Chapitre 1 : Électrostatique

Électromagnétisme
Chapitre 1
PTSI
On appelle électromagnétisme l’étude des phénomènes liés aux interactions entre
particules chargées. Le système étudié par l’électromagnétisme le plus général est un
ensemble de particules chargées désigné sous le nom de distribution de charges et de
courants électriques.
L’électrostatique étudie les champs électriques indépendants du temps, créés par des
charges fixes dans le référentiel d’étude et disposées dans le vide.
I. Notion de charge électrique
Distributions de charges
On appelle distribution de charges, la répartition spatiale des charges électriques immobiles
étudiées. On distinguera :
les distributions de charges ponctuelles où les charges qi sont placées en des points Mi de
l’espace repérés par un vecteur position : ri = OM i ,
les distributions de charges volumiques caractérisées par leurs densités volumiques de
charges ρ en C.m −3 , définies en tout point du volume du système et telles que dq = ρ dτ ,
les distributions de charges surfaciques caractérisées par leurs densités surfaciques de
charges σ en C.m −2 , définies en tout point du volume du système et telles que dq = σ dS ,
les distributions de charges linéiques caractérisées par leurs densités linéiques de charges λ
en C.m −1 , définies en tout point du volume du système et telles que dq = λ d .
Remarque : on aura quasi uniquement à faire à une répartition uniforme donc indépendante du
point considéré et on aura respectivement ρ, σ et λ constants.
Symétries et invariances des distributions de charges
Il est très important de savoir repérer les transformations laissant invariante une distribution
de charges car le champ électrostatique possède les mêmes propriétés de symétrie et
d’invariance que la distribution qui le crée. On rappelle ci-dessous quelques exemples :
le plan (xOy) est plan de symétrie pour la distribution si ∀ z ρ( x, y,− z ) = ρ( x, y, z ) ;
le plan (xOy) est plan d’antisymétrie pour la distribution si ∀ z ρ( x, y,− z ) = −ρ( x, y, z ) ;
, ρ( x, y, z ) = ρ( x, y, z ') ;
la distribution est invariante par translation suivant (Oz) si ∀z et z '
la distribution est invariante par rotation autour de (Oz) si ∀θ, ρ(r , θ, z ) = ρ(r , z ) .
II. Le champ électrostatique
Loi de Coulomb et introduction du champ électrique
Soient deux charges ponctuelles q1 et q2 placées dans le vide en M1 et M2 et distantes de r, la
force exercée par la charge q1 sur q2 est appelée force de Coulomb et s’écrit :
1 q1q2
f1→2 =
⋅
e1→2 = q2 ⋅ E (M 2 )
4πε 0 r 2
1 q1
avec E ( M 2 ) =
⋅ e1→2 champ électrostatique créé en M2 par la charge ponctuelle q1
4πε 0 r 2
1
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Chapitre 1
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Principe de superposition - Champ créé par une distribution
Cas d’une distribution discontinue
Le principe de superposition permet d’écrire que le champ électrostatique en un point M est la
somme (autrement dit la superposition) des champs Ei (M ) créés en M par des charges qi
d’une distribution ponctuelle : E ( M ) =
N
i =1
Ei ( M ) =
N
i =1
1 qi
⋅ ei .
4πε0 ri 2
Cas d’une distribution continue
Par analogie avec ce qui précède, dans le cas d’une distribution continue notée D, on somme
1
e P→M
dq
créées au point M par une charge
4πε0
PM 2
« élémentaire » dq située au voisinage d’un point P et dont l’expression dépend de la nature
de la distribution (volumique dq = ρ dτ , surfacique dq = σ dS , linéique dq = λ d ). On a alors
les contributions élémentaires d E P (M ) =
à calculer l’intégrale E (M ) =
1
4πε0
dq
P∈D
e P→M
(cf. Exemples de calculs directs du champ
PM 2
électrostatique.)
Topographie du champ électrostatique
La topographie du champ électrostatique est la configuration générale des vecteurs
représentatifs du champ électrostatique : on parle de carte de champ électrostatique. Une carte
de champ est constituée de « lignes de champ ».
Les lignes de champ sont les courbes tangentes en chacun de leurs points au vecteur champ
électrostatique.
Les lignes de champ :
- divergent à partir d’une charge positive et convergent vers une charge négative,
- ne se referment pas sur elles-mêmes,
- ne se coupent pas sauf en un point de champ nul.
