DEVOIR MAISON no 6 1S correction Exercice 1 − 1. Cet algorithme donne une équation cartésienne d’une droite passant par un point A et de vecteur directeur → u. 2. Algorithme modifié : Variables : xA , yA , xB , yB , xu , yu , a, b, c : réels début lire xA , yA lire xB , yB xu prend la valeur xB − xA yu prend la valeur yB − yA a prend la valeur yu b prend la valeur −xu c prend la valeur −a × xA − b × yA Afficher « l’équation est ax + by + c = 0 avec a = », a, « b =, b, « c =, c fin Exercice 2 Soit m un nombre réel. On nomme dm la droite d’équation : (2m − 1)x − my + 3m + 1 = 0. Figure : → − d1 O d2 1. d−1 → −ı d0 a. La droite d0 a pour équation : −x + 1 = 0 soit x = 1 b. d1 a pour équation : x − y + 4 = 0 soit y = x + 4. Elle passe par les 2 points de coordonnées (0 ; 4) et (1 ; 5) d2 a pour équation : 3x − 2y + 7 = 0 soit y = 1, 5x + 3, 5. Elle passe par les 2 points de coordonnées (0 ; 3,5) et (1 ; 5) d3 a pour équation : −3x + y − 2 = 0 soit y = 3x + 2. Elle passe par les 2 points de coordonnées (0 ; 2) et (1 ; 5) 2. D’après le graphique, les droites semblent toutes passer par le point I(1 ; 5). Montrons le : (2m − 1)xI − myI + 3m + 1 = 2m − 1 − 5m + 3m + 1 = 0 donc toutes les droites dm passent par un même point I(1 ; 5). 3. a. Remplaçons par les coordonnées de A : (2m − 1) × (−1) − 4m + 3m + 1 = 0 −2m − 1 − m + 1 = 0 −3m = 0 m=0 m existe et vaut 0. − − − b. Un vecteur directeur de dm est → v (m ; 2m − 1). Cherchons m tel que → u et → v soit colinéaires. xy ′ − x′ y = 0 m × (−1) − 2 × (2m − 1) = 0 −m − 4m + 2 = 0 m = 2/5 m existe et vaut 2/5. Exercice 3 ABCD est un carré. M est un point de la diagonale [AC] distinct de A et C. La parallèle à (AD) passant par M coupe [DC] en E et [AB] en F. La parallèle à (AB) passant par M coupe [AD] en G et [BC] en H. 1. a. Voir Géogébra b. Les droites (DF), (GB) et (AC) semblent être concourantes. 2. a. Comme M(a ; a) alors F(a ; 0) et G(0 ; a) b. Pour la droite (DF), −−→ DF (a ; -1) est un vecteur directeur de cette droite. −−−→ Soit N(x ; y) un point de cette droite. DN (x ; y − 1). −−−→ −−→ DN et DF sont colinéaires donc a(y − 1) − (−1)x = 0 soit x + ay − a = 0 Une équation cartésienne de (DF) est : x + ay − a = 0 Pour la droite (GB), −−→ GB (1 ; −a ) est un vecteur directeur de cette droite. −−−→ Soit N(x ; y) un point de cette droite. BN (x − 1 ; y). −−−→ −−→ BN et GB sont colinéaires donc y − (−a)(x − 1) = 0 soit y + ax − a = 0 Une équation cartésienne de (GB) est : ax + y − a = 0 −−→ −−→ c. DF (a ; -1) et GB (1 ; −a ). Vérifions que ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires : xy ′ − x′ y = a × (−a) − (−1) = 1 − a2 or a , −1 et a , 1 donc 1 − a2 , 0. Les 2 vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites (DF) et (GB) sont sécantes. Les ( coordonnées de leur point d’intersection vérifie le système : x + ay − a = 0 ax + y − a = 0 ( x = −ay + a a(−ay + a) + y − a = 0 ( x = −ay + a −a2 y + a2 + y − a = 0 ( x = −ay + a y(−a2 + 1) = −a2 + a x = −ay + a a − a2 (a , 1et − 1) y = 1 − a2 x = y = x = y = x = y x y x y = = = = = −ay + a a(1 − a) (1 − a)(1 + a) −ay + a a 1+a a −a +a 1+a a 1+a − a2 + a(1 + a) 1+a a 1+a a 1+a a 1+a Le point d’intersection a pour coordonnées ( a a ; ) 1+a 1+a d. Ce point d’intersection a une ordonnée égale à son abscisse donc il appartient à la droite d’équation : y = x. M est aussi un point de cette droite, donc les 3 droites (DF), (GB) et (AC) sont bien concourantes.