CORRECTION

Terminales S Devoir en temps libre n° 3 à rendre le mardi 8 Novembre 2011
Soit la fonction f définie sur ℝ\ {– 1 ; 1} par :
32
22
() 1
xx
fx x
et C sa courbe
représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal. (Unités graphiques : 2cm en
abscisse, 1cm en ordonnée).
A- Etude d’une fonction auxiliaire.
Soit la fonction g définie sur ℝ par g(x) = x3 – 3x – 4
1) On donne ci-dessous son tableau de variations. Le justifier (limites, signe de la
dérivée, valeur des extremums locaux.).
x
– ∞ – 1 1 + ∞
signe de '( )gx
+ 0 – 0 +
Variations de g
–2 + ∞
–∞ –6
2) Montrer qu’il existe un réel α unique tel que g(α) = 0, puis déterminer une valeur
approchée à 10-2 près du réel α.
3) Etudier le signe de g sur ℝ.
B- Etude de la fonction f
1) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2) Montrer que pour tout x ∈ ℝ\ {– 1 ; 1} :
22
()
'( ) ( 1)
x g x
fx x
. En déduire le tableau
de variation de f.
3) a) Montrer que pour tout x ∈ ℝ\ {– 1 ; 1} :
22
( ) 2 1
x
f x x x
b) En déduire que la courbe C admet une asymptote oblique D en + et en – .
c) Etudier la position de la courbe C par rapport à D.
4) Tracer la courbe C et la droite D sur papier millimétré.
5) Déterminer l’abscisse des points de la courbe C où la tangente est parallèle à la
droite d’équation y = x + 2.
CORRECTION
Partie A.
1) g est une fonction polynôme donc dérivable sur ℝ.
dérivée :g’(x) = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1) polynôme du second degré qui
s’annule pour -1 et 1,le signe de g’(x) est donc celui du coefficient de x² ( ici 3 )à
l’extérieur des racines selon le théorème établi en première
limites : à l’infini g a même limite que son terme de plus haut degré x3 donc +
l’infinie en + l’infini et – l’infini en – l’infini
extremums g(–1) = –2 et g(1) = -6
Du signe de g’ on déduit la variation de g d’où le tableau :
x
– ∞ – 1 1 α + ∞
Signe de
g’(x)
+ 0 – 0 +
Variation
de g
– 2 + ∞
0
– ∞ –6
2) D’après le tableau de variation ci-dessus il existe un unique réel α tel que g(α) =
0 et ce réel α ∈ ]1 ; + ∞[. ( il faut avoir complété avec le zéro et alpha)
Le programme de TS précise que la seule référence au tableau de variation ,
correctement complété, tient lieu de justification ( et en particulier la flèche tracée
induit la continuité et la stricte monotonie nécessaires pour l’existence et l’unicité
d’une solution d’équation sur un intervalle).
A l’aide de la calculatrice, on obtient α ≈ 2,20.
3) Du tableau de variation on déduit le tableau de signe de la fonction g.
x
– ∞ α + ∞
Signe de
g(x)
– 0 +
Partie B.1) Calcul des limites aux bornes du domaine de définition :

3
2
lim ( ) lim lim lim ( ) lim
x x x x x
x
f x x et f x x
x
Signe du dénominateur
32
1
lim 2 1
xxx
2
11
lim 1 0 donc lim ( )
xx
x f x
2
11
lim 1 0 donc lim ( )
xx
x f x
32
1
lim 2 3
xxx
2
11
lim 1 0 donc lim ( )
xx
x f x
2
11
lim 1 0 donc lim ( )
xx
x f x
2) f est une fonction rationnelle donc dérivable sur son ensemble de définition.
2 2 3 2 4 3 2 4 3
2 2 2 2
(3 4 )( 1) 2 ( 2 ) 3 4 3 4 2 4
'( ) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x x x x
fx xx
4 2 3
2 2 2 2 2 2
3 4 ( 3 4) ( )
'( ) ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x g x
fx x x x
.
(x2 – 1)2 > 0 pour tout x ∈ ℝ\ {– 1 ; 1}, donc
'( )fx
est du signe de x g(x) et le signe
de g(x) a été étudié dans la partie A3°).
x
–∞ – 1 0 1 α + ∞
Signe de x
– – 0 + + +
Signe de g(x)
– – – – 0 +
Signe de
'( )fx
+ + 0 – – 0 +
Variation de f
+∞ 0 +∞ +∞
– ∞ –∞ –∞ f(α)
3) a)
x
ℝ\ {– 1 ; 1},
2 3 2 3 2
2 2 2 2
2 ( 2)( 1) 2 2 2 2 2
21 1 1 1
x x x x x x x x x x
xx x x x
= f(x).
b) d’après la question précédente
x
ℝ\ {– 1 ; 1},
22
( ) 2 1
x
f x x x
22
( ) ( 2) 1
x
f x x x
Donc
22
21
lim ( ) ( 2) lim lim lim 0
1
x x x x
xx
f x x x
xx
ce qui signifie que
la droite D d’équation y = x + 2 est asymptote à C en + ∞.
On fait la même démonstration en – ∞.
c) Etudier la position relative de la courbe C à D revient à étudier le signe de
f(x) – (x + 2).
22
( ) ( 2) 1
x
f x x x
.
Etude du signe.
x
–∞ –2 –1 1 +∞
x + 2
– 0 + + +
x2 – 1
+ + 0 – 0 +
Signe de
f(x) – (x + 2).
– 0 + – +
Conclusion :
Pour x ∈ ] –∞; – 2[ ∪ ] –1 ; 1[ C est en dessous de D
Pour x ∈ ] – 2 ; – 1[ ∪ ]1 ; + ∞[ C est au dessus de D.
5) La droite d’équation y = x + 2 est l’asymptote D.
La tangente (T) est parallèle à D si et seulement si (T) et D ont même coefficient
directeur soit 1 donc on doit chercher les solutions, si elles existent, de l’équation
'( )fx
= 1, avec x ∈ ℝ\ {– 1 ; 1}.
42 4 2 2 2
22
34
'( ) 1 1 3 4 ( 1)
( 1)
x x x
f x x x x x
x
x
ℝ\ {– 1 ; 1},
x
– ∞ –1 1 +∞
Signe
de x²-1
+ 0 – 0 +

24 1 0xx    
∆ = 12 > 0 donc 2 solutions.
12
4 2 3 4 2 3
2 3 3,7 ; 2 3 0,27
22
xx
.
Il existe donc deux tangentes parallèles à la droite d’équation y = x + 2 ( en vert sur
le dessin)
4) Courbe
alpha
les tangentes vertes sont
parallèles à la droite D
D: y= x+2
2 3 4-1-2-3-4
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x
y