Propriétés de symétrie et d’invariance du champ
Le champ électrostatique créé en un point d’un plan de symétrie d’une distribution,
appartient à ce plan de symétrie
Le champ électrostatique créé en un point d’un plan d’antisymétrie d’une distribution, est
perpendiculaire à ce plan de symétrie.
Un plan de symétrie des charges est aussi un plan de symétrie du champ électrostatique.
Un plan d’antisymétrie des charges est aussi un plan d’antisymétrie du champ
électrostatique.
Remarque importante :
Les arguments de symétrie permettent de trouver la direction du champ.
Les invariances permettent de trouver les variables dont dépend le champ.
Exemples de calculs directs du champ électrostatique
On ne redonnera pas dans ce résumé les calculs effectués en cours (pour le fil rectiligne et
le disque) mais simplement les grandes lignes de la méthode utilisée.
Il faut avoir à l’esprit que l’on cherche à faire une somme vectorielle et qu’il faut donc se
ramener à des sommes de scalaires par projection sur les 3 directions de l’espace. Dans les cas
2
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au programme, le champ est colinéaire à une direction particulière et l’utilisation des
symétries de la distribution permet d’anticiper en ne calculant que la « composante utile ».
Les étapes suivies sont :
1. recherche des symétries et des invariances ;
2. découpage linéique, surfacique et volumique ;
3. projection pour ne garder que la composante utile ;
4. somme (c'
est-à-dire calcul de l’intégrale).
III. Potentiel électrostatique et énergie potentielle
Circulation du champ électrostatique - Potentiel électrostatique
Définition
La circulation élémentaire dC du champ électrostatique est dC = E ⋅ d r = −dV où V est le
potentiel électrostatique.
La circulation sur un contour Γ d’un point A à un point B, C A → B est donnée par :
Γ
B
C A → B = E ⋅ d r = −(VB − VA ) = U AB où U AB est la tension (ou ddp !) entre les points A et B.
Γ
A
On notera que les énoncés suivants sont équivalents :
- E = −grad V ,
- la circulation C A → B ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement des points A et B,
Γ
-
la circulation du champ électrostatique est conservative1,
la circulation est nulle sur un contour fermé (si A = B) : C A→ A = E ⋅ d r = 0 .
Remarques :
- E est dirigé dans le sens des potentiels décroissants ;
- l’unité de E est le V.m–1.
Le potentiel électrostatique créé en un point M par une charge ponctuelle placée à l’origine
q
O est alors VO (M ) =
+ cte . La constante est nulle lorsque que l’on prend le potentiel
4πε 0 r
nul à l’infini (ceci n’est possible que s’il n’y a pas de charges à l’infini ce qui est le cas ici).
Dans le cas d’une distribution continue, on somme les contributions élémentaires créées au
point M par chaque charge « élémentaire » dq située au voisinage d’un point P d’une
1
dq
distribution D. On a alors à calculer l’intégrale V (M ) =
. Cette intégrale peut être
4πε 0 P∈D r
double si la distribution est surfacique et triples si elle est volumique.
Topographie du potentiel électrostatique :
- E est orthogonal en tout point d’une surface équipotentielle ;
- 2 surfaces équipotentielles de potentiels différents ne peuvent pas se couper.
1
Dans le sens où elle a la même valeur (elle se conserve) pour tous les contours Γ reliant deux points donnés.
3
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Continuité de E et V :
Distribution volumique
Distribution surfacique
Champ électrostatique
Potentiel électrostatique
E et V sont définis et continus en tout point
V est défini et continu en tout
E est discontinu à la traversée
point
de la surface chargée
Distribution linéique
E et V ne sont pas définis sur la distribution
Énergie potentielle électrostatique
L’énergie potentielle électrostatique d’une charge q placée en M où le potentiel vaut V (M )
s’écrit Ep,élec = qV (M ) .
L’énergie potentielle électrostatique d’un système de 2 charges qA et qB distantes de rAB est
q q
Ep,élec = A B .
4πε 0 rAB
IV. Théorème de Gauss
Flux du champ électrostatique
Le flux élémentaire de E à travers une surface dSM située au voisinage d’un point M est
défini par dφ M = E (M ) ⋅ d S M .
Le flux de E à travers une surface S est défini par φ S =
E (M ) ⋅ d S M . Si la surface S est
M ∈S
E (M ) ⋅ d S M (les vecteurs d S M sont orientés sortant de la
fermée, on note le flux : φ S =
M ∈S
surface S).
Théorème de Gauss
Le flux sortant du champ électrostatique E créé par une distribution de charges à travers une
surface fermée S ne dépend que de la charge située à l’intérieur de S et est tel que :
Q
φ S = int .
