculs au fur et à mesure.
Il ne faut pas enlever les parenthèses si elles sont précédées du signe négatif ("−") et elles contiennent des
additions et des soustractions.
4) Suppression des parenthèses dans un somme algébrique.
hors socle
Problème: que se passe-t-il quand un signe négatif précède des parenthèses dans un calcul ?
− (a + b) = − 1 × ( a + b )
− (a − b) = − 1 × ( a − b )
=(−1)×a+(−1)×b
=(−1)×a−(−1)×b
= − a + ( − b)
= − a − ( − b)
=−a−b
=−a+b
Règle 1: lorsqu'un signe positif précède des parenthèses, on peut enlever ce signe et les parenthèses sans rien
changer.
Règle 2: lorsqu'un signe négatif précède des parenthèses, on peut enlever ce signe et les parenthèses à
condition de changer tous les signes entre parenthèses.
A = 7 + ( − 12 + 9 − 2) − ( 6 − 5 + 4)
A = 7 − 12 + 9 − 2 − 6 + 5 − 4.
B = 7 + (a + b − 5 ) − ( 4 − c + d)
B = 7 + a + b − 5 − 4 + c − d.