1S DEVOIR MAISON no 6 correction Exercice 1

1S DEVOIR MAISON no6correction
Exercice 1
1. Cet algorithme donne une équation cartésienne d’une droite passant par un point A et de vecteur directeur −→ u.
2. Algorithme modifié :
Variables : xA,yA,xB,yB,xu,yu,a,b,c: réels
début
lire xA,yA
lire xB,yB
xuprend la valeur xB−xA
yuprend la valeur yB−yA
aprend la valeur yu
bprend la valeur −xu
cprend la valeur −a×xA−b×yA
Afficher « l’équation est ax +by +c= 0 avec a= », a, « b=, b, « c=, c
fin
Exercice 2
Soit mun nombre réel. On nomme dmla droite d’équation : (2m−1)x−my + 3m+ 1 = 0.
Figure :
O−→
ı
−→
d0
d1
d2d−1
1. a. La droite d0a pour équation : −x+ 1 = 0 soit x= 1
b. d1a pour équation : x−y+ 4 = 0 soit y=x+ 4. Elle passe par les 2 points de coordonnées (0 ; 4) et (1 ; 5)
d2a pour équation : 3x−2y+ 7 = 0 soit y= 1,5x+ 3,5. Elle passe par les 2 points de coordonnées (0 ; 3,5) et (1 ; 5)
d3a pour équation : −3x+y−2 = 0 soit y= 3x+ 2. Elle passe par les 2 points de coordonnées (0 ; 2) et (1 ; 5)
2. D’après le graphique, les droites semblent toutes passer par le point I(1 ; 5). Montrons le :
(2m−1)xI−myI+ 3m+ 1 = 2m−1−5m+ 3m+ 1 = 0 donc toutes les droites dmpassent par un même point I(1 ; 5).

3. a. Remplaçons par les coordonnées de A :
(2m−1) ×(−1) −4m+ 3m+ 1 = 0
−2m−1−m+ 1 = 0
−3m= 0
m= 0
mexiste et vaut 0.
b. Un vecteur directeur de dmest −→ v(m; 2m−1). Cherchons mtel que −→ uet −→ vsoit colinéaires.
xy′−x′y= 0
m×(−1) −2×(2m−1) = 0
−m−4m+ 2 = 0
m= 2/5
mexiste et vaut 2/5.
Exercice 3
ABCD est un carré.
M est un point de la diagonale [AC] distinct de A et C.
La parallèle à (AD) passant par M coupe [DC] en E et [AB] en F.
La parallèle à (AB) passant par M coupe [AD] en G et [BC] en H.
1. a. Voir Géogébra
b. Les droites (DF), (GB) et (AC) semblent être concourantes.
2. a. Comme M(a;a) alors F(a; 0) et G(0 ; a)
b. Pour la droite (DF),
−−→
DF (a; -1) est un vecteur directeur de cette droite.
Soit N(x;y) un point de cette droite. −−−→ DN (x;y−1).
−−−→
DN et −−→ DF sont colinéaires donc a(y−1) −(−1)x= 0 soit x+ay −a= 0
Une équation cartésienne de (DF) est : x+ay −a= 0
Pour la droite (GB),
−−→
GB (1 ; −a) est un vecteur directeur de cette droite.
Soit N(x;y) un point de cette droite. −−−→ BN (x−1 ; y).
−−−→
BN et −−→ GB sont colinéaires donc y−(−a)(x−1) = 0 soit y+ax −a= 0
Une équation cartésienne de (GB) est : ax +y−a= 0
c. −−→ DF (a; -1) et −−→ GB (1 ; −a). Vérifions que ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires :
xy′−x′y=a×(−a)−(−1) = 1 −a2or a,−1 et a,1 donc 1 −a2,0.
Les 2 vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites (DF) et (GB) sont sécantes.
Les coordonnées de leur point d’intersection vérifie le système :
(x+ay −a= 0
ax +y−a= 0
(x=−ay +a
a(−ay +a) + y−a= 0
(x=−ay +a
−a2y+a2+y−a= 0
(x=−ay +a
y(−a2+ 1) = −a2+a
x=−ay +a
y=a−a2
1−a2(a,1et −1)

x=−ay +a
y=a(1 −a)
(1 −a)(1 + a)
x=−ay +a
y=a
1 + a
x=−aa
1 + a+a
y=a
1 + a
x=
−a2+a(1 + a)
1 + a
y=a
1 + a
x=a
1 + a
y=a
1 + a
Le point d’intersection a pour coordonnées ( a
1 + a;a 1 + a)
d. Ce point d’intersection a une ordonnée égale à son abscisse donc il appartient à la droite d’équation : y=x. M
est aussi un point de cette droite, donc les 3 droites (DF), (GB) et (AC) sont bien concourantes.