ε0
Remarque : ce théorème permet le calcul de champ électrique pour des problèmes de haute
symétrie (plan, fil ou cylindre infinis, sphère…). On accède ensuite au potentiel par la
projection et l’intégration de E = −grad V .
Calculs de champs par le théorème de Gauss
Plan infini uniformément chargé (ex. de distribution surfacique)
On se reportera au cours pour le détail du calcul. On pourra retenir que le champ créé en tout
point de l’espace autre que le plan lui-même, par un plan infini portant une densité surfacique
σ
σ est donné par E =
n , où n est le vecteur unitaire « fuyant » le plan et perpendiculaire à
2ε 0
celui-ci.
Fil infini uniformément chargé (ex. de distribution linéique)
4
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Là encore, on se reportera au cours pour le calcul. Le résultat (qu’on ne mémorisera pas) est
λ
E (r ) =
er .
4πε0 r
Pour ces deux distributions (surfacique et linéique), on remarquera que le champ
électrostatique n’est pas défini en tout point de la distribution.
Enfin, on rappelle que pour des distributions infinies, il n’est pas possible de supposer le
potentiel nul à l’infini.
V. Condensateur plan
Conducteur en équilibre électrostatique
Un conducteur est un corps contenant des charges libres susceptibles de se déplacer.
Un conducteur est en équilibre électrostatique lorsqu’il ne se produit aucun mouvement
d’ensemble des charges libres, c’est-à-dire lorsqu’il n’y a pas de courant électrique !
Dans un conducteur en équilibre électrostatique :
- le champ électrique est nul ;
- le volume global constitue un volume équipotentiel ;
- les lignes de champs sont perpendiculaires en tout point de la surface du conducteur.
- si ce conducteur est chargé alors cette charge se répartie en surface alors que sa densité
volumique de charge est nulle.
Condensateur – Capacité
On condensateur est constitué de 2 surfaces conductrices appelées armatures en influence
totale, c’est-à-dire telles que toutes les lignes de champ partant d’une armature aboutissent à
l’autre.
Les surfaces des armatures en regard portent des charges de signe opposé. La charge de
l’armature de plus haut potentiel (portant une charge +) est « la charge du condensateur ».
Q
Q
=
et ne dépend que de la
La capacité (en farad) du condensateur est définie par C =
V2 − V1 U
géométrie de celui-ci et du milieu présent entre les armatures.
Modèle du condensateur plan
En supposant que le condensateur plan est composé de deux plans infinis (on néglige les
fuites de champ sur les bords) portant des charges surfaciques opposées, on montre que la
ε S
capacité d’un tel condensateur est C = 0 où S est la surface des armatures et e la distance
e
entre celles-ci.
Remarque : on peut noter que cette relation permet de retenir l’unité de ε0 (F.m–1).
Énergie potentielle électrostatique d’un condensateur
Le champ électrostatique régnant entre les armatures d’un condensateur « contient » une
1
1
énergie potentielle électrostatique Epot,élec = QU = CU 2 .
2
2
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Annexe : Analogie électrostatique – gravitation
Électrostatique
Force exercée par 1 sur 2
Constante universelle
Grandeur physique
responsable de l’interaction
Champ exercé par 1
au point M 2
Circulation conservative du
champ potentiel
Force conservative
énergie potentielle
Flux du champ
e1→2
4πε 0
M 1 M 22
Attractive ou répulsive
1
4πε 0
F1 / 2 =
1
q1 q 2
Gravitation
e1→2
M 1 M 22
Toujours attractive
F1 / 2 = −Gm1 m2
−G
q
m
Champ électrostatique :
1
e
Eq1 ( M 2 ) =
q1 1→2 2
4πε0 M 1M 2
Potentiel électrostatique :
1
1
Vq1 ( M 2 ) =
q1
4πε0 M 1M 2
1
1
Epot =
q1q2
4πε 0
M 1M 2
Théorème de Gauss :
Q
E . dS = int
ε0
S
Champ de gravitation :
e
g m1 ( M 2 ) = −Gm1 1→2 2
M 1M 2
Potentiel gravitationnel :
1
− Gm1
M 1M 2
1
Epot = −Gm1m2
M 1M 2
Conducteur / isolant
Pas de distinction
g . dS = −4π G M int
S
force électrostatique
≈ 1039 pour un électron. À l’échelle microscopique,
force gravitationnelle
l’interaction gravitationnelle est négligeable par rapport à l’interaction électrostatique.
Remarque :
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